(优辅资源)宁夏银川九中高三下学期第四次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

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银川九中 2016-2017 学年第二学期第四次模拟试卷
高三年级数学（文科）试卷（本试卷满分150 分）命题人：杨世暄
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，其中第 II 卷第（ 22）—（ 23）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：
1、答题前，考生务必然自己的姓名、学生、班级填写在答题卡上，否则该卷记零分。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案的标号；
非选择题答案使用0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3、请依照题号在各题的答题地域（黑色线框）内作答，超出答题地域书写的答案无效。

4、保持卡面干净，不折叠，不破坏。

5、做选考题时，考生依照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的
题号涂黑。

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选
项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.
1.设U R, A 3, 2, 1,0,1,2 , B x x 1 ，则AI (C U B) （）
A．1,2 B ．1,0,1,2 C ．3, 2, 1,0 D ． 2
2. 若复数z满足z(1 i ) 2i ，则复数z 在复平面内对应的点在（）
A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
y 2x 2
3. 若实数x, y满足：y x 1 ，则z 3x y 的最大值是（）
y x 1
A．3 B ． 4 C．5 D ． 6
4. 平面向量a (1, x), b ( 2,3) ，若a ∥ b ，则实数 x 的值为（）
A． 6 B ．2
C. 3 D ． 0
3 2
5, 已知等差数列 { a n } 中， a1 50，d 2 ，S n 0 ，则n等于 ( ) （A）48 （B）49
（C）50 （D）51
6．已知cos x
3 1
，则 cos 2x 2 sin 2 x 的值为 ( ) 3 3 3
1 1 5
D．5
A ．B．C．
3
9 9 3
7．以下选项中，说法正确的选项是()
A ．若 a>b>0 ，则log1a log 1 b
2 2
B．向量a 1, m , b m,2 m 1 m R 共线的充要条件是m=0
C．命题“n N ,3n n 2 2n 1”的否定是“ n N ,3n n 2 2n 1”
D．已知函数 f x 在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若 f a f b0 ，则
f x 在区间(a， b)内最少有一个零点”的抗命题为假命题
8、函数f ( x) 2sin( x ) ( 0 , ) 的部分
2 2
图象以下列图，则ω，φ的值分别是（）.
A．2, B．2,
3 6
C．4, D．4,
6 3
9, 等比数列 { a n } 的前 5 项的和 S5 10 ，前 10 项的和 S10 50 ，
则它的前 20 项的和 S20 ( )
（ A） 160 （ B） 210
（ C） 640 （ D） 850
2x 1
10．函数f x cos x 的图象大体是()
2x 1
11. 如图，过抛物线y2 2px( p 0) 的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C ，
若 BC 2BF ，且 AF 3 ，则抛物线的方程为（）
3
A．y2x B．y 2 9x C.y 2
9
x D．y2 3x
2
12, 已知函数 f (x)
4e x
(x 1) k( 2
x
3
2x 2 ) ，若 x 2 是函数 f ( x) 的唯一一个极值点，
3 则实数 k 的取值范围是 ( )
（ A ） ( 2e ，e]
（ B ） [0 ，2e]
（ C ） ( ， e)
[e ，2e]
（D ） (
， e)
[0 ，e]
第二卷
二、填空题： (本大题共 4 个小题，每题
5 分，共 20 分)
1
，则 f f
13,已知函数 f x
5 x
, x 3 =
．
log 4 x, x 0
14．观察以下式子：
依照以上规律，第
n 个不等式是 ．
15．某几何体的三视图以下列图，该几何体的体积为
16, 已知一个圆锥的极点和底面的圆周都在同一个球面
上，若球的半径为 1，则当圆锥的体积最大时，
圆锥
的高为
.
三、解答题（本大题包括 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤）．
17. 已知 a ，b ，c 分别为△ ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边， c ＝ 3asin C －ccos A.
(1)求 A ；
(2)若 a ＝2，△ ABC 的面积为 3，求 b ，c.
18．已知 200 辆汽车经过某一段公路时的时速的频率分布直方图以下列图，
（ 1）依照此频率分布直方图，计算一下此段公路经过的车辆的时速的平均数，
众数，中位数；
（ 2）现想检查车辆的某性能，若要在速度较高的
2 个时速段中，依照分层抽样
的方法，抽取 6 辆车做检查，计算各时速段被抽取的车辆的个数；
（3）若将这 6 辆车分别编号为 1，2，3，4，5，6，且从中抽取 2 辆车，则这两辆车的编号之和不大于 10 的概率是多少．
19.如图，已知三棱锥A BPC 中，AP PC, AC BC ，M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点，且PMB 为正三角形.
（1）求证：BC平面APC；
（2）若BC 6, AB 20，求三棱锥D BCM的体积 .
20. 已知椭圆C
的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为
2
，过椭圆
C
上一点
P(2,1）
，
2
作 x 轴的垂线，垂足为Q .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q的直线l交椭圆C于A, B两点，且3QA QB 0 ，求直线 l 的方程.
21. 已知函数f ( x) ( 2x 4)e x a( x 2) 2（a R， e 是自然对数的底数）. （1）当a 1 时，求曲线y f ( x) 在点 P(0, f (0)) 处的切线方程；
（2）当x 0 时，不等式 f ( x) 4a 4 恒建立，求实数 a 的取值范围.
请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分
.
22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程式
4cos ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的
x
2 t m
正半轴，建立平面直角坐标系，直线
l 的参数方程是：
2
（ t 是参数） . y
2 t
2
（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的一般方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 订交于 A, B 两点，且 AB 14 ，试求实数 m 的值 .
23. 选修 4-5 ：不等式选讲
已知函数 f ( x) x 2
x 2 m(x R) .
（1）若 m
1
f ( x) 0的解集；
，求不等式
（2）若方程 f (x) x 有三个实数根，求实数 m 的取值范围 .
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选
项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的
.
1-5 CACCD 6-10 BDBDC
11,12 DB
二、填空题： (本大题共 4 个小题，每题
5 分，共 20 分 )
1
3 13,已知函数 f
x 5
, x f
f 3 =
x
，则 ．
log 4 x, x 0
2
14．观察以下式子：
依照以上规律，第 n 个不等式是
(n
1) 2 1 22 3 ......n(n 1)
．
2
15 ．某几何体的三视图以下列图，该几何体的体积为
9
3
6
16, 已知一个圆锥的极点和底面的圆周都在同一个球面
上，若球的半径为 1，则当圆锥的体积最大时， 圆锥
的高为
4
.
3
（16） 4
，设圆锥高为 h ，底面半径为
r ，则 12＝ ( h － 1) 2
3
＋r 2，∴ r 2＝ 2h － h 2，
1 π
2 π 4 4
∴V ＝ 3π r 2h ＝ 3 h (2 h －h 2) ＝ 3π h 2－ 3 h 3，∴ V ′＝ 3π h － πh 2，令 V ′＝ 0 得 h ＝ 3或 h ＝ 0( 舍
去) ，
4
4
4
当 0＜ h ＜3时， V ′＞ 0；当 3＜h ＜ 2R 时， V ′＜ 0. 因此当 h ＝ 3时，圆锥体积最大 .
三、解答题（本大题包括 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤） ． 17.解 (1)由 c ＝ 3asin C －ccos A 及正弦定理，得 3sin Asin C － cos A ·sin C － sin C ＝ 0，
由于 sin C ≠ 0，因此 sin A －π
＝ 1，
6 2 π π 5π π
又 0<A<π，因此－
<A － < ，故 A ＝
.
6
6
6 3
1
(2) △ ABC 的面积 S ＝ 2bcsin A ＝ 3，故 bc ＝ 4.
而 a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccos A ，故 b 2＋ c 2＝ 8，解得 b ＝ c ＝ 2.
π
1
由于 sin C ≠ 0，因此 sin A －
＝ ，
又 0<A<π，因此－ π π 5π
π
6 <A － < ，故
A ＝
.
6 6 3
1
(2) △ ABC 的面积 S ＝
2bcsin A ＝ 3，故 bc ＝ 4. 而 a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccos A ，故 b 2＋ c 2＝ 8，解得 b ＝ c ＝ 2.
18【解答】 解：（1）∵频率分布直方图中 [ 60，70）对应的小矩形最高，
∴众数为
=65．
平均数为： 45× 0.1+55×0.3+65×0.4+75×0.2=62﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
中位数为： 60+
=62.5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（ 2）由图可知，较高速度的 2 个时速段中的比值为 2：1，由分层抽样方法可知，
在速度较高的 2 个时速段中，依照分层抽样的方法，抽取
6 辆车做检查，
各时段的抽取车辆分别为 4 个和 2 个．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（ 3）设事件 A 为两辆车的编号之和不大于 10，
则 P （A ）=
﹣﹣﹣﹣﹣
19. 解：（ 1）由 PMB 为正三角形得 MD
PB ，由 M 为 AB 的中点，
得 MD ∥ AP ，因此 AP
PB ，可证得 AP 平面 PBC ，
因此 AP
BC ，又 AC
BC ，因此得 BC
平面 APC .
（2）由题意可知，
MD 平面 PBC ，∴ MD 是三棱锥 D
BCM 的高，
BM
1
AB 10, DM 3
BM
5 3,BD
1
PB 5 ，
2
2
2
在直角三角形
ABC 中， M 为斜边 AB 的中点， CM
1
AB 10，
2
在直角三角形 CDM 中， CD CM 2 DM 2
5 ，
∴三角形 BCD 为等腰三角形，底边
BC 上的高为 4 ，
V
M DBC
1 1
6 4 53 203.
3 2
x 2
y 2 10
( x 2) .
20. （1） C :
1 ；（ 2） y
6
3
2
解析：【试题解析】 （1）依照题设条件建立方程组求解； （ 2）先建立直线的方程，再运用直
线与椭圆的地址关系中的坐标之间的关系解析研究
.
（1）设椭圆 C 的方程为
x 2
y 2 1(a b 0) ，
a 2
b 2 由题意得
c
2，且 4 1 1，
a 2
a 2
b 2
解得 a 2
6,b 2
c 2 3 ，则椭圆 C :
x 2
y 2 1.
6
3
（ 2）由题意得点 Q( 2,0) ，直线 l 的倾斜角为 0 时，不吻合题 .
设直线方程为 x ty 2(t 0)
，点
( , ), ( ,
) ，
y 1
B x 2 y 2
A x 1
则
QA (x 1
2, y 1 ), QB (x 2 2, y 2 ) ，
由 3QA
QB 0，得 3 y 1
y 2
0，
于是 y 1
y 2
2 y 1, y 1 y 2
2
，获取
( y 1 y 2 ) 2
4
（※） 3y 1
y 1 y 2
3
将直线 x
ty 2(t 0) ，代入椭圆 C :
x 2
y 2
1 ，获取 (
2 t 2 ) y 2 4ty 2 0，
6
3
于是 y 1
y 2
4t
2 , y 1 y 2
2 2 ，
2 t
2 t
代入（※）式，解得 t
2
2 ，
5
因此直线 l 的方程为 y
10
(x
2) .
2
21. 解：（ 1）当 a 1 时，有 f ( x)
( 2x 4)e x ( x 2)2 ，
则 f (x) (2x 4)e x 2x 4
f ( 0)
242.
又由于 f (0) 4 4 0 ，
∴曲线 y
f (x) 在点 P(0, f (0)) 处的切线方程为 y
2(x 0) ，即 y
2x .
（2）由于 f (x) (2x 4)e x 2a(x 2) ，
令 g( x) f (x) (2x 4)e x
2a( x 2) ，
有 g ( x)
2x e x
2a( x 0) 且函数 y
g (x) 在 x [0, ) 上单调递加，
当 2a 0 ，有g ( x) 0 ，此时函数 y f ( x) 在 x [0, ) 上单调递加，则f (x) f (0) 4a 2 .
①若 4a 2 0 即a 1
时，有函数 y f (x) 在 x [0, ) 上单调递加，2
则 f (x)min f (0) 4a 4 恒建立；
②若 4a 2 0 即0 a 1
x [ 0, ) 存在 f (x0 ) 0 ，时，则在
2
此时函数 y f ( x) 在 x (0, x0 ) 上单调递减，x ( x0 , ) 上单调递加且
f (0) 4a 4 0 ，
因此不等式不可以能恒建立，故不吻合题意；
当 2a 0 时，有 g (0) 2a 0 ，则在 x [0, ) 存在g ( x1) 0 ，此时 x (0, x1) 上单调递减， x (x1, ) 上单调递加，因此函数y f ( x) 在 x [0, ) 上先减后增，
又 f (0) 2 4a 0 ，
则函数 y f (x) 在 x [0, ) 上先减后增且 f (0) 4a 4 0 ，
因此不等式不可以能恒建立，故不吻合题
意；
综上所述，实数 a 的取值范围是 a 1
.
22. （ 1）曲线C的极坐标方程是2
: x2 y2 4x 0 .
4 cos 化为直角坐标方程为
直线 l 的直角坐标方程为：y x m .
（2）（法一）由（1）知：圆心的坐标为(2,0) ，圆的半径R 2 ，∴圆心到直线 l 的距离 d 22 ( 14 )2 2 ，
2 2
∴2 0 m 2
m 2 1 ，
2 2
∴m 1 m 3
.
或
x 2 t m
（法二）把 2 （ t 是参数）代入方程x 2 y 2 4x 0 , y 2 t
2
得 t2 2(m 2)t m2 4m 0,
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∴ t1 t2 2( m 2), t1t2 m2 4m .
∴
AB t1 t 2 (
t1 t2
)2 4 [ 2(
m
2)] 2 4
m
2 4
m
14
.
t1t2
∴m 1或 m 3 .
23. （ 1）∵m 1 f ( x) x 2 x 2 1
.
时，
∴当 x 2 时， f (x) 3 ，不可以能非
负，
当 2 x 2时， f (x) 2x 1 ，由 f ( x) 0 可解得 x 1 1
，于是x 2 .
2 2
当 x 2 时， f (x) 5 0恒建立.
∴不等式 f ( x) 0 的解集为 [ 1 , ) .
2
（2）由方程f (x) x 可变形为m x x 2 x 2 .
x 4, x 2
令 h( x) x x 2 x 2 x, 2 x 2 ，
x 4, x 2
作出图象以下列图.
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