安徽省含山中学、和县中学2019-2020学年高一下学期期末联考数学(理科)试卷 Word版含解析
安徽省名校2019-2020学年高一下学期期末联考数学题(原卷版)
3．本试卷主要考试内容：人教A版必修2第一、二章，必修5．
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（）
A.三棱柱B.四棱锥C.四棱柱D.五棱台
2.在 中，角 ， ， 所对 边分别为 ， ， .已知 ， ， ，则 （）
16.如图，在正方体 中，点P是 上的任意一点，点M，N分别是AB和BC上的点，且 ，若 ，则三棱锥 体积的最大值是_______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图，在正方体 中，M，N分别是 ， 的中点．证明：
（1） 平面 ；
（2） 平面 ．
如图在三棱柱111abcabc?中1aa?平面abc四边形11bccb为正方形24bcab??abbc?d为11cb的中点则异面直线11ac与ad所成角的余弦值为a
2019~2020高一第二学期期末考试
数学试卷
考生注意：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
A.-2B.1C. D.
7.已知l，m，n为不同 直线， ， ， 为不同的平面，则下列判断错误的是（）
A.若 ， ， ．则
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ， ，则
D.若 ， ，则
8.已知 ， ，且 ，则 的最小值是（）
A.4B.6C.8D.2
9.如图，在三棱柱 中， 平面 ，四边形 为正方形， ， ，D为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．
安徽省2019-2020学年高一下学期期末数学题(原卷版).docx
2019—2020学年度高一年级第二学期期末教学质量检测数学试卷（满分：150分考试时间：120分钟考试范围：必修三、必修五）温馨提示：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，鲍用23铅笔把对应的准考证号涂黑.2.选择题每小题选出答案后，用23铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案；不能答在试卷上.3.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1.设ct>b , a , b , ccR则下列命题为真命题的是（）A. ac~ >bc~B. ?>1C. a-c>b-cD. >b1b2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球77 1T3.已知A4BC中，A = —, B = ~, a=i,则力等于（）6 4A. 2B. 1C. ^3D. 724.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（）1112A. 一B. 一C. —D.—6 2 3 35.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1, 2,…，1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A. 8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生6. A ABC 内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a =用,b = 2, A = 60°，则c=()A. ?B. 1C. 73D. 27.若关于x的不等式x2-3ax + 2> 0的解集为(-oo,l)o(m,+oo),则a + m等于( )A. -1B. 1C. 2D. 38.等差数列｛%｝的前n项和记为S n,若a2+a4+a l5的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是D. S l5A. S7B. $8C.§3Z218B 1009 c 2020 2019 ' 2019 ' 2021 10.在左ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c,已知（a+b —c ）（a+b+c ）=3ab,且c=4,则△ABC 面积的最大值为（）A . Q0 2^3D. ^3 11. 若正数x, y 满足x+3y=5xy,则3x+4y 的最小值是（）D. 612, 公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次 比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？ ”在上述问题中，第一人分得玉米（）810 _7101010 2021B.4右C史4■ 810-7")二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）13.一组数据：3, 4, 6, 7, 10,其方差14. A ABC的内角A, B,。
2019-2020年高一下学期期末考试 数学理 含答案
2019-2020年高一下学期期末考试 数学理 含答案注意事项：1．本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。
选择题填涂在答题卡上非选择题答案填写在答题纸的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号。
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．请仔细审题、认真做答。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、经过点(2,)M m -、(,4)N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）A. 1 B ． 4 C ． 1或3 D ．1或4 2、下列方程中圆心在点(2,3)P -，并且与y 轴相切的圆是（ ）A. 22(2)(3)4x y -++= B ．22(2)(3)4x y ++-=C ． 22(2)(3)9x y -++=D ．22(2)(3)9x y ++-=3、两个球表面积的比为1:4，则体积的比为（ ）A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 不确定4、若一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积为（ ） Ａ．2πＢ．4π Ｃ．8π Ｄ．83π 5、斜率为3-，在x 轴上截距为2-的直线的一般式方程是（ ） A ．360x y ++= B ．320x y -+= C ．360x y +-= D ．320x y --=6、如图，一个正方形OABC 在斜二测画法下的直观图是个一条边长为1的平行四边形，则正方形OABC 的面积为（A. 1B. 4C. 1或4D. 不能确定7、圆9)2()(:221=++-y m x C 与圆4)()1(:222=-++m y x C 内切，则m 的值（ ）A.2-B. 1-C. 12--或D. 2或18、下列命题正确的是（ ）A. 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αB. 若直线l 与平面α有两个公共点，则直线l 在平面内45y 1x 1 C1B 1A 1O 1C. 若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内的任意直线都是异面直线D. 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α 9、下列命题正确的是（ ）A. 垂直于同一条直线的两条直线平行B. 垂直于同一个平面的两条直线平行C. 平行于同一个平面的两条直线平行D. 平行于同一条直线的两个平面平行10、若(2,1)P 为圆22(1)36x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 30x y +-= 11、周长为20的矩形绕其一边旋转形成一个圆柱，该圆柱的侧面积的最大值是( ) A ．25π B ．50π C ．100π D ．200π12、正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影落在底面中心的四棱锥）P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果球O 的表面积是4π，则四棱锥P ABCD -的体积为（ ） A ．316 B ．23 C ．2 D ．43第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、直线l 经过坐标原点和点()1,1M -，则它的倾斜角等于_______________；14、三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，三个侧面的面积分别为1、2和4，则三棱锥P-ABC 的体积为____________；15、过锥体的高的三等分点分别作平行于底面的截面，它们把锥体分成三部分，则这三部分 的体积之比为_______________；16、设P (x ,y )为圆x 2＋(y －1)2=1上任一点，要使不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则m 的取值范 围是 ．三、解答题（共70分，每题的解答要有必要的推理过程，直接写结果不得分）17、（10分）已知直线l 的方程为34120x y +-=，（1）若'l 与l 平行，且过点（－1，3），求直线'l 的方程；（2）求'l 与坐标轴围成的三角形面积．18、（12分）一个四棱锥的正视图，侧视图(单位：cm )如图所示，（1）请画出该几何体的俯视图；侧视图（2）求该几何体的体积； （3）求该几何体的表面积.19、（12分）如图在正方体中（1）求异面直线11BC CD 与所成的角；（2）求直线D 1B 与底面ABCD（3）求二面角1D AC D --大小的正切值.20、（12分）求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程．21、（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PA 底面⊥, E 为PD 中点。
2019-2020学年高一数学下学期期末联考试题 (I)
2019-2020学年高一数学下学期期末联考试题 (I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{2,1,0,1,2}U =--，集合2{|20}A x x x =--=，{0,2}B =，则U B C A =（ ）A ．{0}B ．{2,0,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1,2}-2.若向量(2,3)a =-，(1,2)b =-，则2a b -=（ ）A ．(3,4)-B ．(5,8)-C ．(5,8)-D ．(3,4)-3.在等差数列{}n a 中，343a a +=，5611a a +=，则数列{}n a 的公差d =（ ）A ．2B ．1C ．32D ．524.如图，已知用斜二测画法画出的ABC ∆的直观图'''A B C ∆是边长为2的正三角形，则原三角形的面积为（ ）A 3．26．2365.过点(3,4)A 且与直线l ：210x y --=平行的直线的方程是（ ）A ．2110x y +-=B ．2100x y +-=C ．250x y -+=D ．250x y --=6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3442+B ．3422+C ．3242+D ．3622+7.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，6b =，45A =︒，则B =（ ）A ．6π或56πB ．3πC ．3π或23πD ．6π 8.若函数2()log f x a x =+在区间[1,]a 上的最大值为6，则a =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89.函数22(1)sin 6()1x x f x x-=+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知钝角ABC ∆的三边长分别为1a -，a ，1a +，则a 的取值范围为（ ）A ．(2,4)B ．(1,2)C ．(1,4)D ．(4,)+∞11.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中2AD BD ==60ABC ∠=︒.若将它们的斜边AB 重合，让三角形ABD 以AB 为轴转动，则下列说法不正确的是（ ）A ．当平面ABD ⊥平面ABC 时，C ，D 2B ．当平面ABD ⊥平面ABC 时，CD 与平面ABC 所成的角为45︒C ．在三角形ABD 转动过程中，总有AB CD ⊥D ．在三角形ABD 转动过程中，三棱锥D ABC -3 12.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S n =，若存在唯一的正整数n 使得不等式221022n n t t a a t ----≤成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．[1,0]- B ．(4,0]- C ．(4,2)- D ．(4,1][0,2)--二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件35474311x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为 ．14.函数()tan(2)3f x x π=-的对称中心为 ．15.已知(2,0)A ，l ：30x y +-=，若一条光线过点A ，经过l 反射到y 轴结束，则这条光线经过的最短路程是 ．16.已知数列{}n b 的前n 项和21n n S =-，数列{}n a 满足22log n n a b =，若122311111837n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，则n = ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线1l ：2240kx y k --+=，直线2l ：224480k x y k +--=.（1）若12//l l ，求1l 与2l 的距离d ；（2）若12l l ⊥，求1l 与2l 的交点P 的坐标.18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3sin (cos 1)C c A =+.（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，3ABC S ∆=，求a 的值.19.已知向量(5sin cos ,cos )a βββ=-，(sin ,5cos sin )b ααα=--，且2a b ⋅=.（1）求cos()αβ+的值；（2）若02παβ<<<，且10sin 10α=，求2αβ+的值. 20.已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的正方形，AC 与BD 交于点O ，M 为OC 的中点，PA b =，E 为PD 中点，F 为PA 上一点，且13AF b =.（1）证明：//CE 平面BFD ；（2）若点M 到平面POD 的距离为15b ，求:a b 的值.21.已知函数()(1)f x ax a =-+.（1）求关于x 的不等式()0f x <的解集；（2）若2()f x x x a ≤--在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.22.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且33332123n n a a a a S +++⋅⋅⋅+=对任意*n N ∈恒成立.（1）证明：22n n n S a a =+；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若2n n n b S ma =+，数列{}n b 是递增数列，求m 的取值范围.xx ～xx 孝感市重点高中协作体期末考试高一数学参考答案一、选择题1-5: BBABC 6-10: ACBCA 11、12：CD二、填空题 13. 11 14. (,0)46k ππ+，k Z ∈ 15. 3 16. 18 三、解答题17.解：（1）若12//l l ，则由242k k ⋅=-⋅，即2240k k +=，解得0k =或2k =-. 当0k =时，直线1l ：240y -+=，直线2l ：480y -=，两直线重合，不符合12//l l ，故舍去；当2k =-时，直线1l ：40x y +-=，直线2l ：60x y +-=，所以d ==（2）若12l l ⊥，则由23(2)480k k k ⋅+-⋅=-=，得2k =. 所以两直线方程为1l ：0x y -=，2l ：60x y +-=，联立方程组060x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以1l 与2l 的交点P 的坐标为(3,3)P .18.解：（1sin sin (cos 1)A C C A =+，由于sin 0C ≠cos 1A A =+cos 1A A -=， 则1sin()62A π-=. 因为0A π<<，所以5666A πππ-<-<，所以66A ππ-=， 所以3A π=.（2）由ABC S ∆可得1sin 2S bc A == 所以4bc =. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-2()313b c bc =+-=，所以a =19.解：（1）因为(5sin cos ,cos )a βββ=-，(sin sin )b ααα=--，所以(5sin cos )(sin )a b ββα⋅=-⋅-cos sin )βαα+⋅-cos sin αβαβ)αβ=+.因为2a b ⋅=)2αβ+=，即cos()αβ+=.（2）因为02πα<<，sin 10α=，所以cos 10α=， 因为02παβ<<<，所以0αβπ<+<.因为cos()5αβ+=，所以sin()5αβ+=，所以cos(2)cos cos()αβααβ+=+sin sin()2ααβ-+=. 因为02παβ<<<，所以3022παβ<+<，所以24παβ+=. 20.（1）证明：取PF 中点G ，连接EG ，则//EG FD ，连接GC ，FO ，则//GC FO ， ∴平面//CEG 平面BFD .又∵CE ⊂平面CEG ，∴//CE 平面BFD .（2）解：∵底面ABCD 是边长为a 的正方形，M 为OC 的中点，∴218OMD S a ∆=. ∵PA ⊥平面ABCD ，PA b =， ∴21138P MOD V b a -=⋅.∵PA AC ⊥，2AO a =，∴PO ==.∴122POD S a ∆=⨯.∴1113522M POD V b a -=⨯⨯⨯∵M POD P MOD V V --=，∴22821b a =.∴:21a b ==.21.解：（1）若0a =，原不等式可化为10-<，所以x R ∈. 若0a <，解得1a x a+>； 若0a >，解得1a x a +<. 综上，当0a =时，不等式解集为R ；当0a <时，不等式解集为1{|}a x x a+>； 当0a >时，不等式解集为1{|}a x x a +<. （2）由2(1)ax a x x a -+≤--得21ax x x ≤-+， 因为(0,)x ∈+∞，所以2111x x a x x x-+≤=+-， 所以2()f x x x ≤-在(0,)+∞上恒成立，即11a x x≤+-在(0,)+∞上恒成立. 令1()1g x x x=+-，只需min ()a g x ≤， 又因为(0,)x ∈+∞，所以1()111g x x x =+-≥=，当且仅当1x =时等式成立. 所以a 的取值范围是(,1]-∞.22.（1）证明：由33332123n na a a a S +++⋅⋅⋅+=， 得3333212311(2)n n a a a a S n --+++⋅⋅⋅+=≥，两式相减得32211()n n n n n n a S S a S S --=-=+.又0n a >，所以212n n n n n a S S S a -=+=-，即22(2)n n n S a a n =+≥， 当1n =时，3211a S =，得11a =，也满足21112S a a =+，所以22n n n S a a =+.（2）解：当2n ≥时，2211()()12n n n n n n n a a a a a S S --+-+=--=， 得2211n n n n a a a a ---=+，又0n a >，所以11n n a a --=， 所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，故1(1)n a n n =+-=.（3）解：因为n a n =，(1)2n n n S +=，所以2(1)n b n m n =++. 所以21(1)(1)(1)n n b b n m n +-=++++2(1)n m n --+ 220n m =++>对任意*n N ∈恒成立， 所以22m n >--，得4m >-.欢迎您的下载，资料仅供参考！资料仅供参考!!!。
含山中学、和县中学2019-2020学年高一下学期期末联考数学(理科)试卷含解析
2019—2020学年安徽省含山中学、和县中学高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）。
1．sin cos＝( )A．B．C．1 D．2．在等差数列｛a n}中，a8＝24，a16＝8，则a24＝（）A．﹣24 B．﹣16 C．﹣8 D．03．已知tanα＝﹣，且α∈（0,π）,则sin（α+）＝（）A．B．C．D．4．在△ABC中，AB＝，A＝45°,B＝75°，则BC＝（）A．2 B．2C．2D．45．已知等比数列{a n}的前n项和S n＝3n+2+3t，则t＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣96．周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sin(α+β）＝（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2﹣2n+2，则a8＝（）A．13 B．15 C．17 D．198．在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则( ）A．A＝B B．B＝C C．C＝A D．B+C＝9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3,则b cos C+c cos B＝（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知数列｛a n}满足a1＝+1，a n+1＝，(n∈N＊），则a2020＝( )A．B．C．D．﹣111．如图所示，在地面上共线的三点A，B,C处测得一建筑物MN 的顶部M处的仰角分别为∠MAN＝30°，∠MBN＝60°,∠MCN ＝45°,且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为（）A．12m B．12m C．30m D．30m12．如图所示的“数阵”的特点是:每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为（)A．13 B．14 C．15 D．16二、填空题（共4小题）。
13．tan15°＝．14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”原文意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,问塔的顶层有多少盏灯?若塔的最中间一层有n盏灯,则n＝．15．函数f（x）＝2sin x+3cos x的最小值为．16．在△ABC中，已知AB＝9,BC＝7，cos（C﹣A）＝，则△ABC 的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知等差数列{a n｝的前n项和为S n,a3+a6＝16，S21＝441．（1）求数列｛a n｝的通项公式：（2）若b n＝，求数列｛b n｝的前n项和T n．18．已知sinα＝,sin（α﹣β）＝，其中α，β∈（0，）．（1）求sin（α﹣2β）的值；（2）求β的值．19．在△ABC中，角A,B，C的对边分别为a，b,c，且2b cos C＝2a+c．(1）求角B的大小；(2)若c＝2，b＝2，求a的值．20．已知数列｛a n}，S n是其前n项和，且满足3a n＝2S n+n（n∈N*)，b n＝a n+．（1）求证：数列｛b n｝为等比数列；（2）若c n＝2n•b n，求数列{b n}的前n项和T n．21．在△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2+bc．（1)求角A的大小；（2）若a＝，求（﹣1）b+c的取值范围．22．已知数列｛a n｝的前n项和S n,满足a2＝﹣4，2S n＝n（a n﹣7）．（1）求a1和数列｛a n}的通项公式；（2）若b n＝｜a n|,求数列{b n}的前n项和T n．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有-项符合题目要求．1．sin cos＝（）A．B．C．1 D．【分析】直接利用二倍角公式求出函数的表达式,计算出值即可．解：因为＝＝．故选：A．2．在等差数列｛a n}中，a8＝24,a16＝8，则a24＝( ）A．﹣24 B．﹣16 C．﹣8 D．0【分析】由已知结合等差数列的性质即可直接求解．解：由等差数列的性质可得，d＝＝﹣2,则a24＝a8+16d＝24﹣32＝﹣8．故选：C．3．已知tanα＝﹣，且α∈（0，π）,则sin（α+）＝（）A．B．C．D．【分析】由特殊角的三角函数值得到α＝,然后利用两角和与差的公式解答．解:∵tanα＝﹣，且α∈(0,π）,∴α＝,∴sinα＝sin＝,cosα＝cos＝﹣．∴sin(α+）＝（sinαcos+cosαsin）＝(×﹣×）＝．故选:B．4．在△ABC中，AB＝，A＝45°，B＝75°，则BC＝（）A．2 B．2C．2D．4【分析】根据题意可求得C＝60°，利用正弦定理即可得到BC．解：因为A＝45°，B＝75°，所以C＝180°﹣45°﹣75°＝60°，由正弦定理可得，则BC＝＝＝2，故选:A．5．已知等比数列｛a n｝的前n项和S n＝3n+2+3t,则t＝（) A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣9【分析】根据题意,由S n公式求出a1、a2、a3的值,由等比数列的定义分析可得答案．解：根据题意，等比数列{a n｝的前n项和S n＝3n+2+3t，则a1＝S1＝33+3t＝27+3t,a2＝S2﹣S1＝(34+3t）﹣（33+3t）＝54，a3＝S3﹣S2＝（35+3t）﹣（34+3t)＝162，则有（27+3t）×162＝542，解可得t＝﹣3，故选：C．6．周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sin（α+β)＝（）A．B．C．D．【分析】先根据条件求出边长，结合余弦定理求出中间角的余弦值，进而求得结论．解：因为周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，故三边长分别为2,3,4;设中间边对应的角为A；则cos A＝＝;故sin（α+β）＝sin（π﹣A）＝sin A＝＝＝;故选：D．7．已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2﹣2n+2,则a8＝( ）A．13 B．15 C．17 D．19【分析】利用a8＝S8﹣S7，即可得出．解：a8＝S8﹣S7＝82﹣2×8+2﹣（72﹣2×7+2）＝13，故选：A．8．在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则（）A．A＝B B．B＝C C．C＝A D．B+C＝【分析】利用三角函数的恒等变换变形得到cos(B﹣C）＝1,从而得到B＝C,则答案可求．解：∵由已知可得sin B sin C＝cos2＝,即2sin B sin C＝1+cos A＝1﹣cos(B+C）＝1﹣cos B cos C+sin B sin C，则cos B cos C+sin B sin C＝1,即cos（B﹣C)＝1．∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C＝0,即B＝C．故选：B．9．在△ABC中，角A,B，C的对边分别为a，b,c，若a＝3，则b cos C+c cos B＝( )A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用余项定理表示出cos C，cos B，代入化简即可得解:由余弦定理可得b cos C+c cos B＝b•+c•＝＝a ＝3,故选:C．10．已知数列{a n｝满足a1＝+1，a n+1＝,（n∈N*）,则a2020＝（）A．B．C．D．﹣1【分析】利用递推公式依次求出数列｛a n｝的前7项，从而得到｛a n}是周期为6的周期数列，从而a2020＝a4．解：∵数列｛a n｝满足a1＝+1，a n+1＝,（n∈N＊），∴a2＝＝﹣1，a3＝＝＝，＝＝，＝1，＝,＝＝，∴｛a n｝是周期为6的周期数列,∵2020＝336×6+4，∴a2020＝a4＝．故选：D．11．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN 的顶部M处的仰角分别为∠MAN＝30°，∠MBN＝60°，∠MCN＝45°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为（）A．12m B．12m C．30m D．30m【分析】用MN表示出AN，BN，CN,利用余弦定理表示出cos ∠ABN，cos∠CBN，根据cos∠ABN+cos∠CBN＝0列方程求出MN．解：设MN＝h，则AN＝h，BN＝，CN＝h，在△ABN中，由余弦定理可得cos∠ABN＝,在△BCN中，由余弦定理可得cos∠NBC＝，∵∠ABN+∠NBC＝π，∴+＝0,即7200+﹣4h2＝0，解得：h2＝2160，∴h＝12．故选:B．12．如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为（）A．13 B．14 C．15 D．16【分析】第i行第j列的数记为A ij，例如第一行数组成的数列A1j(j ＝1，2…）是以2为首相，公差为1的等差数列，则A1j＝2+(j﹣1）×1＝j+1，类似得第j列数组成的数列A ij（i＝1，2，…）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，则A ij＝ij+1，令A ij＝ij+1＝145，推出ij＝144＝24×32,进而145出现的次数．解:第i行第j列的数记为A ij，那么每一组i与j的组合就是表中的一个数，因为第一行数组成的数列A1j(j＝1，2…）是以2为首相，公差为1的等差数列，所以A1j＝2+（j﹣1）×1＝j+1，所以第j列数组成的数列A ij(i＝1，2，…)是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以A ij＝(j+1）+（i﹣1)×j＝ij+1，令A ij＝ij+1＝145，则ij＝144＝24×32，所以145出现的次数为（4+1）（2+1）＝15．故选：C．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．tan15°＝2﹣．【分析】把15°变为45°﹣30°,然后利用两角差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简可得tan15°的值．解：tan15°＝tan(45°﹣30°）＝＝＝＝2﹣．故答案为：2﹣．14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”原文意思是:一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有多少盏灯？若塔的最中间一层有n盏灯，则n＝24 ．【分析】根据题意，设从上向下每一层的灯的数记为{a n}，分析可得数列｛a n}是以2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得S7＝＝（27﹣1)a1＝381,解可得a1的值，进而计算可得答案．解：根据题意，设从上向下每一层的灯的数记为｛a n｝，则数列｛a n}是以2为公比的等比数列且S7＝＝（27﹣1）a1＝381，解可得a1＝3，塔的最中间一层有n盏灯,则n＝a4＝a1q3＝24,故答案为：2415．函数f（x）＝2sin x+3cos x的最小值为﹣．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解即可．解：函数f（x）＝2sin x+3cos x＝sin（x+φ）∈［﹣，］,其中tanφ＝，∴f（x）的最小值为﹣,故答案为:﹣．16．在△ABC中,已知AB＝9，BC＝7,cos（C﹣A）＝，则△ABC 的面积为12．【分析】作CD＝AD,则∠BCD＝C﹣A,设AD＝CD＝x,则BD＝9﹣x,在△BCD中,由余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出CD与BD的长，在三角形BCD中,利用余弦定理即可求出cos B的值,然后求出sin B，利用三角形的面积公式进行求解即可．解：∵AB＞BC，∴C＞A，作CD＝AD，则∠DCA＝∠A，则∠BCD＝C﹣A，即cos∠BCD ＝cos（C﹣A）＝，设AD＝CD＝x,则BD＝9﹣x，在△BDC中,由余弦定理得：BD2＝CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD,即（9﹣x）2＝x2+49﹣2×7x•＝x2+49﹣，整理解得：x＝6，∴AD＝6，BD＝3,CD＝6，在△BCD中，由余弦定理得cos B＝＝＝．则sin B＝＝，则△ABC的面积S＝×7×9×＝12，故答案为:12．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a3+a6＝16，S21＝441．(1)求数列{a n｝的通项公式：（2)若b n＝，求数列{b n｝的前n项和T n．【分析】（1）设数列｛a n}的公差为d，根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出关于a1和d的方程组，解之即可；（2）根据裂项相消法即可得解．解：(1）设数列{a n｝的公差为d，∵a3+a6＝16,S21＝441，∴，解得a1＝1，d＝2，∴a n＝1+2(n﹣1）＝2n﹣1,故数列{a n｝的通项公式为a n＝2n﹣1．（2）b n＝＝＝，∴T n＝+++……+＝＝．18．已知sinα＝，sin（α﹣β）＝，其中α，β∈（0，)．（1）求sin（α﹣2β)的值；(2)求β的值．【分析】(1)根据三角函数的同角关系，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可．（2）利用两角和差的正弦公式弦求出sinβ的值，结合角的范围进行求解．解：（1）由sinα＝，及α∈(0,）．得cosα＝＝，因为α，β∈（0，），所以α﹣β∈（﹣，），又sin（α﹣β）＝所以cos（α﹣β）＝＝，所以sin2（α﹣β)＝2sin(α﹣β)cos（α﹣β）＝2××＝,cos2（α﹣β）＝1﹣2sin2(α﹣β)＝1﹣2×(）2＝，所以sin(α﹣2β)＝sin［2（α﹣β）﹣α]＝sin2（α﹣β）cosα﹣cos2（α﹣β）sinα＝×＝﹣．（2）sinβ＝sin［α﹣(α﹣β)］＝sinαcos(α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）＝×﹣×＝，又β∈(0，），所以β＝．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b，c，且2b cos C＝2a+c．（1）求角B的大小；（2）若c＝2，b＝2，求a的值．【分析】(1）由正弦定理可将条件整理为（2cos B+1)sin C＝0，因为sin C≠0，故可求得cos B，即可得B；（2）根据余弦定理得到关于a的方程，解出即可．解：（1)因为2b cos C＝2a+c，所以由正弦定理得2sin B cos C＝2sin A+sin C，所以2sin B cos C＝2sin（B+C)+sin C，即2sin B cos C＝2（sin B cos C+cos B sin C）+sin C，整理可得（2cos B+1）sin C＝0,因为△ABC中，sin C＞0，所以cos B＝﹣，所以B＝；（2）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，所以28＝a2+4+2a，解得a＝4或a＝﹣6（舍）．所以a＝4．20．已知数列｛a n}，S n是其前n项和,且满足3a n＝2S n+n（n∈N＊)，b n＝a n+．(1）求证：数列{b n}为等比数列；（2）若c n＝2n•b n,求数列{b n}的前n项和T n．【分析】(1)由3a n＝2S n+n得，3a n+1＝2S n+1+n+1，两式相减化简后得a n+1＝3a n+1，可变形为a n+1+＝3(a n+），即b n+1＝3b n，故而得证;（2）易知，b n＝，，然后采用错位相减法即可求得T n．【解答】(1）证明:由3a n＝2S n+n得，3a n+1＝2S n+1+n+1，两式相减得，3a n+1﹣3a n＝2a n+1+1，即a n+1＝3a n+1，所以a n+1+＝3（a n+)，即b n+1＝3b n，故数列｛b n}为等比数列．（2）解：在3a n＝2S n+n中，令n＝1，得a1＝1，所以b1＝．由（1）知数列｛b n}的公比为3，所以b n＝，所以，所以T n＝1×31+2×32+3×33+……+n•3n,3T n＝1×32+2×33+……+（n﹣1）•3n+n•3n+1,两式相减得，﹣2T n＝31+32+33+……+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1,整理得，T n＝．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,且b2+c2＝a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若a＝，求（﹣1）b+c的取值范围．【分析】（1）由已知利用余弦定理得cos A＝,结合A为△ABC 的内角,求出A的值．（2)利用正弦定理，三角函数恒等变换，可得（﹣1)b+c＝4sin(B+），然后求出B+的范围，利用正弦函数的性质,求出（﹣1）b+c的取值范围．解:（1)由b2+c2＝a2+bc，得＝，由余弦定理,得cos A＝．又A为△ABC的内角，所以A＝．（2）由正弦定理，得＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，所以（﹣1）b+c＝2（）sin B+2sin C＝2（）sin B+2sin（﹣B）＝2()sin B+2（cos B+sin B）＝2sin B+2cos B＝4sin(B+），因为A＝，所以B∈（0,)，所以B+∈（，），所以sin（B+）∈（,1]，所以（﹣1）b+c∈（，4]．22．已知数列｛a n｝的前n项和S n，满足a2＝﹣4，2S n＝n（a n﹣7）．（1）求a1和数列{a n｝的通项公式；（2）若b n＝｜a n｜，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由2S n＝n（a n﹣7）得，2S n+1＝（n+1）(a n+1﹣7），两式相减整理后得（n﹣1）a n+1﹣na n＝7，即(n≥2），然后采用累加法可推出＝（n≥2），从而得a n＝3n﹣10（n ≥3)，最后把a1＝﹣7,a2＝﹣4代入上式验证即可；(2）由（1）得,b n＝｜3n﹣10|＝，然后分n≤3和n≥4两种情形,结合等差数列的前n项和公式分别计算T n即可．解:(1）在2S n＝n（a n﹣7）中，令n＝1得，a1＝﹣7．由2S n＝n（a n﹣7）得,2S n+1＝（n+1）（a n+1﹣7），两式相减得，2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n﹣7，所以（n﹣1）a n+1﹣na n＝7,当n≥2时，有＝，所以＝++……+＝7（）+7(）+……+7(）＝7(1﹣)＝，所以＝+＝﹣4+＝，所以a n+1＝3n﹣7（n≥2），故a n＝3n﹣10（n≥3）,又a1＝﹣7，a2＝﹣4也都符合上式，所以a n＝3n﹣10(n∈N*）．（2）由(1）得,b n＝|3n﹣10|＝．所以n≤3时，T n＝＝；n≥4时，T n＝T3+＝+＝,综上所述，T n＝．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020学年安徽省含山中学、和县中学高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．sin cos＝（）A．B．C．1 D．2．在等差数列{a n}中，a8＝24，a16＝8，则a24＝（）A．﹣24 B．﹣16 C．﹣8 D．03．已知tanα＝﹣，且α∈（0，π），则sin（α+）＝（）A．B．C．D．4．在△ABC中，AB＝，A＝45°，B＝75°，则BC＝（）A．2 B．2C．2D．45．已知等比数列{a n}的前n项和S n＝3n+2+3t，则t＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣96．周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sin（α+β）＝（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2﹣2n+2，则a8＝（）A．13 B．15 C．17 D．198．在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则（）A．A＝B B．B＝C C．C＝A D．B+C＝9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则b cos C+c cos B＝（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知数列{a n}满足a1＝+1，a n+1＝，（n∈N*），则a2020＝（）A．B．C．D．﹣111．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为∠MAN＝30°，∠MBN＝60°，∠MCN＝45°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为（）A．12m B．12m C．30m D．30m12．如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为（）A．13 B．14 C．15 D．16二、填空题（共4小题）.13．tan15°＝．14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”原文意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有多少盏灯？若塔的最中间一层有n盏灯，则n＝．15．函数f（x）＝2sin x+3cos x的最小值为．16．在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，cos（C﹣A）＝，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a6＝16，S21＝441．（1）求数列{a n}的通项公式：（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知sinα＝，sin（α﹣β）＝，其中α，β∈（0，）．（1）求sin（α﹣2β）的值；（2）求β的值．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b cos C＝2a+c．（1）求角B的大小；（2）若c＝2，b＝2，求a的值．20．已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n＝2S n+n（n∈N*），b n＝a n+．（1）求证：数列{b n}为等比数列；（2）若c n＝2n•b n，求数列{b n}的前n项和T n．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若a＝，求（﹣1）b+c的取值范围．22．已知数列{a n}的前n项和S n，满足a2＝﹣4，2S n＝n（a n﹣7）．（1）求a1和数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有-项符合题目要求．1．sin cos＝（）A．B．C．1 D．【分析】直接利用二倍角公式求出函数的表达式，计算出值即可．解：因为＝＝．故选：A．2．在等差数列{a n}中，a8＝24，a16＝8，则a24＝（）A．﹣24 B．﹣16 C．﹣8 D．0【分析】由已知结合等差数列的性质即可直接求解．解：由等差数列的性质可得，d＝＝﹣2，则a24＝a8+16d＝24﹣32＝﹣8．故选：C．3．已知tanα＝﹣，且α∈（0，π），则sin（α+）＝（）A．B．C．D．【分析】由特殊角的三角函数值得到α＝，然后利用两角和与差的公式解答．解：∵tanα＝﹣，且α∈（0，π），∴α＝，∴sinα＝sin＝，cosα＝cos＝﹣．∴sin（α+）＝（sinαcos+cosαsin）＝（×﹣×）＝．故选：B．4．在△ABC中，AB＝，A＝45°，B＝75°，则BC＝（）A．2 B．2C．2D．4【分析】根据题意可求得C＝60°，利用正弦定理即可得到BC．解：因为A＝45°，B＝75°，所以C＝180°﹣45°﹣75°＝60°，由正弦定理可得，则BC＝＝＝2，故选：A．5．已知等比数列{a n}的前n项和S n＝3n+2+3t，则t＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣9【分析】根据题意，由S n公式求出a1、a2、a3的值，由等比数列的定义分析可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}的前n项和S n＝3n+2+3t，则a1＝S1＝33+3t＝27+3t，a2＝S2﹣S1＝（34+3t）﹣（33+3t）＝54，a3＝S3﹣S2＝（35+3t）﹣（34+3t）＝162，则有（27+3t）×162＝542，解可得t＝﹣3，故选：C．6．周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sin（α+β）＝（）A．B．C．D．【分析】先根据条件求出边长，结合余弦定理求出中间角的余弦值，进而求得结论．解：因为周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，故三边长分别为2，3，4；设中间边对应的角为A；则cos A＝＝；故sin（α+β）＝sin（π﹣A）＝sin A＝＝＝；故选：D．7．已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2﹣2n+2，则a8＝（）A．13 B．15 C．17 D．19【分析】利用a8＝S8﹣S7，即可得出．解：a8＝S8﹣S7＝82﹣2×8+2﹣（72﹣2×7+2）＝13，故选：A．8．在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则（）A．A＝B B．B＝C C．C＝A D．B+C＝【分析】利用三角函数的恒等变换变形得到cos（B﹣C）＝1，从而得到B＝C，则答案可求．解：∵由已知可得sin B sin C＝cos2＝，即2sin B sin C＝1+cos A＝1﹣cos（B+C）＝1﹣cos B cos C+sin B sin C，则cos B cos C+sin B sin C＝1，即cos（B﹣C）＝1．∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C＝0，即B＝C．故选：B．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则b cos C+c cos B＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用余项定理表示出cos C，cos B，代入化简即可得解：由余弦定理可得b cos C+c cos B＝b•+c•＝＝a＝3，故选：C．10．已知数列{a n}满足a1＝+1，a n+1＝，（n∈N*），则a2020＝（）A．B．C．D．﹣1【分析】利用递推公式依次求出数列{a n}的前7项，从而得到{a n}是周期为6的周期数列，从而a2020＝a4．解：∵数列{a n}满足a1＝+1，a n+1＝，（n∈N*），∴a2＝＝﹣1，a3＝＝＝，＝＝，＝1，＝，＝＝，∴{a n}是周期为6的周期数列，∵2020＝336×6+4，∴a2020＝a4＝．故选：D．11．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为∠MAN＝30°，∠MBN＝60°，∠MCN＝45°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为（）A．12m B．12m C．30m D．30m【分析】用MN表示出AN，BN，CN，利用余弦定理表示出cos∠ABN，cos∠CBN，根据cos∠ABN+cos∠CBN＝0列方程求出MN．解：设MN＝h，则AN＝h，BN＝，CN＝h，在△ABN中，由余弦定理可得cos∠ABN＝，在△BCN中，由余弦定理可得cos∠NBC＝，∵∠ABN+∠NBC＝π，∴+＝0，即7200+﹣4h2＝0，解得：h2＝2160，∴h＝12．故选：B．12．如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为（）A．13 B．14 C．15 D．16【分析】第i行第j列的数记为A ij，例如第一行数组成的数列A1j（j＝1，2…）是以2为首相，公差为1的等差数列，则A1j＝2+（j﹣1）×1＝j+1，类似得第j列数组成的数列A ij（i＝1，2，…）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，则A ij＝ij+1，令A ij＝ij+1＝145，推出ij＝144＝24×32，进而145出现的次数．解：第i行第j列的数记为A ij，那么每一组i与j的组合就是表中的一个数，因为第一行数组成的数列A1j（j＝1，2…）是以2为首相，公差为1的等差数列，所以A1j＝2+（j﹣1）×1＝j+1，所以第j列数组成的数列A ij（i＝1，2，…）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以A ij＝（j+1）+（i﹣1）×j＝ij+1，令A ij＝ij+1＝145，则ij＝144＝24×32，所以145出现的次数为（4+1）（2+1）＝15．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．tan15°＝2﹣．【分析】把15°变为45°﹣30°，然后利用两角差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简可得tan15°的值．解：tan15°＝tan（45°﹣30°）＝＝＝＝2﹣．故答案为：2﹣．14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”原文意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有多少盏灯？若塔的最中间一层有n盏灯，则n＝24．【分析】根据题意，设从上向下每一层的灯的数记为{a n}，分析可得数列{a n}是以2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得S7＝＝（27﹣1）a1＝381，解可得a1的值，进而计算可得答案．解：根据题意，设从上向下每一层的灯的数记为{a n}，则数列{a n}是以2为公比的等比数列且S7＝＝（27﹣1）a1＝381，解可得a1＝3，塔的最中间一层有n盏灯，则n＝a4＝a1q3＝24，故答案为：2415．函数f（x）＝2sin x+3cos x的最小值为﹣．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解即可．解：函数f（x）＝2sin x+3cos x＝sin（x+φ）∈[﹣，]，其中tanφ＝，∴f（x）的最小值为﹣，故答案为：﹣．16．在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，cos（C﹣A）＝，则△ABC的面积为12．【分析】作CD＝AD，则∠BCD＝C﹣A，设AD＝CD＝x，则BD＝9﹣x，在△BCD中，由余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出CD与BD的长，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出cos B的值，然后求出sin B，利用三角形的面积公式进行求解即可．解：∵AB＞BC，∴C＞A，作CD＝AD，则∠DCA＝∠A，则∠BCD＝C﹣A，即cos∠BCD＝cos（C﹣A）＝，设AD＝CD＝x，则BD＝9﹣x，在△BDC中，由余弦定理得：BD2＝CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD，即（9﹣x）2＝x2+49﹣2×7x•＝x2+49﹣，整理解得：x＝6，∴AD＝6，BD＝3，CD＝6，在△BCD中，由余弦定理得cos B＝＝＝．则sin B＝＝，则△ABC的面积S＝×7×9×＝12，故答案为：12．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a6＝16，S21＝441．（1）求数列{a n}的通项公式：（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出关于a1和d的方程组，解之即可；（2）根据裂项相消法即可得解．解：（1）设数列{a n}的公差为d，∵a3+a6＝16，S21＝441，∴，解得a1＝1，d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，故数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1．（2）b n＝＝＝，∴T n＝+++……+＝＝．18．已知sinα＝，sin（α﹣β）＝，其中α，β∈（0，）．（1）求sin（α﹣2β）的值；（2）求β的值．【分析】（1）根据三角函数的同角关系，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可．（2）利用两角和差的正弦公式弦求出sinβ的值，结合角的范围进行求解．解：（1）由sinα＝，及α∈（0，）．得cosα＝＝，因为α，β∈（0，），所以α﹣β∈（﹣，），又sin（α﹣β）＝所以cos（α﹣β）＝＝，所以sin2（α﹣β）＝2sin（α﹣β）cos（α﹣β）＝2××＝，cos2（α﹣β）＝1﹣2sin2（α﹣β）＝1﹣2×（）2＝，所以sin（α﹣2β）＝sin[2（α﹣β）﹣α]＝sin2（α﹣β）cosα﹣cos2（α﹣β）sinα＝×＝﹣．（2）sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）＝×﹣×＝，又β∈（0，），所以β＝．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b cos C＝2a+c．（1）求角B的大小；（2）若c＝2，b＝2，求a的值．【分析】（1）由正弦定理可将条件整理为（2cos B+1）sin C＝0，因为sin C≠0，故可求得cos B，即可得B；（2）根据余弦定理得到关于a的方程，解出即可．解：（1）因为2b cos C＝2a+c，所以由正弦定理得2sin B cos C＝2sin A+sin C，所以2sin B cos C＝2sin（B+C）+sin C，即2sin B cos C＝2（sin B cos C+cos B sin C）+sin C，整理可得（2cos B+1）sin C＝0，因为△ABC中，sin C＞0，所以cos B＝﹣，所以B＝；（2）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，所以28＝a2+4+2a，解得a＝4或a＝﹣6（舍）．所以a＝4．20．已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n＝2S n+n（n∈N*），b n＝a n+．（1）求证：数列{b n}为等比数列；（2）若c n＝2n•b n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由3a n＝2S n+n得，3a n+1＝2S n+1+n+1，两式相减化简后得a n+1＝3a n+1，可变形为a n+1+＝3（a n+），即b n+1＝3b n，故而得证；（2）易知，b n＝，，然后采用错位相减法即可求得T n．【解答】（1）证明：由3a n＝2S n+n得，3a n+1＝2S n+1+n+1，两式相减得，3a n+1﹣3a n＝2a n+1+1，即a n+1＝3a n+1，所以a n+1+＝3（a n+），即b n+1＝3b n，故数列{b n}为等比数列．（2）解：在3a n＝2S n+n中，令n＝1，得a1＝1，所以b1＝．由（1）知数列{b n}的公比为3，所以b n＝，所以，所以T n＝1×31+2×32+3×33+……+n•3n，3T n＝1×32+2×33+……+（n﹣1）•3n+n•3n+1，两式相减得，﹣2T n＝31+32+33+……+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，整理得，T n＝．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若a＝，求（﹣1）b+c的取值范围．【分析】（1）由已知利用余弦定理得cos A＝，结合A为△ABC的内角，求出A的值．（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换，可得（﹣1）b+c＝4sin（B+），然后求出B+的范围，利用正弦函数的性质，求出（﹣1）b+c的取值范围．解：（1）由b2+c2＝a2+bc，得＝，由余弦定理，得cos A＝．又A为△ABC的内角，所以A＝．（2）由正弦定理，得＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，所以（﹣1）b+c＝2（）sin B+2sin C＝2（）sin B+2sin（﹣B）＝2（）sin B+2（cos B+sin B）＝2sin B+2cos B＝4sin（B+），因为A＝，所以B∈（0，），所以B+∈（，），所以sin（B+）∈（，1]，所以（﹣1）b+c∈（，4]．22．已知数列{a n}的前n项和S n，满足a2＝﹣4，2S n＝n（a n﹣7）．（1）求a1和数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由2S n＝n（a n﹣7）得，2S n+1＝（n+1）（a n+1﹣7），两式相减整理后得（n﹣1）a n+1﹣na n＝7，即（n≥2），然后采用累加法可推出＝（n≥2），从而得a n＝3n﹣10（n≥3），最后把a1＝﹣7，a2＝﹣4代入上式验证即可；（2）由（1）得，b n＝|3n﹣10|＝，然后分n≤3和n≥4两种情形，结合等差数列的前n项和公式分别计算T n即可．解：（1）在2S n＝n（a n﹣7）中，令n＝1得，a1＝﹣7．由2S n＝n（a n﹣7）得，2S n+1＝（n+1）（a n+1﹣7），两式相减得，2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n﹣7，所以（n﹣1）a n+1﹣na n＝7，当n≥2时，有＝，所以＝++……+＝7（）+7（）+……+7（）＝7（1﹣）＝，所以＝+＝﹣4+＝，所以a n+1＝3n﹣7（n≥2），故a n＝3n﹣10（n≥3），又a1＝﹣7，a2＝﹣4也都符合上式，所以a n＝3n﹣10（n∈N*）．（2）由（1）得，b n＝|3n﹣10|＝．所以n≤3时，T n＝＝；n≥4时，T n＝T3+＝+＝，综上所述，T n＝．。