2021-2022学年江苏省无锡市侨谊教育集团八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年江苏省无锡市侨谊教育集团八年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是()
A. B.
C. D.
2.在−0.101101110111,√7,22
7,−π
2
,√8
3,0中，无理数的个数是()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.下列各式中，正确的是()
A. √16=±4
B. (−√2)2=4
C. √(−5)2=−5
D. √−27
3=−3
4.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为()
A. 40°
B. 100°
C. 40°或100°
D. 70°或50°
5.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=50°，
直线MN垂直平分边AC，分别交AB，AC于点D，E，
则∠BCD=()
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
6.在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是()
A. AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F
B. AB=DE，BC=EF，AC=DF
C. AB=DE，∠B=∠E，BC=EF
D. AC=DF，∠B=∠F，∠A=∠D
7.下列说法中：①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合；②线段是轴对
称图形；③有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称；④关于某条直线对称的两个图形一定分别位于该直线的两侧．正确有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8.如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，
若∠B=40°，则∠EPF的度数为()
A. 90°
B. 95°
C. 100°
D. 105°
9.在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD=
2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连
接CF，当D从点A向B运动(不运动到点B)时，∠ECF大小
的变化情况是()
A. 不变
B. 变小
C. 变大
D. 先变大后变小
10.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF
相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作
OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB=90°+
1
∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=
2
a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab.其中正确的
是()
A. ①②
B. ②③
C. ①②③
D. ①③
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.9的平方根是______．
12.已知：如图，∠CAB=∠DBA，只需补充条件______ ，
就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD．
13.数据1.44×106是四舍五入得到的近似数，其精确的数
位是______．
14. 一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是______．
15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若△ABC 的面积为9，
DE =2，AB =5，则AC 长是____．
16. 等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为 ．
17. 如图，
△ABC 中，AB =AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，EF =BF ，则∠EFC =_________°．
18. 如图，在△ABC 中，
∠ABC =45°，AD ，BE 分别为BC ，AC 边上的高，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE 交BE 于点F ，
G 为BE 中点，连接AF ，DG.则AF ，DG 关系是______．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）
19. 计算：
(1)√25−(12
)−1+√273
； (2)−22+√(−3)2+|1−√2|−√83．
20. 如图，点B 、D 、C 在一条直线上，AB =AD ，AC =AE ，∠BAD =∠EAC ．
(1)求证：BC =DE ；
(2)若∠B =70°，求∠EDC ．
21.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的
边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的
顶点都在格点上)．
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(
要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应)
(2)若有一格点P到点A、B的距离相等(PA=PB)，
则网格中满足条件的点P共有______ 个；
(3)在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．
22.如图，在△ABC中，B=90°，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P、Q是△ABC
边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时
间为t秒．
(1)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
(2)当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
23.如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直
平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的
延长线于点H．
(1)求证：BG=CH；
(2)若AB=12，AC=8，求AG的长．
24.以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE=AB，AC=AD，CE与BD相交
于M，∠EAB=∠CAD=α．
(1)如图1，若α=40°，求∠EMB的度数；
(2)如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数(用含α式子表示)；
(3)如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是______ ．
25.(1)如图①，△ABC是等边三角形，M为边BC的中点，连接AM，将线段AM顺时针
旋转120°，得到线段AD，连接BD；点N在BC的延长线上，且CN=MC，连接AN．求证：BD=AN．
(2)若将问题(1)中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”，其
他条件不变，结论还成立吗？如果成立，请画出图形并给出证明；如果不成立，请举出反例．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：−0.101101110111是有限小数，属于有理数；
√8
3=2，0是整数，属于有理数；
故在−0.101101110111,√7,22
7,−π
2
,√8
3,0中，无理数有√7，−π
2
，共2个．
故选：B．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3.【答案】D
【解析】解：∵√16=4≠±4，故选项A错误；
(−√2)2=2≠4，故选项B错误；
√(−5)2=5≠−5，故选项C错误；
√−27
3=−3，故选项D正确．
故选：D．
先利用开方、平方运算逐个计算，再得结论．
本题考查了实数的运算，掌握开方运算和平方运算是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
注意：当等腰三角形中有一个角是锐角时，可能是它的底角，也可能是它的顶角；当等腰三角形中有一个角是钝角时，只能是它的顶角．
此题要分情况考虑：40°是等腰三角形的底角或40°是等腰三角形的顶角．再进一步根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】
解：当40°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是40°；
当40°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°−40°×2=100°．
故选：C．
5.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ACB=∠B=180°−50°
=65°，
2
∵直线MN垂直平分边AC，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=50°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=15°，
故选：B．
由AB=AC，∠A=50°得出∠ACB=65°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的
距离相等的性质可得AD=CD，推出∠ACD=∠A=50°，即可得出∠BCD=15°．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，求出∠ACB=65°，∠ACD=50°是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、AB=DE，BC=EF，AC=DF，可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
C、AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
D、AC=DF，∠B=∠F，∠A=∠D，不能证明△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；故选：D．
根据各个选项和全等三角形的判定可以解答本题．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的判定解答．
7.【答案】B
【解析】解：①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，正确；
②线段是轴对称图形，正确；
③有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在的直线对称，故原说法错误；
④关于某条直线对称的两个图形不一定分别位于该直线的两侧，故原说法错误；
所以正确的个数是2个．
故选：B．
根据轴对称的定义：两个图形沿一条直线对着，直线两旁的部分能完全重合，那么这两个图形成轴对称进行判断即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是熟练把握轴对称的定义．
8.【答案】C
【解析】解：∵CE⊥BA，∠B=40°，
∴∠BCE=50°，
∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，
∴PF=1
2AC=PC，PE=1
2
AC=PC，
∴∠PFC=∠PCF，∠PEC=∠PCE，
∴∠EPF=2∠PCF+2∠PCE=2∠BCE=100°，
故选：C．
根据三角形内角和定理求出∠BCE，根据直角三角形的性质得到PF=1
2
AC=PC，PE=
1
2
AC=PC，根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：在AC上截取CN=AE，连接FN，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，AB=AC，
∵BD=2AE，
∴AD=EN，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=EF，∠DEF=60°，
∵∠ADE=180°−∠A−∠AED=180°−60°−∠AED=120°−∠AED，∠NEF=180°−∠DEF−∠AED=180°−60°−∠AED=120°−∠AED，
∴∠ADE=∠NEF，
在△ADE和△NEF中，{AD=EN
∠ADE=∠NEF DE=EF
，
∴△ADE≌△NEF(SAS)，
∴AE=FN，∠FNE=∠A=60°，
∴FN=CN，
∴∠NCF=∠NFC，
∵∠FNE=∠NCF+∠NFC=60°，
∴∠NCF=30°，
即∠ECF=30°，
故选：A．
在AC上截取CN=AE，连接FN，易证AD=EN，DE=EF，由∠ADE=180°−∠A−∠AED=120°−∠AED，∠NEF=180°−∠DEF−∠AED120°−∠AED，得出∠ADE=∠NEF，由SAS证得△ADE≌△NEF，得出AE=FN，∠FNE=∠A=60°，推出FN=CN，
求出∠ECF=30°，即可得出结果．
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA=1
2∠CBA，∠OAB=1
2
∠CAB，
∴∠AOB=180°−∠OBA−∠OAB=180°−1
2∠CBA−1
2
∠CAB=180°−1
2
(180°−
∠C)=90°+1
2
∠C，①正确；
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA=1
2
(∠BAC+∠ABC)=60°，∴∠AOB=120°，
∴∠AOF=60°，
∴∠BOE=60°，
如图，在AB上取一点H，使BH=BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
在△HBO和△EBO中，{BH=BE
∠HBO=∠EBO BO=BO
，
∴△HBO≌△EBO(SAS)，
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°−60°−60°=60°，
∴∠AOH=∠AOF，
在△HBO和△EBO中，{∠HAO=∠FAO AO=AO
∠AOH=∠AOF
，
∴△HBO≌△EBO(ASA)，
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH=OM=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b
∴S△ABC=1
2×AB×OM+1
2
×AC×OH+1
2
×BC×OD=1
2
(AB+AC+BC)⋅a=ab，
④正确．
故选：C．
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB 上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF=AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，是解决问题的关键．
11.【答案】±3
【解析】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
直接利用平方根的定义计算即可．
此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
12.【答案】AC=BD
【解析】解：补充条件AC=BD．
理由：在△ABC和△BAD中，
{AC=BD
∠CAB=∠DBA AB=BA
，
△ABC≌△BAD(SAS)．
故答案为：AC=BD．
根据SAS的判定方法可得出答案．
此题主要考查了全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
13.【答案】万位
【解析】解：∵1.44×106=1440000，
∴1.44×106精确到万位，
故答案为：万位．
把题目中的数据还原为原来的数据，从而可以得到题目中的数据精确到哪一位，本题得以解决．
本题考查近似数和有效数字，解题的关键是明确近似数和有效数字的意义．
14.【答案】10
【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
综上所述，它的周长是10．
故答案为：10．
分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．
15.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出DF长和三角形ADC的面积．
过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．
【解答】
解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∵S△ADB=1
2AB×DE=1
2
×5×2=5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9−5=4，∴1
2
AC×DF=4，
∴1
2
AC×2=4，
∴AC=4．
故答案为4．
16.【答案】67.5°或22.5°【解析】
本题考查了等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质．解题时注意分类讨论思想的运用．
分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质(两底角相等)和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．
【解答】解：有两种情况；
(1)如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB=90°，
已知∠ABD=45°，
∴∠A=90°−45°=45°，
∵AB=AC，
×(180°−45°)=67.5°；
∴∠ABC=∠C=1
2
(2)如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，
则∠FHE=90°，
已知∠HFE=45°，
∴∠HEF=90°−45°=45°，
∴∠FEG=180°−45°=135°，
∵EF=EG，
×(180°−135°)=22.5°，
∴∠EFG=∠G=1
2
故答案为67.5°或22.5°．
17.【答案】45
【解析】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．
由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，又由BE⊥AC，可求得∠A=∠ABE=45°，然后由AB=AC，BF=EF，求得答案．
【解答】
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE，
∵BE⊥AC，
∴∠A=∠ABE=45°，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=67.5°，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=22.5°，
∵BF=EF，
∴∠BEF=∠EBC=22.5°，
∴∠EFC=∠EBC+∠BEF=45°．
故答案为：45．
18.【答案】AF=2DG且AF⊥DG
【解析】解：AF=2DG，且AF⊥DG；理由如下：
延长DG至M，使GM=GD，交AF于H，连接BM，如图所示：
∵AD，BE分别为BC，AC边上的高，
∴∠BEA=∠ADB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠DAC+∠C=∠DBE+∠C=90°，
∴∠DAC=∠DBE，
即∠DAE=∠DBF，
∵∠ADB=∠FDE=90°，
∴∠ADB−∠ADF=∠FDE−∠ADF，即∠BDF=∠ADE，
在△DAE和△DBF中，
{∠DAE=∠DBF AD=BD
∠ADE=∠BDF
，
∴△DAE≌△DBF(ASA)，
∴DE=DF，
∴△FDE是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DFE=45°，∵G为BE中点，
∴BG=EG，
在△BGM和△EGD中，
{BG=EG
∠BGM=∠DGE GM=GD
，
∴△BGM≌△EGD(SAS)，
∴∠MBE=∠DEF=45°=∠DFE，BM=DE=DF，
∵∠DAC=∠DBE，
∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE，∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF，∴∠BDF=45°−∠DBE，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠ADF=90°−∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD，
在△BDM和△DAF中，
{BM=DF
∠MBD=∠ADF BD=AD
，
∴△BDM≌△DAF(SAS)，
∴DM=AF=2DG，∠FAD=∠BDM，∵∠BDM+∠MDA=90°，
∴∠MDA+∠FAD=90°，
∴∠AHD=90°，
∴AF⊥DG，
∴AF=2DG，且AF⊥DG．
故答案为：AF=2DG，且AF⊥DG．
延长DG至M，使GM=DG，交AF于H，连接BM，根据题意证明△DAE≌△DBF，推出∠DEF=∠DFE=45°，利用SAS证明△BGM≌△EGD(SAS)，得出∠MBE=∠FED= 45°=∠EFD，BM=DE=DF，再利用SAS证明△BDM≌△DAF(SAS)，得出DM=AF= 2DG，∠FAD=∠BDM，证出∠AHD=90°，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=5−2+3
=6；
(2)=−4+3+√2−1−2
=−4+√2．
【解析】(1)根据算术平方根，负整数指数，立方根的定义进行计算即可；
(2)根据有理数的乘方，算术平方根，绝对值，立方根进行计算即可．
本题考查了实数的运算，包含算术平方根，立方根，负整数指数，绝对值，掌握各定义是关键．
20.【答案】解：(1)∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC与△ADE中，
{AB=AD
∠BAC=∠DAE AC=AE
，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴BC=DE；
(2)∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠ADE=70°，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=70°，
∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°，
∴∠EDC=180°−∠ADE−∠ADB=40°．
【解析】(1)由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得BC=DE；
(2)由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠B=∠ADB=70°=∠ADE，由平角的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
21.【答案】4
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，满足条件的点P有4个，
故答案为4．
(3)如图点Q即为所求．
(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
(2)在线段AB的垂直平分线性质格点即可．
(3)连接BC′交直线l于点Q，连接CQ，此时BQ+CQ的值最小．
本题考查作图−轴对称变换，线段的垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)由题意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=16，
∴BP=AB−AP=16−t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，
即16−t=2t，解得t=16
，
3
∴出发16
秒后△PQB能形成等腰三角形；
3
(2)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ=BQ，如图1所示，
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°．
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10(秒)，
∴BC+CQ=22(秒)，
∴t=22÷2=11(秒)．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ=BC，如图2所示，
则BC+CQ=24(秒)，
∴t=24÷2=12(秒)．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
【解析】(1)用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
(2)用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表
示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
23.【答案】证明：(1)如图，连接BD、CD，
∵D是线段BC垂直平分线上的点，
∴BD=DC，
∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC
∴DG=DH，∠DGB=∠H=90°，
在Rt△BDG与Rt△CDH中，
{DG=DH
BD=DC，
∴Rt△BDG≌Rt△CDH(HL)，
∴BG=CH；
(2)∵Rt△ADG≌Rt△ADH(HL)，
∴AG=AH，
∴AB−AC=AG+BG−(AH−CH)=2BG=12−8=4，
∴BG=2，
∴AG=AB−BG=12−2=10．
【解析】(1)连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质可得DB=DC；依据角平分线的性质可得DG=DH；依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论；
(2)同理Rt△ADG≌Rt△ADH(HL)，得出AG=AH，进而得出答案．
本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形．
α
24.【答案】90°+1
2
【解析】解：(1)∵∠EAB=∠CAD=α，
∴∠EAC=∠BAD，
在△ABE和△ACD中，
{AE=AB
∠EAC=∠BAE AC=AD
，
∴△AEC≌△ABD(SAS)，
∴∠AEC=∠ABD，
∵∠AEC+∠EAB=∠ABD+∠EMB，
∴∠EMB=∠EAB=40°；
(2)连接AG，AH，
由(1)可得：EC=BD，∠ACE=∠ADB，∵G、H分别是EC、BD的中点，
∴DH=CG，
在△ACG和△ADH中，
{AC=AD
∠ACE=∠ADB CG=DH
，
∴△ACG≌△ADH(SAS)，
∴AG=AH，∠CAG=∠DAH，
∴∠AGH=∠AHG，∠CAG−∠CAH=∠DAH−∠CAH，
∴∠GAH=∠DAC，
∵∠DAC=α，
∴∠GAH=α，
∵∠GAH+∠AHG+∠AGH=180°，
∴∠AHG=90°−1
2
α；
(3)如图3，连接AM，过点A作AP⊥EC于P，AN⊥BD于N，
∵△ACG≌△ADH，
∴S△ACG=S△ADH，EC=BD，
∵1
2EC×AP=1
2
×BD×AN，
∴AP=AN，
又∵AP⊥EC，AN⊥BD，
∴∠AME=∠AMD=180°−α
2
，
∴∠AMC=∠AMD+∠DMC=90°+1
2
α，
故答案为：90°+1
2
α.
(1)由“SAS”可证△AEC≌△ABD，可得∠AEC=∠ABD，由外角的性质可得结论；
(2)由“SAS”可证△ACG≌△ADH，可得AG=AH，∠CAG=∠DAH，即可求解；
(3)由全等三角形的性质可得S△ACG=S△ADH，EC=BD，由面积法可求AP=AN，由角平分线的性质可求∠AMD，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
25.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，
∵又M是BC的中点，
∴∠AMB=∠AMN=90°，BC=2BM=2MC，∠BAM=∠BAC=30°，
∵AM顺时针旋转120°得到线段AB，
∴∠MAD=120°，AD=AM，
∴∠BAD=∠MAD−∠BAM=120°−30°=90°，
∴∠BAD=∠AMN=90°，
∵MC=CN，
∴MN=2MC=BC=AB，
在△DBA和△ANM中，
{AB=MN
∠BAD=∠AMB AD=AM
，
∴△DBA≌△ANM(SAS)，∴BD=AN．
(2)结论成立，理由如下：
①如图②−1中，当BM >1
2BC 时，分别过点A 、点D 作AG ⊥BM 、DH ⊥BA 垂足分别为G 、H ．
∴∠DHA =∠AGM =90°，
∵∠AMG +∠BAM +∠ABC =180°，∠ABC =160°，
∴∠AMG =180°−∠ABC −∠BAM =120°−∠BAM ，
∵AM 顺时针旋转120°得到线段AB ，
∴∠MAD =120°，AD =AM ，
∴∠DAB =120°−∠BAM ，
∴∠DAB =∠AMB ，
在△DAH 和△AMG 中，
{∠DHA =∠AGM ∠DAH =∠AMG AD =AM
，
∴△DAH≌△AMG(AAS)，
∴DH =AG ，AH =GM ，
又∵△ABC 是等边三角形，AG ⊥BM ，
∴BG =GC ，
∴GN =GC +CN =GC +CM =BG +GC −GM =BC −GM ，
又∵BH =AB −HA ，AH =GM ，AB =BC ，
∴BH =GN ．
∵DH =AG ，∠DHA =∠AGM =90°，BH =GN ，
在△DBH 和△ANG 中，
{DH =AG ∠DHA =∠AGM BH =GN
∴△DBH≌△ANG(SAS)，
∴BD=AN．
BC时，同法可得BD=AN．
②当BM<1
2
【解析】(1)证明△DBA≌△ANM(SAS)，可得BD=AN．
BC时，分别过点A、点D作AG⊥BM、DH⊥(2)分两种情形：①如图②−1中，当BM>1
2
BA垂足分别为G、H.证明△DAH≌△AMG(AAS)，推出DH=AG，AH=GM，再证明△
BC时，同法可得BD=AN．
DBH≌△ANG(SAS)，可得BD=AN.②当BM<1
2
本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。