基于均匀化理论的宏-细观力学模型分析

的发现起过重要作用的方法，在均匀化理论中也有詹出色的应用。
为此，我们先对摄动方法作一简单介绍。
考虑如下的简单的代数方程
ｚ ２＋９２一ｌ＝０
ｆ１．１１
式中ｅ是‘一个参数。此方程有精确解
ｚ。＝一妻±√占２＋４
（１．２）
‘
设有近似解
ｘ＝Ｘｏ＋￡ＸＩ＋￡２ｘ汁…
（１．３）
这是个按参数ｅ的冥次造成的展开式，其中”ｏ．ｘ１．ｘ：是待定常数。
所有物理量都假设是周期重复的，并且表示这些物理量的函数也 必然是局部坐标ｙ的周期函数。我们把这种性质称为Ｙ－周期性。 今后所有与Ｙ有关的函数都是Ｙ一周期性的。 ２．设１为微结构尺度，Ｌ为所研究物体的宏观尺度，定义为ｅ＝ＩｌＬ
（１＜＜Ｌ．￡＜＜Ｌ）如图三：
ｉ／零／
图三
在均匀化理论中，根据多尺度摄动理论同时引入两个尺度：ｘ和 Ｙ，其中Ｘ为宏观尺度，Ｙ为微观尺度，并有定义：ｙ＝ｘ／￡。
从骨的细胞水平看，骨从产生及至整个生命周期中总是在应力／ 应变场中建造和重建。反过来，骨组织微结构的调节和改变又影响 着自身的应力应变关系。微结构的调整通常需要很长时间。很显然， 完全用实验的手段对骨进行研究是不够的。利用细观力学的研究方 法，被认为是一种有效的途径。
自八十年代发展起来的均匀化理论是一套严格的数学理论，一 直是应用数学领域的研究课题之一。它从构成材料的微结构的“胞 元”（ｂａｓｅ ｃｅｌｌ）入手．假定胞元具有空间可重复性，同时引入宏观 尺度和微观尺度，利用渐进分析的方法，从而可以详尽的考虑材料 微结构的影响。最近，Ｃｒｏｌｅｔ（１９９０，１９９３）将均匀化理论用于密 质骨的分析中，Ｈｏｌｌｉｓｔｅｒ ｅｔ ａｌ（１９９１）分析了松质骨的几种胞元模 式，从而向我们展示了均匀化理论在生物力学的广阔应用前景。
ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆｂｏｎｅ ｗａｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ． Ｓｅｃｏｎｄａｒｙ． ａ ｍｉｃｒｏ－ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ａ ｍｉｃｒｏ—ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｈｕｍａｎ ｃｏｍｐａｃｔ ｂｏｎｅ ｗｅｒｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ，Ａｎｄ
的传统力学分析方法得出的有关密质骨本构关系及其力学特性的结果通常与实验结果有较大的偏差而单纯使用实验的方法得出的结果又不足以作为对密质骨研究的基础因此人们在长期从事密质骨研究当中遇到很大的困难
太原理工大学 硕士学位论文 基于均匀化理论的宏-细观力学模型分析 姓名：谭世恩 申请学位级别：硕士 专业：生物医学工程 指导教师：吴文周
摄动法作为均匀化理论的基础，在介绍均匀化理论之前，我们
不得不作为必要的过程，对其作以介绍。摄动法是一种比较老的计
算方法ｅ它的主要思想是：设法按某种人为的特定步骤，构造出一
个渐进的解析表达式，以代替难以求出的微分方程的定解问题的精
．３－
太腺删ｒ人学帧Ｉ‘学位论卫
确解。从Ｆ而的例子我们将会看到，这种在丌始对海］ｉ星和冥１三厶
Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｅｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｉｔ Ｗａｓ ｓｕｇｇｅｓｔｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｗｏｕｌｄ ｈａｖｅ ｂｒｏａｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ
ｂｉｏｍｅｃｈａｎｉｃｓ．
Ｋ码ｗｏ岫：Ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ，ｃｏｍｐａｃｔ ｂｏｎｅ，ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ
对骨进行均匀化的基本思想是将骨组织看成是由骨单元（胞 元）在骨的宏观尺度上周期性重复构造而成的，并且在宏观（结构 尺度）和细观（胞元尺度）两种尺度上描述骨结构。位移和应力可 展成关于两种尺度之比ｅ的渐进展开式。由摄动技术，骨的力学特 性问题可转化为宏观和细观两个均匀化问题。细观均匀化问题是定 义在含单一骨单元（胞元）的区域上的。宏观均匀化问题是定义在 宏观骨区域内，具有等效材料常数的作用有面力和体力的～般线弹 性问题。等效材料常数由细观均匀化问题的解确定。 本文后面对 密质骨的力学特性的研究作了具体阐述。
如果ｅ带有一定的任意性，那麽ｅ各次幂的系数必须都是零，故：
ｓｏ：Ｘ；一ｌ＝０
ｆ１－６）
占。：
２ｘｏ。ｌ＋。ｏ＝０
占２：
２Ｘｏｘ２＋Ｘ？＋ｘｌ＝０
（１－７） ｆ１－８１
由此解得ｘｏ＝±ｌ，ＸＩ一１／２，ｘ２＝±１／８，……
如果只取ｘｏ和ｘｉ两项，把方程（１．６）和（１．７）的解代入（１．３）
ｘ＝±１一三＋．．．
从上式可以看出，Ｙ是ｘ的ｌ／ｅ倍的放大。从物理意义上讲，宏 观的一个点（而不是纯粹数学意义上的几何点）可以视为一个微小 的邻域，内含有大量的胞元。通过ｙ＝ｘ／ｅ的定义，将宏观上的某一 个点（即ｘ的一个微小邻域）放大为一个有限的值域。因此，在宏 观上某点以（ｅ，ｅ，ｅ）为周期的大量胞元。通过变换ｙ＝ｘ／ｅ对应 于局部坐标系Ｙ中是以（Ｉ，ｌ，１）为基本周期的。换句话说，从宏观
均匀化理论是一种以多尺度摄动理论为数学基础的分析复合材 料的方法。它能描述微结构对材料性质的影响，与有限单元法相结 合，成为分析具有周期重复微结构的复合材料变形，应力，材料性 质，热传导及传质等物理问题的有力手段。可以说，对复合材料的 认识构成了均匀化理论的物理背景，多尺度摄动理论构成了其理论 基础，有限单元法作为其数值计算技术，这三者的有机结合产生了 均匀化理论。
程中构造出形式与（１．３）相近似的近似解，只不过待定函数的求解方 式成为解一系列的微分方程。类似解上述方程，把这样一种渐进分 析的方法叫摄动方法。
在前面我们曾经提出均匀化方法主要是处理具有周期性微结构 的物质，何谓周期性同样我们有必要做以详细阐述。考虑一个微周 期性结构的物质。 １．用Ｙ代表一个胞元，由于胞元的周期重复，在定点ｘ的邻域内，
九十年代，Ｈｏｌｌｉｓｔｅｒ．ｅｔ ａ１分析了松质骨的几种胞元模式，Ｋｏ，
Ａ燎理Ｔ‘人学倾Ｉ‘学化论史
ｅｔ ａＪ（１９９２）和Ｋｏｈｎ，ｅｔ ａｌ（１９９２，１９９３）分别将均匀化理论用Ｊ： 分析螺纹型移植片、骨界面和扎状涂层的移植片、骨界面的力学性 质。对ｆ密质骨，１４｛ｒ其微结构十分复杂，用建、Ｚ在材料均匀且连 续基础｝：的传统力学分析方法得出的有关密质骨本构关系及其力 学特性的结果通常与实验结果有较大的偏差，而单纯使用实验的方 法得出的结果又不足以作为对密质骨研究的基础，因此人们在长期 从事密质骨研究当中遇到很大的困难。而均匀化理论打破了人们在 传统力学中的一些观念，成为分析具有周期性微结构的高度非均匀 化复合材料的很好的方法。
在胞元内，由于材料间的物理性能差异较大，故胞元内部的物
理量，如应力，温度等将在微观尺度内急剧振荡变化，使问题高度
非均匀化。这与弹性力学的均匀化假设相悖，同时又难以实施有限
元法，从而使常规的计算方法无法实旄。假如我们对其中的每个胞
元都划分网格的话，可以想象它的计算量是非常大的。而我们在本
文中介绍的均匀化理论币是为处理这类问题而提出的。
ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ
ｍｏｄｅｌ ｗｅｒｅ ｄｅｄｕｃｅｄ．
Ｔｈｉｒｄｌｙ，ａ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ Ｗａｓ ｄｅｓｉｇｎｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｐｌａｎｅ
如图一是一种称为单向纤维加强材料的复合材料。它由彼此等 距的细长纤维构成，纤维之间填充基质。这种构造我们认为它是个 二维问题。同样我们也可以举出三维的例子。如图二是基质问充满 等距分柿的相同的颗粒。在两个图例中胞元都用虚线框出。
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图二
第～章均匀化理论
１．１均匀化理论简介
在生物力学研究中，对骨组织力学特性的研究可借助于各种理 论（Ｈｉ １ ｌ，１９６３，的自洽理论，Ｇｕｒｓｏｎ，１９７７，的体胞模型）。但随着对 生命体研究的深入，现代资料表明：生命器官组织是具有多级微结 构相互嵌套的复合材料。例如：筋膜组织在不同的细观尺度下表现 出不规则的具有周期分布结构的微结构（Ｋａｓｔｅｌｉｃ，ｅｔ ａｌ，１９７８）： 梁骨、关节软骨、肌肉以及血管也都表现出不同形式的微结构（冯 元桢，１９８３）。这样传统的把生命器官组织看作是均匀的连续介质 的分析方法已经不能反映上述微结构的本构关系。同时又由于生命 器官组织是有生命的器官，它的生长是一个极其复杂的与时问相关 的过程，这一相关性可以由材料特性、生化作用、外力作用所引起。
关键词：均匀化理论，密质骨，有限元素法
矿·磊
口一‘
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ａ ｍａｃｒｏ·ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｉｃ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｈｕｍａｎ ｃｏｍｐａｃｔ ｂｏｎｅ ｗａｓ ， ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔ ｗｅｒｅ ｇｉｖｅｎ ｕｓｉｎｇ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ．．
为确定这些常数。把（１·３）式代入方程（１一１）令ｅ的各次冥的系数都为
零便可解得。
（石。十口ｌ＋占２ｘ２＋··．）２＋占（工ｏ＋ｇｌ＋￡２ｘ２＋．．．）一１＝０ 把（１－４）式展开，并把￡同次幂的系数合并得：
（ｚ；一１）＋６（２ｘｏｘｌ＋Ｘ０）＋占２（ｘ？＋Ｘｌ＋２ＸｏＸ２）＋．．．＝０
（１—４） （１—５）
大体来说均匀化理论是沿着三种不同的途径平行发展而来的。 （一）Ｓａｎｃｈｅｚ—Ｐａｌｅｎｃｉａ（１９８０）及ｌｅｎｅ（１９８４）的方法。 （二）Ｂｅｎｓｏｕｓｓａｎ，ｅｔ ａｌ（１９７８）及Ｓｕｑｕｅｔ（１９８２）的渐进级数
方法。 （三）Ｄｕｖａｎｔ（１９７６）的能量法。
．２．
查坚些！．垒堂塑！兰些堡兰
２
如果取无穷多项，即用一个无穷级数的和作为近似解，那ｅ必 须是一个无穷小量。另外，如果ｅ是一无穷小量，无须取很多项， 便会得到良好的近似解。
对于上面的例子，我们可以得出：对含有参数ｅ的方程，当ｅ 是一个小量时，可以用一个ｅ的冥级数作为近似解，ｅ越小，所取
．４．
一 查！！！竺！：生兰竺！！兰丝堡兰
的项可以越少。可以认为第一项是近似解的基奉部分ｔ后边每增加 项便是增加·次高一级小量的修萨项。同样，可类比的在微分方
2001.4.1
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摘要
本文主要介绍了自８０年代新发展起来的均匀化理论 （Ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ），叙述了其在生物力学中的应用。在以均
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匀化理论的基础上，详细的阐述了其在密质骨力学特性研究中的应
用。
全文共分四部分。第一部分详尽的介绍了均匀化理论，对平面线 弹性问题的均匀化方法做了推导，并在此基础上进一步提出了骨力学 特性研究的均匀化方法。第二部分以密质骨作为例，介绍了密质骨的 基本构造，叙述了密质骨微结构模型和微结构均匀化模型的建立。针 对所建立的模型推导出了基本求解方程并对影响函数予以确定。第三 部分对提出的密质骨的平面弹性问题的求解进行有限元的程序化实 现。在文章中采用八节点的平面等参元进行了均匀化材料常数的求 解。最后对计算所得的数据进行分析和对今后工作予以展望，揭示出 均匀化理论在生物力学应用中的广泛前景。
． Ｆｉｒｓｔｌｙ，Ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｗａｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ ａｎｄ ｔｈｅ Ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｐｌａｎｅ ｌｉｎｅａｒ ｅｌａｓｔｉｃ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗａｓ ｄｅｄｕｃｅｄ． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ，ａ Ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｔｈｅ
一——
随着现代工业的发展，复合材料的应『ｆｊ Ｆ｛益』。泛。现行的复合 材料包括天然的（如人的骨骼、木材）和人造的（如泡沫塑料，纤 维板），在微观结构卜表现出周期性蓖复的性质，我们把这种构成 材料的微结构成为胞元（Ｂａｓｅ ｃｅｌｌ）。胞，ｉ与所研究的复合材料的宏 脱尺度相比是极微小的，但又高于原子，分子，其内部由两种或多 种不同性质的材料复合而成，从而又能体现宏观材料的复合特性。 我们从下面的例子可看出这类复合材料的微观复杂而宏观又不失 规律性的特性。
ｅｌａｓｔｉｃ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｃｏｍｐａｃபைடு நூலகம் ｂｏｎｅ．Ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｓｉｓ，ｅｉｇｈｔ ｊｏｉｎｔｓ ｐｌａｎｅ
ｉｓｏｐａｒａｍｅｔｒｉｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｗｅｒｅ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ
ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ ｍａｔｅｒｉａｌ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ．