高思数学_4年级下第十一讲排列组合应用

四年级下册第11 讲
11排列组合应用
上一讲学习了基本的排列组合公式，本讲主要解决一些实际问题．在解决实际问题时，先要判断出顺序对于问题的结果有没有影响，再考虑应该用排列还是组合来进行计算．
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排列组合应用课本
9 支球队进行足球比赛，实行单循环制，即每两队之间恰
好比赛一场．每场比赛后，胜方得 3 分，负方不得分，平局双方各得 1
分．那么一共要举行多少场比赛？9 支队伍的得分总和最多为多少？
分析每场比赛有两支队伍参加，现在要从几支队伍里挑呢？挑的时候这两支队
伍有没有顺序？每场比赛中，两支队伍获得的分数之和最多是多少？
练习
1. 棋王争霸赛在8 名选手间展开，实行单循环赛制，共要进行多少场比赛？如果每场比赛胜者得2 分，负者不得分，和棋双方各得1 分，最后所有选手的总分为多少？
在新学期的班会上，大家要从11 名候选人中选出班干部．（1）选出3 人组成班委会，一共有多少种选法？
（2）从剩下的候选人中，再选出3 人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法？
分析同样都是选出3 个人，这两个问题之间有什么区别？
练习
2. 要从15 名士兵中选出2 名士兵分别担任正、副班长，共有多少种不同的选法？
全攻全守
某城市的足球队员体力充沛，战绩也不错．
一次比赛前，教练敲定出场名单之后，因临时有事离场一段时间．回来以后，教练发现比赛早已开始，队员们“全攻全守”，都追着球跑，全队踢球毫无章法．教练一看就着急了，忙问为什么这样，替补队员说：“你只选定了主力队员，却没有给他们分配各自的位置啊．这不，球到哪儿，人到哪儿！”
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四年级下册第11 讲
从公式C n = A n ÷ A n 可以看出A n = C n ⨯ A n ，所以计算从m 个元素中选出n 个元素m m n m m n
的排列数时也可以分成两步：先计算从m 个元素中选出n 个元素的组合数，再计算这n 个元素的排列数即可．
接下来我们通过例题看看排列与组合之间有什么联系．
王老师带着小高、卡莉娅、萱萱一行四人去参加一个聚会，主持人要求每个人领取一个彩球，这些球的颜色各不相同，共有12 个．
（1）小高替大家去领球，他一共选出了 4 个球，有多少种选法？
（2）小高把领到的这 4 个球分给大家，一共有多少种分法？
（3）从12 个球中选出4 个分给这四个人，一共有多少种不同的分法？
分析题（1）、（2）恰好是题（3）的两个步骤，所以不难通过题（1）、（2）的
结果来计算题（3）．题（1）、（2）应该按照排列来算还是按照组合来算呢？能
不能跳过题（1）、（2）直接计算题（3）呢？
练习
3. 先从10 名同学中选出3 人作为班委，再在这3 人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共有多少种不同的可能？
周末大扫除，老师要从10 名男生和10 名女生中选出5 名留下打扫卫生．
（1）如果随意选择，一共有多少种选择方法？
（2）如果老师决定选出2 名男生和3 名女生，一共有多少种选择方法？
分析（1）一共有多少名学生？从中选出5 名有多少种方法？
（2）限定男女，选2 名男生有几种选法？选3 名女生有几种选法？一共有多少种选法？
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排列组合应用 课 本 练习
3 2 2 1 1 2 2 3 3
1 7
4. 老师要从 9 名男生和 7 名女生中挑出 4 人参加数学竞赛，共有多少种不同的选择方法？如果 4 人中要求有 3 名男生、1 名女生呢？
在本讲的最后，我们学习圆周排列．从 m 个不同的元素中取出 n 个（n ≤ m ）元素，
4 4
并按照一定的顺序排成一个圆周，就是圆周排列．圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列是首尾相邻的，旋转后相同的排法视为一种排法．如图，1、2、3 的三种排列：123、 312、231，是同一个圆周排列；另外三种排列：132、213、321，也是同一个圆周排列， 但这两个圆周排列是不同的．
2 1
3 3 1 2
分析 从 7 个人中选出 5 个人的圆周排列，还能按照直线上的排列A 5 种方法来 计算吗？
5. 8 个人围着圆桌坐成一圈，有多少种不同的坐法？
从 7 个人中选出 5 个人围着圆桌坐成一圈，有多少种不同
的坐法？
练习
思考题
从 15 名同学中选出 5 人，上场参加篮球比赛，那么：
（1）如果甲、乙两人必须入选，共有多少种选法？
（2）如果甲、乙两人中至少有一人入选，共有多少种选法？
（3）如果甲、乙、丙三人中恰好入选一人，共有多少种选法？
（4）如果甲、乙、丙不能同时都入选，共有多少种选法？
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四 年 级 下册第11 讲
n -1
m n -1
一、由C n = A n ÷ A n 可得到A n = C n ⨯ A n
．计算从 m 个元素中选出 n 个元素的排列
m m n m m n 数时也可以分成两步：先计算从 m 个元素中选出 n 个元素的组合数，再计算这 n 个元素的排列数即可．
二、从 m 个不同的元素中取出 n 个（n ≤ m ）元素，有C n 种方法；再按照一定的顺
4 4 m
序排成一个圆周，有A n -
1 种方法．因此从 m 个不同的元素中取出 n 个（n ≤ m ）元素在圆周上排列有C n ⨯ A n -
1 种方法．
1. 8 名同学每两人都握手一次，一共要握手多少次？
2. 午饭时，小高要从 7 个菜中选出 1 个作为主菜、另 1 个作为副菜，共有多少种不同的选法？
3. 如果让你从 10 本不同的书中挑 3 本，共有多少种不同的挑法？挑出书之后，要把这 3 本书分给爸爸、妈妈和你各一本，共有多少种不同的分法？最后每人手中拿到的书共有多少种可能？
4. 从 8 名男生和 5 名女生中选 2 名男生、1 名女生参加植树活动，共有多少种不同的选择方法？
5. 从 8 个人中选出 4 人围坐在一张圆桌旁，有多少种坐法？
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本
作 业。