极坐标方程与直角坐标方程的互化

一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
1．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线2
:sin()42l πρθ-=，
（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
（2）当()0,θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．
2．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线l 的参
数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+-=t y t x 5425
3（t 为参数）。

（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN|的最大值。

3．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为22236
4cos 9sin ρθθ
=
+；
（1）若以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若(,)P x y 是曲线C 上的一个动点，求34x y +的最大值。

5．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6
π
α=。

（1） 写出直线l 的参数方程；
（2） 设l 与圆2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ是参数）相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离
之积。

6．(本题满分lO 分)
4—4(坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极方程
为sin()4πρθ+=O
的参数方程为cos 2sin 2
x r y r θθ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-
+⎪⎩
，（θ为参数，0r >） (I)求圆心的极坐标；
(Ⅱ)当r 为何值时，圆O 上的点到直线Z 的最大距离为3．
6. （1）圆心坐标为)2
2,22(--
------ 1分 设圆心的极坐标为),(θρ
则1)2
2()22(22=-+-
=ρ -----2分 所以圆心的极坐标为)4
5
,1(π ------ 4分
（2）直线l 的极坐标方程为2
2)cos 22sin 22(
=+θθρ
∴直线l 的普通方程为01=-+y x ---- 6分
∴圆上的点到直线l 的距离2
|1sin 22cos 22|-+-+-
=
θθr r d
即2
|
1)4
sin(22|-+
+-=
π
θr d -----7分
∴圆上的点到直线l 的最大距离为
32
1
22=++r ----- 9分
∴2
2
4-=
r ---- 10分 7．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲
已知直线l 的参数方程为：t
y t
x 32=+=（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：12cos 2=θρ．
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）求直线l 被曲线C 截得的弦长．
7．（1）由曲线2222:cos 2(cos sin )1,C ρθρθθ=-=
得222cos 2sin )1,ρθρθ-=化成普通方程
221x y -= ① 5分
（2）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程
1
2
2
2
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数）②
把②代入①得：
整理，得2460
t t
--=
设其两根为
12
,t t，
则
1212
4,6
t t t t
+=⋅=- 8分
从而弦长为
12
||
t t-==== 10分方法二：把直线l的参数方程化为普通方程为
2)
y x
=-，
代入221,
x y
-=
得2
212130
x x
-+= 6分
设l与C交于
1222
(,),(,)
A x x
B x y
则
1212
13
6,
2
x x x x
+=⋅= 8分
||
AB
∴=== 10分
1、
（09广东理14）（坐标系与参数方程选做题）若直线
12
23
x t
y t
=-
⎧
⎨
=+
⎩
（t为参数）与直线41
x ky
+=
垂直，则常数k = .
【解析】将1223x t y t
=-⎧⎨=+⎩化为普通方程为3722y x =-+,斜率13
2k =-,
当0k ≠时,直线41x ky +=的斜率24k k =-,由123412k k k ⎛⎫⎛⎫
=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得6k =-;
当0k =时,直线37
22
y x =-+与直线41x =不垂直.
综上可知,6k =-.
答案 6-
3、(天津理13) 设直线1l 的参数方程为113x t
y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4
则1l 与2l 的距离为_______
【解析】由题直线1l 的普通方程为023=--y x ，故它与与2l 的距离为5
103
10
|24|=+。

答案 5
10
3
4、（09安徽理12）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中
取相同的长度单位。

已知直线的极坐标方程为()4R π
θρ=
∈，它与曲线12cos 22sin x y α
α=+⎧⎨
=+⎩
（α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=_______.
【解析】直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程22(1)(2)4x y -+-=
∴22
|12|||22(
)1411
AB -=-=+ 答案
6、（09海南23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。

已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 1上的点P 对应的参数为2
t π
=
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线
332,
:2x t C y t
=+⎧⎨
=-+⎩ （t 为参数）距离的最小值。

解：（Ⅰ）22
2
2
12:(4)(3)1,: 1.649
x y C x y C ++-=+
= 1C 为圆心是（4,3)-，半径是1的圆.
2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）当2t π
=
时，3
(4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2
P Q M θθθθ--++故 3C 为直线35
270,|4cos 3sin 13|.x y M C d θθ--==
--到的距离 从而当43
cos ,sin 55
θθ==-时，85.d 取得最小值 C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为,13()x t t
y t t ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数，0t >）.
求曲线C 的普通方程。

【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。

满分10分。

解 因为212,x t t =+-所以212,3y
x t t +=+=
故曲线C 的普通方程为：2360x y -+=.
10、（09辽宁理23）（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （3
πθ-）
=1，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点。

（1）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标；
（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程。

解（Ⅰ）由得1)3
cos(=-π
θρ
从而C 的直角坐标方程为
（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0）
N 点的直角坐标为)3
3
2,
0(
所以P 点的直角坐标为
),6,332(),33.
1(π点的极坐标为则P
所以直线OP 的极坐标方程为),(,+∞-∞∈=ρρ
πθ
1．（2008广东理）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12C C ，的极坐标方
程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛
⎫=< ⎪⎝
⎭，
≥≤， 则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．
答案
)6
π
5.（2008宁夏理）（10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲
已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，曲线C 2
：2()x t y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
为参数. （1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；
（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C .写出
1'C ，2'C 的参数方程.1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说
明你的理由.
解（1）1C 是圆，2C 是直线．
1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =．
2C
的普通方程为0x y -=．
因为圆心1C
到直线0x y -=的距离为1， 所以2C 与1C 只有一个公共点．
（2）压缩后的参数方程分别为
1C '：cos 1
sin 2
x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）； 2C '
：24
x y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）． 化为普通方程为：1C '：2241x y +=，2C '
：122
y x =+，
联立消元得2210x ++=，
其判别式24210∆=-⨯⨯=，
所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同． C ：选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，设P(x,y)是椭圆13
22
=+y x 上的一个动点， 求S=x+y 的最大值.
C.解：由椭圆),(sin ,cos 31322
为参数的参数方程为ϕϕ
ϕ⎩⎨⎧===+y x y x 故可设动点P 的坐标为（ϕϕsin ,sin 3）,其中.20πϕ<≤
因此,.3sin 2sin 21cos 232sin cos 3⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅=+=+=πϕϕϕϕϕy x S 所以当.2,6
取得最大值时S π
ϕ=
1、（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）极坐标方程ρ=cos θ化为直角坐
标方程为 ( )
A.（x+
21）2 +y 2 =41 B.x 2 +（y+21）2 =4
1
C.x 2 +（y-
21）2 =41 D.（x-21）2 + y 2 =4
1
答案 D.
4、（2009广州一模） (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+π
4
)=2被圆
ρ=4截得的弦长为 ．
答案
7、（2009广东三校一模）(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为θρcos 2=和
θρsin =的两个圆的圆心距为____________；
答案
2
5
11、（2009东莞一模）(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中，点
()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ．
答案13、（2009江门一模）（坐标系与参数方程选做题）P 是曲线
sin cos 1sin 2x y θθ
θ=+⎧⎨
=-⎩（)2 , 0[πθ∈是参数）上一点，P 到点)2 , 0(Q 距离的最小值是 ．
答案
2
7 16、（2009茂名一模）（坐标系与参数方程选做题）把极坐标方程cos()16
π
ρθ-=化为直角
坐标方程是 ．
答案20y +-=
22、（2009韶关一模）在极坐标系中，圆心在)π且过极点的圆的方程为_ .
答案 ρθ=-
25、（2009深圳一模）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为
],0[sin ,
cos πθθθ∈⎩⎨
⎧==y x ，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为θ
θρcos sin -=
b
．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围
是 ．
答案 21<≤b
28、（2009湛江一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点)0,3(A 且与极轴
垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则=||AB _________ _．
答案 32
41、（2009厦门一中）（极坐标与参数方程）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=
，设l 与
曲线2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）交于两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。

解 直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112
x y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 曲线的直角坐标方程为422=+y x ，把直线3
12112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩代入422=+y x 得22231
(1)(1)4,(31)2022
t t t t +
++=+-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2
42、（2009厦门二中）（极坐标与参数方程）已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧+==t
y t
x 412（t 为参
数），圆C 的极坐标方程：⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=4sin 22πθρ，试判断直线l 与圆C 的位置关系．
解 将直线l 的参数方程化为普通方程为：12+=x y
将圆C 的极坐标方程化为普通方程为：()()2112
2
=-+-y x
从圆方程中可知：圆心C （1，1），半径2=r ，
所以，圆心C 到直线l 的距离r d =<=
-++-⨯=25
2)
1(211122
2
所以直线l 与圆C 相交．
43、（2009厦门集美中学）（极坐标与参数方程）求曲线⎩⎨⎧==θ
θ2cos sin y x 过点)2,0(的切线方程.
θθ2sin 21,sin -==y x ，消去参数θ得122=+y x .
设切线为2+=kx y ，代入得0122=++kx x
令082=-=∆k ，得22±=k ，故222+±=x y 即为所求.
或x y 4-='，设切点为),(b a ，则斜率为a
a a
b a 2
21242--=-=-，解得22±=a ，
即得切线方程.
44、（2009厦门乐安中学）（极坐标与参数方程）在极坐标系中,设圆3ρ=
上的点到直线
()
cos 2ρθθ=的距离为d ,求d 的最大值.
解 将极坐标方程3ρ=转化为普通方程：229x y +=
()
cos 2ρθθ+=
可化为2x +=
在229x y +=上任取一点A ()3cos ,3sin αα,则点A 到直线的距离为
06sin(30)2
2
d α+-=
=
,它的最大值为4
45、（2009厦门十中）（极坐标与参数方程）已知圆C 的参数方程为
()为参数θθ
θ⎩⎨
⎧+=+=sin 23,
cos 21y x ，若P 是圆C 与x 轴正半轴的交点，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程． 解 由题设知,圆心 ()
()0.2, 3,1P C
∠CPO=60°,故过P 点的切线飞倾斜角为30°
设()θρ,M ,是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中，
∠MOP =θ 00150, 30=∠-=∠OPM OMP θ
由正弦定理得
()
θ
ρ-=∴∠=∠0030sin 2
sin150, sin sin OMP OP OPM OM
()()()
130sin 160cos 00=-=+∴θρθρ或，即为所求切线的极坐标方程。

46、（2009厦门英才学校）（极坐标与参数方程）求极坐标系中，圆2=ρ上的点到直线
()
6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值．
解 由 2=ρ即24ρ=则易得224x y +=，由()
6sin 3cos =+θθρ
易得60x +-=
∴圆心(0,0)
到直线的距离为03d =
=
Q 又圆的半径为2 , ∴圆上的点到直线的距离的最小值为02321d d =-=-=.
53、（2009通州第四次调研）
求经过极点9(0,0),(6,),)24O A B ππ
三点的圆的极坐标方
程.
解 将点的极坐标化为直角坐标，点,,O A B 的直角坐标分别为()()()0,0,0,6,6,6， 故OAB ∆是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为()3,3
，半径为 圆的直角坐标方程为()()2
2
3318x y -+-=，即22660x y x y +--=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上述方程，得()26cos sin 0ρρθθ-+=，
即4πρθ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
54、（2009盐城中学第七次月考）若两条曲线的极坐标方程分别为1=ρ与⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+=3cos 2πθρ，它们相交于B A ,两点，求线段AB 的长．
解 由1ρ=得221x y +=，
又
Q 22cos()cos ,cos sin 3
π
ρθθθρρθθ=+=∴=
220x y x ∴+-=，
由22221
x y x y x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩
得1(1,0),(,2A B -,
AB ∴==
1.（2009番禺一模）在直角坐标系中圆C 的参数方程为
2cos 22sin x y α
α=⎧⎨
=+⎩
（α为参数），若以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为______ __． 答案 4sin ρθ=
16.（2009厦门同安一中）（极坐标与参数方程）若两条曲线的极坐标方程分别为ρ?=l 与
ρ?=2cos （θ+
π
3
），它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解 由1ρ=得221x y +=，
又
Q 22cos()cos ,cos sin 3
πρθθθρρθθ=+=∴=
220x y x ∴+-+=，
由2
2221
x y x y x ⎧+=⎪⎨
+-=⎪⎩
得1(1,0),(,2
A B -,
AB ∴7分
17.（2009厦门北师大海沧附属实验中学）（极坐标与参数方程）以直角坐标系的原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为(4，
错误!)．若直线l 过点P ，且倾斜角为 错误!，圆C 以M 为圆心、4为半径.
(Ⅰ)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；
(Ⅱ)试判定直线l 和圆C 的位置关系.
解（Ⅰ）直线l
的参数方程为11252x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩，
圆C 的极坐标方程为8sin ρθ=
（Ⅱ）因为4,2M π⎛⎫
⎪⎝⎭
对应的直角坐标为()0,4
直线l
50y --=
圆心到直线l
的距离5d =
=
>，所以直线l 与圆C 相离. 1．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）若直线的参数方程为12()23x t
t y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则
直线的斜率为（ ）
A ．
23 B ．23- C ．32 D ．32
- 【解析】 233
122
y t k x t --=
==-- 答案 D
2．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）下列在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点
是（ ）
A
．1(,2 B ．31
(,)42- C
． D
．
【解析】 转化为普通方程：21y x =+，当34x =-时，12
y =
答案 B
3．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ）
A ．2y x =-
B ．2y x =+
C ．2(23)y x x =-≤≤
D ．2(01)y x y =+≤≤
【解析】转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈
答案 C
4．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）
A ．201y y +==2x 或
B ．1x =
C ．201y +==2x 或x
D ．1y =
【解析】(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或 答案 C
5．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,)3π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,)3π
D ．(2,2),()3k k Z π
π+∈
【解析】2(2,2),()3
k k Z π
π+
∈都是极坐标 答案 C
6．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲
线为（ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
【解析】2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即
则,2
k π
θπ=+
或224x y y +=
答案 C
11．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）直线34()45x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为
______________________。

【解析】 455
344
y t k x t --=
==-- 答案 5
4
-
12．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）参数方程()2()
t t
t t
x e e
t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

【解析】 22()()422222
t
t t t t
t
y x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩ 答案 22
1,(2)416
x y x -
=≥
13．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）已知直线113:()24x t
l t y t
=+⎧⎨=-⎩为参数与直线
2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
则AB =_______________。

【解析】 将1324x t y t
=+⎧⎨=-⎩代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而(1,2)A ，得5
2AB =
答案 5
2
14．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。

【解析】直线为10x y +-=，圆心到直线的距
离d =
=，弦长的一半
为2
=
答案
15．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。

【解析】 cos cos sin sin 0,cos()0ρθαρθαθα+=-=，取2
π
θα-=
答案 2
πθα=
+
22．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，
（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。

解（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩
， （2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥
23．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）
求直线11:()5x t l t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数
和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离。

解
将15x t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩
代入0x y --=
得t =，
得(1P +，而(1,5)Q -
，得PQ ==24．（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）在椭圆22
11612
x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。

解
设椭圆的参数方程为4cos x y θθ
=⎧⎪⎨=⎪⎩
，d = 当cos()13
πθ+=
时，min 5d =，此时所求点为(2,3)-。

25.(2007宁夏区银川一中)选考题（本题满分10分，只能从A 、B 、C 三道题中选做一道）
A ．（1）已知点C 的极坐标为（2，3
π），画图并求出以C 为圆心，半径r =2的圆的极坐标
方程（写出解题过程）；
（2）P 是以原点为圆心，r =2的圆上的任意一点，Q （6，0），M 是PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程；
②当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程。

解
A ．（1）如图，设M （ρ，θ）
则∠MQC =θ－3π或3
π－θ 由余弦定理得4+ρ2－4cos （θ－3
π）=4 ∴ QC 的极坐标方程为ρ=4cos （θ－
3π） （2）如图①⊙O 的参数方程⎩⎨⎧==θ
θsin 2cos 2y x ②设M （x ，y ），P （2cos θ，2sin θ），
因Q （6，0）
∴M 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=2sin 22cos 26θ
θy x 即⎩⎨⎧=+=θθ
sin cos 3y x。