2020年江西省萍乡市明珠中学高三数学文上学期期末试题含解析

2020年江西省萍乡市明珠中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：
由K2=算得K2=≈4.762
参照附表，得到的正确结论（）
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”
参考答案：
A
【考点】：独立性检验的应用．
应用题；概率与统计．
【分析】：根据P（K2＞3.841）=0.05，即可得出结论．
解：∵K2=≈4.762＞3.841，P（K2＞3.841）=0.05
∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”．
故选：A．
【点评】：本题考查独立性检验的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
2. △ABC的内角A满足tanA sinA<0，sinA+cosA>0，则角A的取值范围是（）A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，）参考答案：
Ｃ
3. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若该几何体的体积是，则它的表面积是
（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π
参考答案：
A
试题分析：由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为R，则，解得
R=2，所以它的表面积是，故选A．
4. 已知函数，若三角形ABC中，角C为钝角，则
A. B.
C. D.
参考答案：
A
5. f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω＞0）的图象如图所示，为得到g（x）=﹣Asin（ωx+）的图象，可以将f（x）的图象（）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度参考答案：
D
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：由题意可得A=1， T=?=﹣，解得ω=2，
∴f（x）=Acos（ωx+φ）=cos（2x+φ）．
再由五点法作图可得2×+φ=，∴φ=﹣，
∴f（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），
g（x）=﹣sin（2x+）=cos（2x++）=cos2（x+），
而﹣（﹣）=，
故将f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到函数g（x）的图象，
故选：D．
6. 某几何体的三视图如图所示（网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为
（）
A．2 B．3 C．4 D．6
参考答案：
A
【分析】根据几何体的三视图知该几何体是四棱锥，
结合图中数据求出该几何体的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥，则该几何体的体积为
V四棱锥P﹣ABCD=××（1+2）×2×2=2．
故选：A．
7. 已知的定义域是，则的定义域是
A． B． C． D ．
参考答案：
C
8. 已知满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
9. 如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD
上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（）
A．点Q到平面PEF的距离B．直线PE与平面QEF所成的角
C．三棱锥P﹣QEF的体积D．二面角P﹣EF﹣Q的大小
参考答案：
B
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据线面角的定义，可以判断C的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可判断B的对错；根据二面角的定义可以判断D的对错，进而得到答案．
【解答】解：A中，取B1C1的中点M，∵QEF平面也就是平面PDCM，Q和平面PDCM都是固定的，∴Q
到平面PEF为定值；
B中，∵P是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PE与平面QEF所成的角不是定值；
C中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），
再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P ﹣QEF的体积是定值；
D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P﹣EF﹣Q的大小为定值．故选：B．
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．
10. 下列命题中，真命题是（）
A． B．
C．的充要条件是 D．是的充分条件
参考答案：
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应
用. A2 A3
【答案解析】D 解析：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立．
a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；
a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D．
【思路点拨】利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误；
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 向量的夹角为120°，
= ．参考答案：
7
略
12. 已知函数若方程有解，则实数的取值范围是
__
_． 参考答案：
13. 定义在上的函数满足，
，任意的
，都有是的__________
条件
参考答案：
充分必要
略
14. 函数y=sin （ωx﹣
）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．
参考答案：
2
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．
【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），
∴T==π，
∴ω=2． 故答案是：2．
15. 实数x 、y 满足约束条件
的取值范围为 ．
参考答案：
[
]
【考点】7C ：简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P （﹣1，0）连
线的斜率得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立
，解得A （3，1），
联立
，解得B （1，2）．
的几何意义为可行域内的动点与定点P （﹣1，0）连线的斜率．
∵，
∴
的取值范围为[
]．
故答案为：[
]．
16. 棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C 、M 、D 1作正方体的截面，则截面的面积是________． 参考答案：
17. 已知棱长为2的正方体内接于球O ，点P 是正方体的一个顶点，点Q 是正方体一条棱的中点，则直线PQ 被球O 截得线段长的最大值为__.
参考答案：
【分析】
由题可得球的半径为正方体的体对角线的一半，当直线被球
截得线段最长时，两点刚好在正方
体体对角线的两条棱上。

【详解】由题意可得，如下图：
如图，为正方体的两底边对角线与棱构成的矩形，其中。

由正方体的对称性和球的对称性可知，当点为点对角线棱的中点时被球截得线段最长
由图可得
由余弦定理得
【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体，把空间问题转化成平面问题是本题的关键，本题难度较大。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某景区欲建两条圆形观景步道（宽度忽略不计），如图所示，已知，
（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆与分别相切于点C，D．
（1）若，求圆的半径；（结果精确到0.1米）（2）若观景步道的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）
参考答案：
（1）34.6米，16.1米；（2）263.8千元．
【分析】
（1）利用切线的性质即可得出圆的半径；
（2）设∠BAD＝2α，则总造价y＝0.8?2π?60tanα+0.9?2π?60tan（45°﹣α），化简，令1+tanα＝x换元，利用基本不等式得出最值．
【详解】（1）连结M1M2，AM1，AM2，
∵圆M1与AB，AD相切于B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D，
∴M1，M2⊥AD，∠M1AD＝∠BAD＝，∠M2AD＝，
∴M1B＝ABtan∠M1AB＝60×＝20≈34.6（米），
∵tan＝＝，∴tan＝2﹣，
同理可得：M2D＝60×tan＝60（2﹣）≈16.1（米）．
（2）设∠BAD＝2α（0＜α＜），由（1）可知圆M1的半径为60tanα，圆M2的半径为
60tan（45°﹣α），
设观景步道总造价为y千元，则y＝0.8?2π?60tanα+0.9?2π?60tan（45°﹣α）＝
96πtanα+108π?，
设1+tanα＝x，则tanα＝x﹣1，且1＜x＜2．
∴y＝96π（x﹣1）+108π（）＝12π?（8x+﹣17）≥84π≈263.8，
当且仅当8x＝即x＝时取等号，
当x＝时，tanα＝，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．
∴当∠BAD为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题
19. 选修4-5：不等式选讲
设函数
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意，不等式的解集为R，求实数b的取值范围.
参考答案：
解：（Ⅰ）当时，
∴，或，或，
或或
综上知：解集为.
（Ⅱ）不等式的解集为
所以对任意恒成立
设，所以，所以.
20. 已知抛物线E：y2=4x，设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且?=（其中O 为坐标原点）（Ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；
（Ⅱ）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
参考答案：
【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；KN：直线与抛物线的位置关系．
【分析】（Ⅰ）设出直线AB的方程，联立直线与抛物线方程，利用数量积为0，求出k，化简直线方程推出直线必过定点，并求出该定点Q的坐标；
（Ⅱ）利用韦达定理以及弦长公式，表示出三角形的面积，通过换元法，利用函数的单调性求解最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）设直线AB的方程为：x=my+t，A（，y1）、B（，y2），
联立得y2﹣4my﹣4t=0，则y1+y2=4m，与y1y2=﹣4t，
由得：?y1y2=﹣18或y1y2=2（舍）．
即，所以直线AB过定点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，
同理得， =，
则四边形AGBD面积
=，
令，
则是对称轴为μ＜0，开口向上，函数是关于μ的增函数，当μ=2时函数取得最小值．
故S min=88．
当且仅当m=1时取到最小值88．
21. 已知，且．
（1）求cos2θ与的值；
（2）若，求?的值．
参考答案：
【考点】两角和与差的正切函数；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值．
【分析】（1）利用倍角公式与“弦化切”可得cos2θ=， =；（2）由，且．可得sinθ=，cosθ=．根据
，展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，代入化简即可得出．
【解答】解：（1）cos2θ=cos2θ﹣sin2θ====．
===3；
（2）由，且．
∴sinθ=，cosθ=．
∴，
展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，化为：cosΦ+5××sinΦ=3cosΦ，
∴2cosΦ+sinΦ=3cosΦ，
∴tanΦ=1，
∴Φ=．
【点评】本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”、差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22. 已知函数（＞0，＜＜）的部分图像如图所示．
（1）求的表达式;
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
参考答案：
由,,因此,又,即，而＜＜,故,故（82）1）可知，由,则
最大值为,最小值为（13分）。