人教版中考数学压轴题测试提优卷试题

一、中考数学压轴题
1．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13
，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．
2．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．
如图，将一个矩形纸片ABCD ，放置在平面直角坐标系中，()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ，M 是边CD 上一点，将ADM 沿直线AM 折叠，得到ANM ． （Ⅰ）当AN 平分MAB ∠时，求DAM ∠的度数和点M 的坐标；
（Ⅱ）连接BN ，当1DM =时，求ABN 的面积；
（Ⅲ）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．（直接写出答案） 在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：
师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题． 小明：我是这样想的，延长MN 与x 轴交于P 点，于是出现了Rt NAP △．
小雨：我和你想的不一样，我过点N 作y 轴的平行线，出现了两个Rt NAP △．
3．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点
M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）
（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，
OA＝2，OC＝1．
①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C．
②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．
③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为．
（2）若ω＝120°，O为坐标原点．
①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝23，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．
②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（23，23），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是．
4．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，cos
4
5
B ，点O是边BC上的动点，
以OB为半径的O与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作
∠CMN=∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N．
（1）当点E为边AB的中点时，求DF的长；
（2）分别联结AN、MD，当AN//MD时，求MN的长；
（3）将O绕着点M旋转180°得到'O，如果以点N为圆心的N与'O都内切，求O的半径长．
5．如图1，正方形CEFG绕正方形ABCD的顶点C旋转，连接AF，点M是AF中点．（1）当点G在BC上时，如图2，连接BM、MG，求证：BM=MG；
（2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ；
（3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由．
6．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．
（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；
（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由；
②若12,(33)2
ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．
7．如图，直角三角形ABC ∆中，90460ACB AC A ∠︒=∠︒＝，，＝，O 为BC 中点，将ABC ∆绕O 点旋转180︒得到DCB ∆．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿
A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．
（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0<t<10)直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在BC 上以每秒32
的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的
P R 、，使BPR ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．
8．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，60C ︒∠=
（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:
（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直接写出此时,H I 点的坐标.
9．已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0），2，点 P 从点 O
出发沿线段 OA 向终点 A 运动，点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点 D 是线段 OA 的中点．
（1）求点 B 的坐标；
（2）设点 P 的运动时间为点 t 秒，△BDP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式；
（3）当点 P 与点 D 重合时，连接 BP ，点 E 在线段 AB 上，连接 PE ，当∠BPE =2∠OBP 时， 求点 E 的坐标．
10．如图，抛物线2
(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点，与y 轴交于点B ．
()1求这条抛物线的顶点坐标；
()2已知AD AB =(点D 在线段AC 上)，有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动：同时另一个点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过()t s 的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；
()3在()2的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ MC +的值最小?若存在，请求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．
11．在平面直角坐标系中，直线4(0)3
y x b b =-+>交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，10AB =．
（1）如图1，求b 的值；
（2）如图2，经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ，与x 轴交于点R ，//CD OA ，交AB 于点D ，设线段CD 长为d ，求d 与n 的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 在第四象限，CF 交OA 于点E ，45AEF ∠=︒,点P 在第一象限，PH OA ⊥，点N 在x 轴上，点M 在PH 上，MN 交PE 于点G ，PH EN =，过点E 作EQ CF ⊥，交PH 于点Q ， 32==EQ EF PM ，
∠=∠OBR HNM ，BC CR =，点G 的坐标为1927,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
，连接FN ，求EFN 的面
积．
12．已知：如图①，在等腰直角ABC ∆中，斜边2AC =．
（1）请你在图①的AC 边上求作一点P ，使得90APB ∠=︒；
（2）如图②，在（1）问的条件下，将AC 边沿BC 方向平移，使得点A 、P 、C 对应点分别为E 、Q 、D ，连接AQ ，BQ ．若平移的距离为1，求AQB ∠的大小及此时四边形ABDE 的面积；
（3）将AC 边沿BC 方向平移m 个单位至ED ，是否存在这样的m ，使得在直线DE 上有一点M ，满足30AMB ∠=︒，且此时四边形ABDE 的面积最大？若存在，求出四边形ABDE 面积的最大值及平移距离m 的值；若不存在，请说明理由．
13．已知AM //CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B ．
（1）如图1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系；
（2）如图2，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，求证：∠ABD =∠C ；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，若∠FCB +∠NCF =180°，∠BFC =5∠DBE ，求∠EBC 的度数．
14．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．
（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；
（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13
，求DEF ∆的最小内角． （3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．
15．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，
（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；
（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠
（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度
16．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC △的斜边在AB 在x 轴上，点C 在y 轴上90ACB ∠=︒，OC 、OB 的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两个根，且OC OB <．
（1）求点A 的坐标；
（2）D 是线段AB 上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合），过点D 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边AC 或边BC 于点P ，设点D 的横坐标为t ，线段DP 的长为d ，求d 关于t 的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，当12
d =时，请你直接写出点P 的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =-x + m 交 y 轴的正半轴于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，过点A 的直线AF 交x 轴的负半轴于点F ，∠AFO=45°． （1）求∠FAB 的度数；
（2）点 P 是线段OB 上一点，过点P 作 PQ ⊥OB 交直线 FA 于点Q ，连接 BQ ，取 BQ 的中点C ，连接AP 、AC 、CP ，过点C 作 CR ⊥AP 于点R ，设 BQ 的长为d ，CR 的长为h ，求d 与 h 的函数关系式（不要求写出自变量h 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点 C 作 CE ⊥OB 于点E ，CE 交 AB 于点D ，连接 AE ，
∠AEC=2∠DAP ，EP=2，作线段 CD 关于直线AB 的对称线段DS ，求直线PS 与直线 AF 的交点K 的坐标．
18．定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的相关函数．
例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．
（1）当m＝0时
①一次函数y＝x﹣1关于点P的相关函数为；
②点（1
2
，﹣
9
8
）在二次函数y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求
a的值．
（2）函数y＝（x﹣1）2+2关于点P的相关函数y＝﹣（x+3）2﹣2，则m＝；
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣mx﹣1
2
m2关于点P（m，0）的相关函数的最大
值为6，求m的值．
19．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BE＝5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm．bcm，满足(a－3)2＋|2a＋b－9|＝0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿
B→C→D运动，最终到达点D，设运动时间为t s．
（1）a＝______cm，b＝______cm；
（2）t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？
（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．
20．如图，在⊙O中，直径AB＝10，tanA＝
3
3
．
（1）求弦AC的长；
（2）D是AB延长线上一点，且AB＝kBD，连接CD，若CD与⊙O相切，求k的值；
（3）若动点P以3cm/s的速度从A点出发，沿AB方向运动，同时动点Q以3
2
cm/s的速
度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t （0＜t ＜103
），连结PQ ．当t 为何值时，△BPQ 为Rt △？
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛物线2
12y ax bx =++过D ，C ，E 三点．
（1）当//DE AB 时，
①求抛物线的解析式；
②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．
（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．
点E 的坐标． 22．如图1，D 是等边△ABC 外一点，且AD ＝AC ，连接BD ，∠CAD 的角平分交BD 于E ． （1）求证：∠ABD ＝∠D ；
（2）求∠AEB 的度数；
（3）△ABC 的中线AF 交BD 于G （如图2），若BG ＝DE ，求AF DE
的值．
23．问题提出
（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小． 问题探究
（2）如图2，在等腰ABC 中，AB AC =，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点,D E ，若5,6AB BC ==，求线段BP 的取值范围，并求AD CE +的最大值．
问题解决
（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为BB '、CC '、DD '．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和()
BB CC DD '''++最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．
24．综合与探究：
如图1，抛物线24832999
y x x =-++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ，P 为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线AD 与y 轴于点C ，过点P 作//PF AD ，交x 轴于点F ．
（1）求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标；
（2）如图2，当//PC x 轴时，将AOC ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移，当点C 与点P 重合时停止平移．设平移t 秒时，在平移过程中AOC ∆与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）如图3，过点P 作x 轴的平行线，交直线AD 于点E ，直线DF 与PE 交于点M ，设点P 的横坐标为m ．
①当3DM MF =时，求m 的值；
②试探究点P 在运动过程中，是否存在值m ，使四边形AFPE 是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC
（1）直接写出四边形ABCD的形状：______；
（2）在x轴上取一点E，使OE＝OB，连结BE，作AF⊥BC交BE于点F．
①直接写出AF与AD的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；
②取BF的中点G，连接OG，判断OG与AD的数量关系，并说明理由；
（3）若四边形ABCD的周长为8，直接写出GE2＋GF2＝____．
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一、中考数学压轴题
1．A
解析：（1）作图见解析；（2）PQ长最短是1.2；（3）四边形ADCF面积最大值是
-
+81313
81313
【解析】
【分析】
（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求；
（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；
（3）△ACF的面积有最大和最小值，取AB的中点G，连接FG，DE，证明△FAG～△EAD，进而证明点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH 反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小，分别求出△ACD的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF的面积的最小值；②当F在F2时，四边形ADCF的面积有最大值，在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF的面积的最大值．【详解】
解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；
（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短．
理由：分别在线段AB ，⊙C 上任取点P '，点Q '，连接P '，Q '，CQ '，如图2，
由于CP ⊥AB ，根据垂线段最短，CP ≤CQ '+P 'Q '，
∴CO +PQ ≤CQ '+P 'Q '，
又∵CQ ＝CQ '，
∴PQ ＜P 'Q '，即PQ 最短．
在Rt △ABC 中22228610AB AC BC =
+=+=，1122ABC S AC BC AB CP ∆=•=•， ∴68 4.810
AC BC CP AB •⨯===， ∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝6.8﹣3.6＝1.2， ∴22226 4.8 3.6BP BC CP -=-=．
当P 在点B 左侧3.6米处时，PQ 长最短是1.2．
（3）△ACF 的面积有最大和最小值．
如图3，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ．
∵∠EAF ＝90°，1tan 3AEF ∠=
， ∴13
AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ，
∴AC ＝GB ＝3，
又∵AD ＝9， ∴
3193AG AD ==， ∴D
AF AE AG A = ∵∠BAD ＝∠B ＝∠EAF ＝90°，
∴∠FAG ＝∠EAD ，
∴△FAG ～△EAD ， ∴13FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3，
∴FG ＝1，
∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，
连接AC ，则△ACD 的面积＝692722
CD AD ⨯=⨯=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，
①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值，
在Rt △ABC 中，222269313AC AB BC =
+=+=∴313sin 13313BC BAC AC ∠===， 在Rt △ACH 中，313913sin 31313GH AG BAC =•∠=⨯
=， ∴119131F H GH GF =-=-， ∴△ACF 面积有最小值是：
11191327313313(1)22AC F H -•=⨯-=； ∴四边形ADCF 面积最小值是：273138131327--+=； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形，
∴GH ＝MN ，
在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°，
∴PG ＞PN ，
又∵F 2G ＝PG ，
∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ，
∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高，
∴面积有最大值，
∵22913113F H GH GF =+=+， ∴△ACF 面积有最大值是
21191327313313(1)22AC F H +•=⨯⨯+=； ∴四边形ADCF 面积最大值是273138131327+++=； 综上所述，四边形ADCF 面积最大值是
813132+，最小值是813132-． 【点睛】
本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
2．A
解析：（I ）30DAM ∠=︒，()3,3M
；（II ）245；（III ）DF 的最大值为47-． 【解析】
【分析】
（Ⅰ）由折叠的性质得：△ANM ≌△ADM ，由角平分线结合得：
∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°，由特殊角的三角函数可求DM 的长，写出M 的坐标； （Ⅱ）如图2，作辅助线，构建直角三角形，设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，在Rt △ANQ 中，由勾股定理列等式可得关于x 的方程：（x+1）2=32+x 2，求出x ，得出AB 是AQ 的45，即可得出△NAQ 和△NAB 的关系，得出结论；
（III ）如图3，过A 作AH ⊥BF 于H ，证明△ABH ∽△BFC ，得BH CF AH BC
＝，Rt △AHN 中，AH ≤AN=3，AB=4，可知：当点N 、H 重合（即AH=AN ）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图4所示，求此时DF 的长即可．
【详解】
（I ）如图
()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ，
3AD ∴=，4AB =，
由折叠得：ANM ADM ≌△△，
MAN DAM ∴∠=∠， AN 平分MAB ∠，
MAN NAB ∴∠=∠，
BAM MAN NAB ∴∠=∠=∠，
四边形ABCD 是矩形，
90DAB ∴∠=︒，
30DAM ∴∠=︒， 3tan 3tan 3033DM AD DAM ∴=⋅∠=⨯︒=⨯=， 30DAM ∴∠=︒，()
3,3M ； （II ）延长MN 交AB 的延长线于点Q ，
四边形ABCD 是矩形，
AB CD ∴∥，
DMA MAQ ∴∠=∠，
由折叠得：ANM ADM ≌△△，
DMA AMQ ∴∠=∠，3AN AD ==，1MN MD ==，
MAQ AMQ ∴∠=∠，
MQ AQ ∴=，
设NQ x =，则1AQ MQ x ==+，
90ANM ∠=︒，
90ANQ ∴∠=︒，
在Rt ANQ △中，由勾股定理得：222AQ AN NQ =+， ()2
2213x x ∴+=+，
解得：4x =， 4NQ ∴=，5AQ =，
4AB =，5AQ =，
441412434552525
NAB NAQ S S AN NQ ∴==⨯⋅=⨯⨯⨯=△△； （III ）如图3，过A 作AH BF ⊥于H ，
四边形ABCD 是矩形，
AB CD ∴∥，
90AHB BCF ∴∠=∠=︒，
ABH BFC ∴∽△△， BH
CF AH BC
∴=， Rt AHN 中，3AH AN =≤，4AB =， ∴当点N 、H 重合（即AH AN =）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图4所示，
由折叠得：AD AH =，
AD BC =， AH BC ∴=，
在ABH 和BFC △中，
HBA BFC ANB BCF AH BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
ABH BFC AAS ∴≌（）
△△， CF BH ∴=，
由勾股定理得：2222437BH AB AH =-=-=
7CF ∴=，
DF ∴的最大值为47DC CF -=
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了三角形全等和相似的性质和判定、折叠的性质、勾股定理、图形与坐标特点、特殊的三角函数值，熟练掌握折叠的性质是关键，注意图形与坐标
特点，第II问构建直角三角形，利用勾股定理列方程是关键．
3．B
解析：（1）①（2，0），（1，2），（﹣1，2）；②y＝2x；③y＝﹣
2
2
x+2；
（2）①半径为2，M（4323
,
33
）；②2＜r＜4
【解析】
【分析】
（1）①如图2−1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题；
②如图2−2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
③如图3−3中，作QM∥OA交OD于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．解直角三角形即可解决问题；
②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN＝NE＝1时，⊙M的半径即可解决问题；
【详解】
解：（1）①如图2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．
由题意OC＝CD＝1，OA＝BC＝2，
∴BD＝OE＝1，OD＝CF＝BE＝2，
∴A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)，
故答案为：A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)．
②如图2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．
∵OD∥BE，OD∥PM，
∴BE∥PM，
∴
BE OE
PM OM
=，
∴
21
y x
=，
∴y＝2x．
故答案为：y＝2x．
③如图2﹣3中，作QM∥OA交OD于M．
2
22
MQ DM
OA DO
x y
∴=
-
∴=
∴
2
2
y x
=-+
故答案为：y＝﹣
2
2
x+2．
（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．
∵ω＝120°，OM⊥y轴，
∴∠MOA＝30°，
∵MF⊥OA，OA＝3
∴OF＝FA3
∴FM＝1，OM＝2FM＝2，
∴圆M的半径为2
∵MN∥y轴，
∴MN⊥OM，
∴MN ＝233，ON ＝2MN ＝433， ∴M 4323,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
． ②如图4中，连接OM ，作MK ∥x 轴交y 轴于K ，作MN ⊥OK 于N 交⊙M 于E 、F ．
∵MK ∥x 轴，ω＝120°，
∴∠MKO ＝60°，
∵MK ＝OK ＝3
∴△MKO 是等边三角形，
∴MN ＝3，
当FN ＝1时，MF ＝3﹣1=2，
当EN ＝1时，ME ＝3+1=4，
观察图象可知当⊙M 的半径r 的取值范围为2＜r ＜4．
故答案为：2＜r ＜4．
【点睛】
本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面斜坐标系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．
4．D
解析：（1）DF 的长为
158；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258． 【解析】
【分析】
（1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用cos 45
B =解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可； （2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF
=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF =⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出
NF DF =， 从而得出答案．
（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45
B =解三角函数即可得出答案． 【详解】 （1）如图，作EH BM ⊥于H ：
∵E 为AB 中点，45,cos 5
AB AD DC B ==== ∴52
AE BE ==
∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2
253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
设半径为r ，在Rt OEH ∆中： ()2
22322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得：2516
r =
∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠
又∵CMN BAM ∠=∠ ∴CMN OBE ∠=∠
∴//MF AB ∴四边形BMFA 是平行四边形
∴2528
AF BM r ===
∴2515588FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ，
∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠
∴AMB CNM ∠=∠
又∵AMB MAD ∠=∠
∴MAD CNM ∠=∠
又∵AFM NFD ∠=∠
∴AFM NFD ∆~∆ ∴AF MF AF DF NF MF NF DF
=⇒=① 又∵//MD AN ∴AFN DFM ∆~∆
∴
AF NF AF MF NF DF DF MF
=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=
∴NF DF =
∴5MN AD ==
故MN 的长为5；
（3）作如图：
∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切
设圆N 半径为R ，圆O 半径为r
∴'=NO R r NO -=
∴N 在'OO 的中垂线上
∴MN 垂直平分'OO
∴90NMC ∠=︒
∵90BAM CMN ∠=∠=︒
∴A 点在圆上 ∴54cos 5AB B BM
BM === 解得：254
BM =
O 的半径长为258
【点睛】 本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．
5．D
解析：（1）证明见解析；（2）29或5；（3）DG =2MG ，理由见解析．
【解析】
【分析】
(1)连接MG 并延长交AB 于N 点，证明△ANM ≌△FGM 后得到MG=MN ，AN=CG ，进而得到BN=BG ，得到△ANG 为等腰直角三角形，即可证明MG=MB.
(2)分两种情况画出图形再利用(1)中的思路结合勾股定理即可求解.
(3)先画出图形，然后证明△ADG ≌△ABG ，得到DG=BG ，又△BMG 为等腰直角三角形，故而得到DG=BG=2MG.
【详解】
解：(1) 连接MG 并延长交AB 于N 点，如下图所示：
∵GF ∥AN ，
∴∠NAM=∠GFM
在△ANM 和△FGM 中
∠∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
BAM GFM AM FM
NMA GMF ，∴△ANM ≌△FGM(ASA) ∴MG=MN ，CG=GF=AN
∴AB-AN=BC-CG
∴NB=GB
∴△NBG 为等腰直角三角形
又M 是NG 的中点
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知：
故有：MG=MB.
(2)分类讨论：
情况一：当B 、G 、F 三点在正方形ABCD 外同一直线上时
延长MG 到N 点，并使得MG=MN ，连接AN ，BN
∴∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩
MN MG AMN GMF AM FM ，∴△AMN ≌△FMG(SAS)
∴AN=GF=GC ，∠NAM=∠GFM
∴AN ∥GF
∴∠NAB+∠ABG=180°
又∠ABC=90°
∴∠NAB+∠CBG=90°
又在△BCG 中，∠BCG+∠CBG=90°
∴∠NAB=∠BCG
∴在△ABN 中和△CBG 中：∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩
AB BC NAB GCB AN CG ，∴△ABN ≌△CBG(SAS)
∴BN=BG ，∠ABN=∠CBG
∴∠ABC=∠NBG=90°
∴△NBG 是等腰直角三角形，且∠BGN=45°
在Rt △BCG 中，2222=534--=BG BC CG
过M点作MH⊥BG于H点，∴△MHB为等腰直角三角形
∴MH=BH=HG=1 2
BG=2
在Rt△MFH中，2222
MF=2529
+=+=
MH HF
情况二：当B、G、F三点在正方形ABCD内同一直线上时
如下图所示，延长MG到MN，并使得MG=MN，连接NA、NB，
同情况一中证明思路，
∠∠
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
MN MG
AMN GMF
AM FM
，△AMN≌△FMG(SAS)
∴AN=GF=GC，∠NAM=∠GFM
∴AN∥GF
∴∠NAB=∠ABG
又∠ABG+∠GBC=90°
∠GBC+∠BIF=90°
∴∠BIF=∠ABG
又∠BIF=∠BCG，∠ABC=∠NAB
∴∠NAB=∠GCB
∴在△ABN中和△CBG中：∠∠
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
AB BC
NAB GCB
AN CG
，∴△ABN≌△CBG(SAS)
∴BN=BG，∠ABN=∠CBG
∴∠ABC=∠NBG=90°
∴△NBG是等腰直角三角形，且∠BGN=45°
在△BCG中，2222
=534
-=-=
BG BC CG
过M点作MH⊥BG于H点，∴△MHB为等腰直角三角形
∴MH=BH=HG=1
2
BG=2
∴HF=HG-GF=2-1=1
在Rt△MFH中，2222
MF=215
+=+=
MH HF
故答案为：29或 5.
(3)由题意作出图形如下所示：
DG、MG的数量关系为：2，理由如下：
∵G点在AC上
∴∠DAG=∠BAG=45°
在△ADG和△ABG中：
∠∠
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
AD AB
DAG BAG
AG AG
，∴△ADG≌△BAG(SAS)
∴DG=BG
又由(2)中的证明过程可知：△MBG为等腰直角三角形
∴2MG
∴2MG
故答案为：2MG.
【点睛】
本题考查了正方形的旋转、三角形的全等、勾股定理等知识，难度很大，关键是要能正确做出图形，利用数形结合的思想，熟练的使用正方形的性质是解题的关键.
6．E
解析：（1）3
EF EC
=，见解析；（2）
27
7
BK a
=；（3）①AGH是等边三角形，见解析；②
1
(62)
4
【解析】
【分析】
（1）连接EF ，AC ，由菱形的性质，可证Rt AEB Rt AFD ∆≅∆，然后得到AEF ∆为等边三角形，由解直角三角形得到3AE EC =，即可得到答案；
（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF 的长度，然后得到BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到AB BK FB BA
=，即可求出答案； （3）①由等边三角形的性质，先证明ABG ACH ≅，然后得到AG AH =，然后得到60BAH GAB GAH ︒∠+∠=∠=，即可得到答案；
②由三角形的面积公式得到31DH =+，然后得到AHF △为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案．
【详解】
解：（1）3EF EC =；
理由：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，
,60,//AB AD BC ABC ADC AD BC ︒∴==∠=∠=，
120BAD ︒∴∠=，
∵AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ，
90AEB AFD ︒∴∠=∠=
Rt AEB Rt AFD ∴∆≅∆，
,30AE AF BAE DAF ∴=∠=∠=︒，
60EAF ∴∠=︒，
AEF ∴∆为等边三角形，
EF AE ∴=.
连接AC ，1602
BAC BAD ︒∴∠=∠= 30EAC ︒∴∠= 在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=
3AE EC ∴=，
3EF EC ∴=
（2）如图：
∵四边形ABCD 是菱形，60,ABC AB a ︒∠==， ACD ∴是等边三角形，//,,60AB CD AD CD a ADC ︒==∠=.
AF CD ⊥，垂足为F ， 1,902CF DF a BAF AFD ︒∴==∠=∠= 在Rt ADF 中，sin AF ADF AD ∠=， 23AF a ∴=
在Rt ABF 中，22BF AB AF =+，
7BF a ∴= AK BF ⊥，垂足为K ，
90AKB FAB ︒∴∠=∠=
ABK FBA ∠=∠
~Rt AKB Rt FAB ∴∆∆，
AB BK FB BA
∴=， 27BK a ∴=， （3）如图：
①AGH 是等边三角形.
理由：连接AC .
,60AB BC ABC ︒=∠=，
ABC ∴为等边三角形，
,60AB AC ABC ACB ︒∴=∠=∠=，
120ABG ︒∴∠=.
//AB CD ，
60BCH ABC ︒∴∠=∠=，
120ACH ︒∴∠=
ABG ACH ∴∠=∠，
又BG CH =，
ABG ACH ∴≅，
,AG AH GAB HAC ∴=∠=∠.
60BAH HAC BAC ︒∠+∠=∠=，
60BAH GAB GAH ︒∴∠+∠=∠=，
AGH ∴为等边三角形；
②ADC 为等边三角形，
2,1AD DC AC CF DF ∴=====，
AF ∴=.
1
(32
ADH S =， 11
(322
DH ∴⨯=，
1DH ∴=
1CH DH CD ∴=-=，HF DH DF =-=
AF HF ∴=，
AHF ∴为等腰直角三角形，
45AHF ︒∴∠=.
过点C 作CM AH ⊥，垂足为M .
在Rt CMH 中，sin CM CHM CH
∠=， 1
2
CM ∴=， 在Rt AMC 中，
sin CM MAC AC ∠=， 1
sin 4
MAC ∴∠=
. 又GAB HAC ∠=∠， 1
sin sin 4GAB HAC ∴∠=∠=
； 【点睛】
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，正确作出辅助线进行解题．
7．C
解析：（1）2233(06)53103343(68)
333031503(810)2t t S t t t t t t ⎧+⎪⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪-+<⎪⎪⎩，S 的最大值为63；（2）存在，m 的值为
165或32163-或163
或1423-. 【解析】
【分析】
（1）分06t 、68t 和810t 三种情况分别表示出有关线段求得两个变量之间的函数关系即可．
（2）分两种情形：①如图31-中，由题意点P 在AB 上运动的时间与点R 在BC 上运动的时间相等，即8m =．当RP BR =时，当PB BR =时，当PR PB =时，分别构建方程求解即可．②如图32-中，作RH BC ⊥于H ．首先证明90BPR ∠=︒，根据BP PR =构建方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图21-中，当06t 时，点P 与点Q 都在AB 上运动，
PM AC ⊥，//NQ PM ，
90ANQ AMP ∴∠=∠=︒，
AQ t =，2AP t =+，60A ∠=︒，
1122AN AQ t ∴==，33QN ==，112AM t =+，33PM ． ∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为33S +． 如图22-中，当68t 时，点P 在BD 上运动，点Q 仍在AB 上运动．
则AQ t =，12AN t =，142CN t =-
，3
QN t =，6BP t =-，10DP t =-，
3(10)PM t =-，
而43BC =，
故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为： BCNQ BCMP S S S =+四边形四边形
()()3111
434433106222t t t t ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+⋅-++-⋅- ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭⎝ 2
53103343t t =-
+-， 如图23-中，当810t 时，点P 和点Q 都在BD 上运动．
则202DQ t =-，(202)3QN t =-，10DP t =-，(10)3PM t =-．
∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为2333031503S t =-+
故S 关于t 的函数关系式为2
2
33
(06)53103343(68)3331503(810)t S t t t t ⎪⎪⎪=+-<⎨-+<⎪⎩
， 当06t 时，S 随t 增大而增大， 当68t <时，S 随t 增大而增大， 当810t <时，S 随t 增大而减小， ∴当t=8时，S 最大，代入可得S=63
（2）如图31-中，
由题意点P 在AB 上运动的时间与点R 在BC 上运动的时间相等，8m =． 当RP BR =时，3PB BR =，则有3
83m m -=⋅，解得165
m =
， 当PB BR =时，则有3
8m m -=
，解得32163m =-， 当PR PB =时，3BR PB =，则有3
3(8)m m =-，解得163
m =
． 如图32-中，作RH BC ⊥于H ．
在Rt △CHR 中，2(8)CR m =-，30RCH ∠=︒， 1
82RH CR m ∴==-，
8BP m =-，
RH BP ∴=， HR BP ∥，
∴四边形RHBP 是平行四边形，
90RHB ∠=︒，
∴四边形RHBP 是矩形，
90BPR ∴∠=︒，
当BP PR =时，则有83(12)m m -=-，解得1423m =- 综上所述，满足条件的m 的值为165或32163-16
3
或1423-． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，多边形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
8．H
解析：（1）3；（2）最短距离为：21，H(914，
13314)，I(275，2
35
) 【解析】 【分析】
（1）根据菱形性质，得到A 、B 、C 、O 四点坐标，然后根据平移得到对应点坐标，故可求得C E '和C F '的长，令它们相等可得m 的值；
（2）点G 作以C A '为对称轴的点G '，交C F '于点G '，点J 作以O B ''为对称轴的点J '，交A B ''于点J '，G J ''与C A '、A B ''的交点便是点H 、I ；先利用对称的性质，求解得出点G '、J '的坐标，然后利用代入系数法求得线段对应函数解析式，最后联立方程得到点H 、I 的坐标. 【详解】
（1）如下图，CB 与y 轴交于点M ，过点C 作x 轴的垂线，交x 轴于点N
∵在菱形ABCO 中，∠C=60°，菱形边长为4 ∴在Rt △COM 中，CM=2，3∴O(0，0)，A(4，0)，B(2，3，C(－2，3
∵将菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移() 03m m <<个单位，得到菱形
''''O A B C
∴O '(4，－m)，A '(8，－m)，B '(6，3m －)，C '(2，3m －) ∴直线AB 的解析式为：y=343x +∵点E 的纵坐标为：3m －，代入解析式得：x=3
2+ ∴E(3
2+
，3m －) 同理，F(3
4，0) ∵四边形AE C F '是菱形 ∴E F C C '=' E 33
C m '=。