高三数学上学期期末考试试卷 理含解析 试题

实验2021-2021学年度上学期期末考试
高三理科数学试题
第一卷选择题〔一共60分〕
一、选择题〔一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项是符合题目要求的〕
1.集合A=，B=，那么A B中元素的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，集合A表示以为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，根据直线与圆的位置关系，即可求解集合中元素的个数，得到答案。

【详解】由题意，集合A表示以为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，
集合B表示直线上所有的点组成的集合，
又由圆与直线相交于两点，
那么中有两个元素，应选C.
【点睛】求集合的根本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或者其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
2.，是虚数单位，假设，，那么〔〕
A. 1或者
B. 或者
C.
D.
【答案】A
【解析】
由得，所以，应选A.
【名师点睛】复数的一共轭复数是，据此结合条件，求得的方程即
可.
3.某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥的最长棱的长度为( )
A. 3
B. 2
C. 2
D. 2
【答案】B
【解析】
由三视图复原原几何体如图，
四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，
底面BCDE为正方形，那么AD=AB=2，AC=．
∴该四棱锥的最长棱的长度为．
应选：．
4.函数的最小正周期为〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：根据正弦函数的周期公式直接求解即可.
详解：由题函数的最小正周期
应选C.
点睛：此题考察正弦函数的周期，属根底题.
5.展开式中x2的系数为
A. 15
B. 20
C. 30
D. 35
【答案】C
【解析】
因为，那么展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.
【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项一共有几项，进展相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的详细情况，尤其是两个二项展开式中的不同.
6.椭圆的离心率是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆的方程求得，得到，再利用离心率的定义，即可求解。

【详解】由题意，根据椭圆的方程可知，那么，
所以椭圆的离心率为，选D．
【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程
或者不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或者不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
7.函数y=f(x)的导函数的图像如下图，那么函数y=f(x)的图像可能是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设导函数y=f′〔x〕的图象与x轴的交点从小到大依次为a，b，c，故函数y=f〔x〕在〔-∞，a〕上单调递减，在〔a，b〕单调递增，在〔b，c〕单调递减，在〔c，+∞〕单调递增，结合选项不难发现选D.
8.随机变量满足P〔=1〕=p i，P〔=0〕=1—p i，i=1，2.假设0<p1<p2<，那么
A. <，<
B. <，>
C. >，<
D. >，>
【答案】A
【解析】
∵，∴，
∵，∴，应选A．
【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据详细情况确定的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描绘的是不放回抽样问题，随机变量为抽到
的某类个体的个数．由此题随机变量服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A正确．
9.在中，角的对边分别为，，．假设为锐角三角形，且满足
，那么以下等式成立的是〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
所以，选A.
【名师点睛】此题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进展恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容无视.
10.圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为( )
A. π
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
∵圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,
∴该圆柱底面圆周半径，
∴该圆柱的体积： .
此题选择B选项.
11.双曲线的左焦点为，离心率为.假设经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，那么双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意得，选B.
【考点】双曲线的HY方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最根底的方法就是根据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线〔1〕双曲线过两点可设为，〔2〕与一共渐近线的双曲线可设为，〔3〕等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求HY方程.
12.设，，为正数，且，那么
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
=
，
，
即>
应选D
第二卷非选择题〔一共90分〕
二、填空题〔一共4小题，每一小题5分，一共20分〕
13.向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，那么| a +2 b |= ______ .
【答案】
【解析】
∵平面向量与的夹角为，
∴.
∴
故答案为：.
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
14.函数在的零点个数为________．
【答案】
【解析】
分析：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数。

详解：
由题可知，或者
解得,或者
故有3个零点。

点睛：此题主要考察三角函数的性质和函数的零点，属于根底题。

15.函数〔〕的最大值是__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用平方关系化正弦为余弦，然后利用换元法转化为二次函数求最值.
【详解】化简三角函数的解析式，那么
，由可得，当时，函数获得最大值1．
【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式
利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；
③型，可化为求最值 .
16.是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．假设为的中点，那么____________．
【答案】6
【解析】
抛物线的焦点，
设，
为的中点，
在抛物线上，
，即
点睛：分析题意，回想抛物线的简单性质，求出的坐标是解题的关键。

先根据抛物线的性质得到的坐标，设，根据中点坐标公式表示出的坐标，将代入抛物线解析式求出的值，确定点坐标，最后根据两点间隔公式计算即可。

三．解答题〔一共6小题，第17小题10分，其余各小题12分，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕
17.在直角坐标系中，直线的参数方程为 (t为参数)，直线的参数方程为
(为参数)．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线
(1)写出的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．
【答案】〔1〕；〔2〕.
【解析】
【分析】
(1)分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k〔x-2〕①与x=-2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2-y2=4；
(2)将l的极坐标方程与曲线C的极坐标方程联立，可得关于θ的方程，解得tanθ，即可求得l与C的交点M的极径为ρ．
【详解】(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝ (x＋2)．设P(x，y)，由题设得
消去k，得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，
联立得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，所以l与C的交点M的极径为.
【点睛】此题考察参数方程与极坐标方程化普通方程，考察函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．
18.记为等差数列的前项和，，．
〔1〕求的通项公式；
〔2〕求，并求的最小值．
【答案】〔1〕a n=2n–9，〔2〕S n=n2–8n，最小值为–16．
【解析】
分析：〔1〕根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，〔2〕根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
详解：〔1〕设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．
〔2〕由〔1〕得S n=n2–8n=〔n–4〕2–16．
所以当n=4时，S n获得最小值，最小值为–16．
点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.
19.某超方案按月订购一种酸奶，每天进货量一样，进货本钱每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经历，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间，需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购方案，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
〔1〕求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列；
〔2〕设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量〔单位：瓶〕为多少时？的数学期望到达最大值？
【答案】〔1〕见解析；〔2〕n=300时，Y的数学期望到达最大值，最大值为520元.
【解析】
【分析】
〔1〕由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；〔2〕由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200≤n≤500，根据300≤n≤500和200≤n≤300分类讨论经，能得到当n=300时，EY最大值为520元．
【详解】〔1〕由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知
，，.
因此的分布列为
〔2〕由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑
.
当时，
假设最高气温不低于25，那么；
假设最高气温位于区间，那么；
假设最高气温低于20，那么；
因此.
当时，
假设最高气温不低于20，那么；
假设最高气温低于20，那么；
因此.
所以n=300时，Y的数学期望到达最大值，最大值为520元.
【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值〞，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率〞，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列〞，即按标准形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或者某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值〞，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，假如可以断定它服从某常见的典型分布那么此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.
20.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
〔1〕证明：平面ACD⊥平面ABC；
〔2〕过AC的平面交BD于点E，假设平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两局部，求二面角D–AE–C的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【解析】
【分析】
〔1〕利用题意，证得二面角为，即可得到平面ACD⊥平面ABC；
〔2〕建立适当的空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值。

【详解】〔1〕由题意可得，,从而，
又是直角三角形，所以，
取AC的中点O，连接DO，BO，那么，
又由是正三角形，所以，
所以是二面角的平面角,
在直角中，，
又，所以，故，
所以平面平面。

〔2〕由题设及〔1〕可知,,两两垂直，以为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，
那么
由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的间隔为到平面的间隔的，即为的中点，得 .
故,
设是平面的法向量，那么，即，
令，那么，即平面的一个法向量，
设是平面的法向量，那么，
可得平面的一个法向量，
那么，即二面角的余弦值为。

【点睛】此题主要考察了二面角的平面角的定义及应用，
以及利用空间向量求解二面角的计算，对于立体几何中空间角的计算问题，往往可以利用空间向量法求解，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式得以求解，同时解答中要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进展向量运算，要认真细心，准确计算。

21.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.
〔1〕求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线上，且。

证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【答案】〔1〕点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.〔2〕证明见解析。

【解析】
【分析】
〔1〕设M〔x0，y0〕，由题意可得N〔x0，0〕，设P〔x，y〕，运用向量的坐标运算，结合M 满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；
〔2〕设Q〔﹣3，m〕，P〔cosα，sinα〕，〔0≤α＜2π〕，运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．
【详解】〔1〕设M〔x0，y0〕，由题意可得N〔x0，0〕，
设P〔x，y〕，由点P满足=．
可得〔x﹣x0，y〕=〔0，y0〕，
可得x﹣x0=0，y=y0，
即有x0=x，y0=，
代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，
即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；
〔2〕证明：设Q〔﹣3，m〕，P〔cosα，sinα〕，〔0≤α＜2π〕，
•=1，可得〔cosα，sinα〕•〔﹣3﹣cosα，m﹣sinα〕=1，
即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，
当α=0时，上式不成立，那么0＜α＜2π，
解得m=，
即有Q〔﹣3，〕，
椭圆+y2=1的左焦点F〔﹣1，0〕，
由•=〔﹣1﹣cosα，﹣sinα〕•〔﹣3，〕
=3+3cosα﹣3〔1+cosα〕=0．
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
另解：设Q〔﹣3，t〕，P〔m，n〕，由•=1，
可得〔m，n〕•〔﹣3﹣m，t﹣n〕=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，
又P在圆x2+y2=2上，可得m2+n2=2，
即有nt=3+3m，
又椭圆的左焦点F〔﹣1，0〕，
•=〔﹣1﹣m，﹣n〕•〔﹣3，t〕=3+3m﹣nt
=3+3m﹣3﹣3m=0，
那么⊥，
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【点睛】此题考察轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考察圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数
量积为0，考察化简整理的运算才能，属于中档题．
22.函数．
〔Ⅰ〕求曲线在点处的切线方程；
〔Ⅱ〕求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)；〔Ⅱ〕最大值1；最小值.
【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；〔Ⅱ〕设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.
试题解析：〔Ⅰ〕因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
〔Ⅱ〕设，那么.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比拟有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或者是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

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贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

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常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

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不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。