山西省忻州市原平新原乡中学高一数学文期末试卷含解析

山西省忻州市原平新原乡中学高一数学文期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知为非零实数，且，则下列命题一定成立的是( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
2. 已知△ABC中，三内角A，B，C依次成等差数列，三边a，b，c成等比数列，则△ABC是( ) A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
参考答案：
A
略
3. 计算机中常用16进制，采用数字0～9和字母A～F共16个
计数符号与10进制得对应关系如下表：
那么，
16
进制中的16C 化为十进制数应为 ( )
A 1612
B 364
C 5660
D 360
参考答案：
B
4. 已知点E，F分别是正方体的棱AB，的中点，点M，N分别是线段与
上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条
参考答案：
B
5. 下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；
（3）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间.
A、（1）（2）（4）
B、（4）（2）（1）
C、（4）（3）（1）
D、（4）（1）（2）
参考答案：
B
6. 设函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在,使得
在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数
是定义域为的“成功函数”，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
7. 下列函数中，与的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是
．．．．
参考答案：
C
8. 当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．
【分析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果
【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为
函数y=，其底数大于1，是增函数，
又y=log a x，当0＜a＜1时是减函数，
两个函数是一增一减，前增后减．
故选C．
9. 下列说法中，正确的是( )．
A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4
B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半
D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数C
略
10. △ABC中，若，则O为△ABC的（）
A.外心
B.内心
C.垂心
D.重心
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，那么的值为
，的值
为。

参考答案：
12. 方程lgx+x=2的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k= ．
参考答案：
1
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】设f（x）=lgx+x﹣2，求出函数f（x）的定义域，并判断出函数的单调性，验证f（1）＜0和f（2）＞0，可确定函数f（x）在（0，+∞）上有一个零点，再转化为方程lgx+x=2的一个根x0∈（1，2），即可求出k的值．
【解答】解：由题意设f（x）=lgx+x﹣2，则函数f（x）的定义域是（0，+∞），
所以函数f（x）在（0，+∞）是单调增函数，
因为f（1）=0+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=lg2+2﹣2=lg2＞0，
所以函数f（x）在（0，+∞）上有一个零点，
即方程lgx+x=2的一个根x0∈（1，2），
因为x0∈（k，k+1），k∈Z，所以k=1，
故答案为：1．
13. 某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是
该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第天？
参考答案：
25
【考点】分段函数的应用．
【分析】先设日销售金额为y元，根据y=P?Q 写出函数y
的解析式，再分类讨论：当0＜t ＜25，
t∈N +时，和当25≤t≤30，t∈N +时，分别求出各段上函数的最大值，最后综合得出这种商品日销售额的最大值即可．
【解答】解：设日销售金额为y （元），则y=p?Q．
∴=
当0＜t ＜25，t∈N，t=10时，y max =900（元）；
当25≤t≤30，t∈N，t=25时，y max=1125（元）．
由1125＞900，知y max=1125（元），且第25天，日销售额最大
14. 在中，若，则的形状是三角形．
参考答案：
等腰
略
15. 设数列的前项和为，，当时，，则__________。

参考答案：
1024
16. 函数的零点的个数是__________
参考答案：
9
17. 已知数列是等差数列,且,则 .三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知幂函数满足.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数，是否存在实数m使得g(x)的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.
(3)若函数，是否存在实数，使函数h(x)在[a,b]上的值域为[a,b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案：
解：(1)∵是幂函数，∴，解得或
当时，，不满足
当时，，满足
∴，…………………………………………………………………3分
(2)令，则，记
①当即时
，解得
②当即时
，解得(舍去)
③当即时
，解得(舍去)
综上所述，存在使得的最小值为…………………………………7分
(3)在定义域内为单调递减函数
若存在实数，使函数在上的值域为
则
得
∴……③
将③代入②得，
令，，
…………………………………………………………12分
19. 如图，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段DB上的中点，四棱锥D﹣ABCM的体积为V，求三棱锥E﹣ADM的体积．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）由题意可得BM⊥AM，再由平面ADM⊥平面ABCM，结合面面垂直的性质可得BM⊥平面ADM，从而得到AD⊥BM；
（2）直接利用等体积法求得三棱锥E﹣ADM的体积．
【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，
∴AM=BM，则BM⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，
平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，∴BM⊥平面ADM，∵AD?平面ADM，
∴AD⊥BM；
（2）解：当E为DB的中点时，
∵，
∴===．
20. 计算下列各式的值
⑴ ;
⑵.
参考答案：
（1）原式
……………………5分
（2）原式
……………………10分
21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
参考答案：
【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，
PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；
（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：
方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；
方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．
【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为PC?平面PCD，故PC⊥BC．
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．
（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．
从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD=DC=1，所以．
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．
由V A﹣PBC=V P﹣ABC，，得，
故点A到平面PBC的距离等于．
22.
点．
（1）求点B及点D的坐标．
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．
②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．
参考答案：
略。