2023-2024学年全国高中高三下数学人教A版月考试卷(含解析)

10. 已知函数f (x) = 2 cos(ωx + φ) (ω > 0, |φ| < π )
间的距离为 π ，则( )
2
3
图象的一条对称轴为x = π ，相邻两条对称轴之 4
A.函数f (x) 的最小正周期为π
B.f ( π ) = √ 2– 2
C.函数f (x)
在区间[
π
,
π ]
上单调递减
12 4
解得x = 2 .
设圆锥的高为h，
则V = 1 ( x )
2
⋅ πh
=
1π
⋅
√
−x−2 −−−(−1−x−)−−2−
=
√
3– π
=
√
3–
.
32
3
2
3
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
函数的求值 指数函数的实际应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知条件得， 200 = em ，
因为50 = e22k+m = em ⋅ e22k = 200(e11k) 2 ，
f(1) = 1
12. 设f'(x) 为函数f(x) 的导函数，已知x2f'(x) + xf(x) = ln x )
A.xf(x) 在(0, +∞) 上单调递增 B.xf(x) 在(0, +∞) 上单调递减 C.xf(x) 在(0, +∞) 上有极大值 1
2 D.xf(x) 在(0, +∞) 上有极小值 1
请说明理由．
(2)求平面BMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．
21. 已知椭圆C： x2 + y2 = a2 b2
与上顶点，O为坐标原点，
1 (a tan
> b > 0) ∠OF1B
=
的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B
√
3–
，且△ABF2
的面积为
3√ 2
3–
．
分别为椭圆的左顶点
(1) 求椭圆C 的方程；
8. 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为y = √ 2–x ，则该双曲线的离心率是 () A.√ 3– B.√ 3–或 √ 6–
2 √–
C.√ 5–或 √ 6– 2
D.√ 5– 二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）
9. 下列说法中，正确的命题是( ) A.已知随机变量X服从正态分布N (2, σ2) ， P (X < 4) = 0.8 ，则P (2 < X < 4) = 0.2
M∩N = （ ）
3. (1 − ax)(1 + x)6 的展开式中，x3项的系数为−10 ，则实数a的值为( ) A. 2
3 B.2 C.−2 D.− 2
3
4. 某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，已知出现了2次正面，3次反面，则第一次抛掷和第三次抛
掷出现反面的概率为（ ）
3 A.
10 2
B.
2 5
1
所以e11k = ( 50 ) 2 = 1 ．
200
2
设该食品在33∘C的保鲜时长是t小时，
则t
e33k+m =
= e11k = 1
，则t = 25 ．
50 e22k+m
2
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
双曲可得e2 = 1 + ( b )2 = 4 ，即可得出双曲线的离心率．
D.将y = 2 sin ωx 的图象向右平移 π 个单位长度可得到f (x) 的图象 12
11. 如图，在正方体ABCD − A1B1C1D1 中，M 为线段D1 B上的动点（不含端点），则下列结论正确 的是( )
A.直线DM 可以与直线AA1 平行 1// 平面DMD1 C.平面 DMD1 ⊥平面ABCD D.三棱锥B − MDC 的体积为定值
乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称
该组为“甲类组”．
(1)
(1) 求一个试用组为“ 甲类组”的概率；
(2) 观察3个试用组，用ξ表示这3个试用机组“ 甲类组”的个数，求ξ的分布列和数学期望． 19. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b + c = 2a cos B ．
【解答】
解：由题意(1 − 2i)2 = 1 − 4i − 4 = −3 − 4i ， ∵复数−3 − 4i 的共轭复数为−3 + 4i ， ∴复数(1 − 2i)2 的共轭复数虚部为4. 故选C. 2.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
先求出集合M ，再利用集合的交集运算求解即可.
【解答】
解：集合 M = {x| lg(x − 2) ≤ 0} = {x|2 < x ≤ 3} ， 集合 N = {x|x > 0} ， 则M ∩ N = {x|2 < x ≤ 3} = M . 故选C. 3.
16. 已知抛物线C：y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F ，准线为l．若位于x轴上方的动点A在准线l上，线段 AF 与抛物线C相交于点B，且 |AF| = |AF| + 1 ，则抛物线C的标准方程为________．
|BF|
四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 23 分 ，共计138分 ）
B.线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y = aˆ + bˆ x ，若bˆ = 2 ，¯x¯¯ = 1 ，¯y¯¯ = 3 ，则 aˆ = 1 D.若样本数据2x1 + 1 ，2x2 + 1 ，… ，2x16 + 1 的方差为8，则数据x1 ，x2 ，… ，x16的方差为2
毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重
病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了
甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 2 ， 1 ，现已进入 32
药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用
(2)当x ∈ (0, 2e)时， g (x) < k 恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
2023-2024学年全国高三下数学月考试卷
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 10 分 ，共计80分 ）
1.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算 共轭复数
【解析】
本题考查复数的乘法运算，共轭复数的概念，求出复数(1 − 2i)2 的共轭复数是解题的关键，由题 意，求出复数(1 − 2i)2 的共轭复数即可求解本题.
2023-2024学年全国高三下数学月考试卷 考试总分：298 分 考试时间： 120 分钟 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I（选择题）
17. 设数列{an }的前n项和为Sn ， （1）求数列{an }的通项公式；
，都有am+1 − am ＝−1 ，且a2 + S2 ＝−5 ．
（2）求证： + +…+
<1．
18. 冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸 综合征（SARS ）等较严重疾病，而新型冠状病毒（nCoV ）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新
解：圆锥体积V = 1 ⋅ π ⋅ ( l )
2
h=
1 ⋅ l2 h ≈ 1 l2h
，
3
2π
12 π 36
解得π ≈ 3 .
设所求圆锥的底面直径与母线长为x，则底面半径为 x ，
2
则S表面积
=
π(
x 2
)
2 + 1 ⋅ π ⋅ x ⋅ x = 3 πx2 ≈ 9 x2 = 9
2
44
(x > 0) ，
∴圆心C (4, −2) ，半径r = 1 ，
∴圆心到直线l : y = x + ∴切线长的最小值为√
2 的距离d −d−2−−−−r2− = √
|4 + 2 + 2|
= √ 2– −3−2−−−1− = √
−3−1
= .
4√
2–
，
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
【解答】
C. 1 2
D. 3 5
5. 过直线y = x + 2 上的点向圆(x − 4) 2 + (y + 2) 2 = 1 引切线，则切线长的最小值为( ) A.√ −3−3 B.4√ 2– C.√ −3−1 D.√ −3−0
6. 《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘 也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h，计算其体积V的近似 公式V ≈ 1 L2h .用该术可求得圆周率π的近似值．现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径
【答案】
B
【考点】 二项式定理的应用
【解析】
利用二项展开式的通项公式求出(1 + x)6 展开式的通项，分别令x = 3 ，2，1求出展开式含x3 ，x2 ， x的项，利用多项式乘法 求出(1 − ax)2(1 + x)6 的展开式中x3 项的系数，列出方程求出a．
【解答】
解：∵(1 + x)6 展开式的通项为Tr+1 = Cr6xr , 令r = 3 得展开式含x3 项的系数为C36 = 20 ， 令r = 2 得展开式含x2 项的系数为C26 = 15 ， 所以(1 − ax)(1 + x)6 的展开式中x3项的系数为20 − 15a = −10 ， 解得a = 2 . 故选B. 4.
【答案】
A
【考点】 相互独立事件的概率乘法公式 条件概率与独立事件
【解析】 此题暂无解析
【解答】 此题暂无解答
5.
【答案】
C
【考点】 点到直线的距离公式 圆的切线方程
直线与圆的位置关系
【解析】
首先求得圆心到直线的距离，然后数形结合即可求得切线长的最小值．
【解答】
解：∵圆 (x − 4) 2 + (y + 2) 2 = 1 ，
2
卷II（非选择题）
，f(1) = 1 ，则下列结论不正确的是( 2
三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）
13.
已知两个单位向量→a ，→b 满足
|→a
+
→ b|
=
|→a |
,则向量→a 与→b 的夹角为________.
14. 已知函数f (x) = ex + b 的一条切线为y = a (x + 1) ，则ab的最小值为________.
a
a
【解答】
解：当双曲线的焦点在x轴上，
(1)证明：A = 2B；
(2)若△ABC的面积S = a2 ，求角A的大小． 4
20. 如图，在三棱锥P − ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，D，M 分别为AC ，DP 的中点，N为棱 PC 上靠近点C的三等分点，PA = PC = AB = BC = 2, AB ⊥ BC .
(1)若点H 在线段BD 的延长线上，且DB = DH ，问：在棱AP 上是否存在点E ，使得HE 与BN 垂直？
15.
已知数列{a
n
}满足
nan − 28 an+1
= n − 1 (n ∈ N ∗)
，a1 + a2 + a3 = 75
，记
Sn = a1 a2 a3 + a2 a3 a4 + a3 a4 a5 + ⋯ + an an+1 an+2 ，则a2 = ________，使Sn 取最大值时的
n = ________．
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 10 分 ，共计80分 ）
1. 已知i为虚数单位，复数 (1 − 2i) 2 的共轭复数虚部为（ ） A. 4i B. −4 C. 4 D. −4i
2. 已知集合 M = {x| lg(x − 2) ≤ 0}, N = {x|x > 0} A.d B.N C.M D. (0, 3)
(2)设直线l与直线AB 平行，且与椭圆C交于M ，N 两点，当△OMN 与△OAB的面积之比为 2√ 2– : 3时，求直线l的方程． 22. 已知函数f (x) = ln(ax) − x ，g (x) = (x + 1) ln(x + 1) + x2 − 8x ．
(1)当x ∈ (0, e)时，函数f (x) 有且仅有两个零点，求实数a的取值范围；
36 和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，则该圆锥体积的近似值为( ) A.√ 3– B.2√ 3– C.3√ 3–
D. 3
7. 某食品的保鲜时长y（单位：小时）与储藏温度x（单位：∘C）满足函数关系 y = ekx+m (e = 2.718 ⋯ 为自然对数底数，k，m为常数）．若该食品在0∘C的保鲜时长是200小时，在 22∘C的保鲜时长是50小时，则该食品在33∘C的保鲜时长是( ) A.15小时 B.20小时 C.25小时 D.30小时