029第2章 2.1 2.1.2 离散型随机变量的分布列 (1)

2.1.2 离散型随机变量的分布列
2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)
3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)
P 46~ P 49，找出疑惑之处） 1．离散型随机变量的分布列
(1)定义:一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：
的概率分布列，简称为的分布列． 为了简单起见，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． (2)性质①p i________0，i ＝1,2，…，n ；②i n
i i 11P ==∑＝_______
思考1：求离散型随机变量的分布列的步骤是什么？ [提示] 求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量所有可能的取值x i (i ＝1,2,3，…，n )； (2)求出相应的概率P (X ＝x i )＝p i (i ＝1,2,3，…，n )； (3)列成表格形式． 2．两点分布
＝P (X ＝1)为成功概率． 3．超几何分布
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 P (X ＝k )＝C k M C n －k
N －M
C n N
，k ＝0,1,2，…，m ，
其中m ＝min {}M ，n ，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *
.
思考2
[提示] 一般为不放回抽样． ※ 典型例题
类型一：分布列的性质及应用
【例1】 设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值；(2)求P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫X ≥35.
变式1．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：
X －1 0 1
P
1
2
1－2q
q 2
(1)求q
类型2.离散型随机变量的分布列
【例2】 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码．(1)求X 的分布列；(2)求X 的取值不小于4的概率．
(变条件)本例中“若X 表示取出球的最小号码”，求X 的分布列．
变式2．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球后停止，求取球次数X 的分布列．
类型3.两点分布与超几何分布 [探究问题]
1．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
2．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X 是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？
【例3】 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．
变式3．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列；(2)他能及格的概率．
三、总结提升 ※ 学习小结
1．在利用分布列的性质解题时要注意：①X ＝x i 的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意
ii
n
i i 1
1P ==∑＝1.而且要注意0≤p i ≤1，i ＝1,2，…，n .
2．超几何分布的数学模型是：一批产品共有N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，不合格品X ＝r 的概率是P (X ＝r )＝C r M C n －r
N －M
C n N .在应用上述公式时，要注意N ，M ，n ，r 的实际意义.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( ) (2)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．( )
(3)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X 本，则X 服从超几何分布．( ) 2．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为( )A ．6 B ．5 C ．4 D ．2 3．若离散型随机变量X 的分布列为
则a ＝( )A.15 B.4 C.3 D.2
4．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则P (X ＝3)＝________.
5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数． (1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．
1．随机变量X 所有可能取值的集合是{－2,0,3,5}，且P (X ＝－2)＝14，P (X ＝3)＝12，P (X ＝5)＝1
12，则P (X
＝0)的值为( ) A ．0 B ．14 C ．16 D ．1
8
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( ) A ．0
B ．12
C ．13
D ．2
3
3．设随机变量X 等可能地取值1,2,3,4，…10.又设随机变量Y ＝2X －1，则P (Y ＜6)的值为( )
A ．0.3
B ．0.5
C ．0.1
D ．0.2
4．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )
A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
1，取出白球
0，取出红球
D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X 5．若随机变量X 的分布列为
则当P (X <a )＝0.8A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2) 6．设随机变量X 的概率分布列为
则P (|X －3|＝1)＝( ) A.12 B.12 C.4 D.6
7．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太
方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 6
8
C 1015
的是( )
A ．P (ξ＝2)
B ．P (ξ≤2)
C ．P (ξ＝4)
D ．P (ξ≤4) 8．若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于________． 9．设随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝
a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
＜X ＜52＝________.
10．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3
≤ξ≤53＝________.
11．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为________． 12．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为______． 13．设离散型随机变量X 的分布列为：
求：(1)2X ＋1
附加1．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数ξ的分布列．
附加2．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为1
7，现有甲、乙两人从袋中轮流摸
取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．。