2021-2022年高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线 第66课 抛物线及其标性质(2)文(含解析)

2021-2022年高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线 第66课 抛物线及其
标性质（2）文（含解析）
1.抛物线的焦点弦问题
图形
标准方程
焦点在轴上时：
其中焦点坐标为
焦点在轴上时：其中焦点其中焦点坐标为
焦半径 焦点弦长
【解析】法1.抛物线为，，即，焦点为 直线的斜率不存在时，其方程为，由，得，，； 直线的斜率存在时，设其方程为，则 由消去，得2
2
2
2
2(2)0k x k x k -++= 直线与抛物线相交于、两点且，即 设、，则 而121212||||||()()222
p p
AB AF BF x x x x p x x =+=+
++=++=++ ，，即，解得
所以直线的方程为或 法2. 抛物线为，，即，焦点为
直线的斜率不存在时，其方程为，由，得，，； 直线的斜率存在时，设其方程为，则 由消去，得2
2
2
2
2(2)0k x k x k -++= 直线与抛物线相交于、两点且，即 设、，则， ，221212(1)[()4]8k x x x x ++-=， 即
22
2
4
4(2)(1)[4]8k k k ++-=，
，解得 所以直线的方程为或
【变式】直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，求的面积 法1.由消去，得 设、，则 抛物线为，，即，焦点为 直线经过抛物线的焦点 而12||||||()()22
p p
AB AF BF x x =+=+
++121228x x p x x =++=++=
而原点到直线的距离为
的面积为11||8222
AOB S AB d ∆=
⋅=⨯⨯=法2. 由消去，得，设、，
则 ， 而
||8AB =
==， 原点到直线的距离为
的面积为11||8222
AOB S AB d ∆=
⋅=⨯⨯=2.直线与抛物线的位置关系
000x y
⇓
⇓
∆
⇓
⎧∆>⇒⎪⎪
∆⇒⎨⎪
∆<⇒⎪⎩⇓
联立直线与抛物线方程消去或得到一元一次方程
得到一元二次方程
计算判别式直线与抛物线相交（一个交点）
相交（两个交点）＝相切
（一个交点）相离
（没有交点）
【例2】已知抛物线的方程为，直线过定点,斜率为，当为何值时，直线与抛物线有两个公共点？ 解：显然，；
由题意，得直线的方程为，即 由，消去得
直线与抛物线有两个公共点，
1616(21)0k k k ≠⎧∴⎨
∆=-+>⎩
且，
从而当且时，直线与抛物线有两个公共点
【变式】1.已知抛物线的方程为，直线过定点,斜率为，若直线与抛物线只有一个公共点，则实当的值为 解：由题意，得直线的方程为，即 由，消去得
当时，直线与抛物线只有一个公共点； 当时
直线与抛物线只有一个公共点，
1616(21)0k k ∴∆=-+=解得或
从而实当的值为
2.已知抛物线的方程为，直线过定点,斜率为，若直线与抛物线没有公共点，则实当的取值范围是 解：显然，；
由题意，得直线的方程为，即 由，消去得
直线与抛物线没有公共点，
1616(21)0k k k ≠⎧∴⎨
∆=-+<⎩
或，
从而实当的取值范围是
【例3】（由xx 高考题改编）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线:的距离为．过点作抛物线的两条切线、，其中为切点．
（1）求抛物线的方程；（2）求直线的方程；（3）求的值． 【解析】（1）依题意，设抛物线的方程为， 由，且，解得．∴抛物线的方程为． （2）抛物线的方程为，即，求导得
设，(其中)，则切线的斜率分别为，， ∴切线的方程为，即，即 同理可得切线的方程为 ∵切线均过点，∴，
∴为方程的两组解．∴直线的方程为． （3）联立方程，消去整理得 ∴，，由抛物线定义可知，，
∴()()()1212121119AF BF y y y y y y ⋅=++=+++= 法2.（2）设作抛物线的切线为 联立方程，消去整理得※ 令，得
代入※得切点 、，而
所以直线的方程为73
(322
y x +-=- ，即 （3）由（2） 、，
222253553
(35)(
)(35)(53)(35)242
AF -=-+=-+-= 222253553
(35)(
)(35)(53)(35)242
BF +=++=+++= 所以2339
(35)(35)(35)9224
AF BF ⋅=
⋅=⨯-=
第66课 抛物线及其标性质课后作业（2）
1. 如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】抛物线的准线是，由已知，得 ，所以 ，焦点坐标为，选A
2. 已知抛物线的焦点为，点，，在抛物线上，且、、成等差数列， 则有 （ ） A ．
B ．
C ． D.
【解析】由已知，得，，，、、成等差数列， ，即132()()2()222
p p p
x x x +++=+ 所以，选C
3. (xx ·辽宁高考)已知是拋物线 的焦点，，是该拋物线上的两点， ，则线段的中点到轴的距离为 ( ) A.
B ． C.
D.
【解析】根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段中点到轴的距离为
11315
()24244
AF BF +-=-=，选A 4. 在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 的坐标是 ( )
A ．(－2,1)
B ．(1,2)
C ．(2,1)
D ．(－1,2)
【解析】如图所示，直线为抛物线的准线，为其焦点，，，由抛物线的定义知， ，1AP PF AP PN AN +∴=≥+ ，当且仅当三点共线时取等号．∴点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B
5. 若直线定点且与抛物线只有一个交点，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. 或或 D. 或
【解析】(1)当直线的斜率不存时，过点的直线方程为 由，得，此时，直线与抛物线只有一个公共点
(2)当直线斜率存在时，设过点的直线方程为 由消去，得 ※※
若，则121
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，直线与抛物线只有一个公共点；
若，直线与抛物线只有一个公共点，解得 此时直线方程为 故所求直线方程为或或
6. 若直线与抛物线只有两个交点，则实数的取值范围为
7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于 ，两点，若，那么 等于________ 【解析】因线段过焦点，则 .又由抛物线的定义知 ， ，故 .
8. 抛物线的倾斜角为的弦的长度为，求弦所在的直线的方程 解：由已知得，直线的方程为，由，得 设，，则，
，2
12122[()48x x x x +-=，即，解得 所以弦所在的直线的方程为
9.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于 ，两点，且 . (1)求该抛物线的方程；
(2)为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值． 【解析】(1)直线的方程是 ，与联立， 从而有 ※，所以： 由抛物线定义得： ， 所以，从而抛物线方程是 . (2)由，※可简化为 ， 从而 ， ， ， ，从而 ， ；
设 33 1(,)(,224,42)()x C y O λ==+-．
又 ，即2
[()]222184)1(λλ=-+ ．
即 .解得 ，或 .
10. 已知点， ，抛物线， 为坐标原点，过点A 的动直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点.若向量与的夹角为，求的面积． 【解析】设点 ，，
∵ 三点共线，∴ ， 即
112
2
22
112
14
44
y y y y y y -=
+-，即，∴ . ∴ 22
12124
·45y y OM O y y P ⋅=
+=.∵向量 与 的夹角为π4， ∴，∴
∴115
||||sin 24222
POM OM OP S π∆=
⋅=⨯=30760 7828 砨S33971 84B3 蒳E28443 6F1B 漛 23978 5DAA 嶪31738 7BFA 篺 34417 8671 虱29336 7298 犘22808 5918 夘39159 98F7 飷38713 9739 霹%。