2021年湖南省益阳市海棠中学高三数学文模拟试题含解析

2021年湖南省益阳市海棠中学高三数学文模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，，全集，则图中阴影部分表示的集合
为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
略
2. 已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）
A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣50
参考答案：
B
【考点】85：等差数列的前n项和；3F：函数单调性的性质．
【分析】由函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1轴对称，平移可得y=f（x）的图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，
可得y=f（x）的图象关于x=﹣1对称，
由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），
可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，
所以a1+a100=a50+a51=﹣2，
则{a n}的前100项的和为=﹣100
故选：B．
【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．
3. 若点在直线上,则( )
A. B. C.
D.1
参考答案：
D
4. 如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，
则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
试题分析：根据所给的三视图，可知该几何体为一个长方体和一个圆柱的组合体，故其容积为
，故选C.
考点：根据几何体的三视图求其体积.
5. 已知复数z=1+i,则＝
A.2i
B.－2i
C. 2
D. －2
参考答案：
答案：A
6. 已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2+2x≤0}，则A∩B=（）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|﹣1＜x≤0}
参考答案：
D
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】先求出集合A和B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，
B={x|x2+2x≤0}={x|﹣2≤x≤0}，
∴A∩B={x|﹣1＜x≤0}．
故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．7. 执行右图的程序框图，若输出的，则输入
整数的最大值是__________.
A．15 B．14 C．7 D．6
参考答案：
A
略
8. （5分）若P（2，1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线的方程为（）
A． x+y﹣1=0 B． 2x﹣y﹣5=0 C． 2x+y=0 D． x+y﹣3=0
参考答案：
D
【考点】：直线的一般式方程．
【专题】：计算题．【分析】：利用圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出直线AB的斜率，用点斜式求得直线AB的方程．
解：圆（x﹣1）2+y2=25的圆心为（1，0），直线AB的斜率等于=﹣1，
由点斜式得到直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣2），即x+y﹣3=0，
故选 D．
【点评】：本题考查用点斜式求直线方程的方法，圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于﹣1．
9. 已知集合A={-1,-2,0,1}，B={x|e x<1}，则集合C=A∩B的元素的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
参考答案：
B
因为集合C=A∩B={-1,-2}，所以其元素的个数为2.
10. 已知函数则函数的零点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数（a，b，c ，a > 0）是奇函数，若f(x)的最小值为，且f(1) >
，则b
的取值范围是．
参考答案：
(
12. 某班周四上午有四节课，下午有2节课，安排语文、数学、英语、物理、体育、音乐6门课，若
要求体育不排上午第一、二节，并且体育课与音乐课不相邻(上午第四节与下午第一节理解为相邻)，则不同排法总数为___________.
参考答案：
312
13. 已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且0≤x≤2时，f（x）
=，若函数g（x）=f（x）﹣a|x|（a≠0），在区间[﹣3，3]上至多有9
个零点，则a=
．
参考答案：
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用f （x ）的周期与对称性得出f （x ）在（2，3）上的解析式，由g（x）的零点个数可得y=ax与f（x）在（2，3）上的图象相切，根据斜率的几何意义列方程组解出a．
【解答】解：f（2）=﹣4×22+12×2﹣8=0，
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）的周期为4．
作出f（x）在[﹣3，3]上的函数图象，如图所示：
令g（x）=0得f（x）=a|x|，
∴当x＞0时，y=ax与y=f（x）在（2，3）上的函数图象相切，
∵1＜x＜2时，f（x）=﹣4x2+12x﹣8，且f（x）是偶函数，
∴当﹣2＜x＜﹣1时，f（x）=﹣4x2﹣12x﹣8，
又f（x）周期为4，则当2＜x＜3时，f（x）=﹣4（x﹣4）2﹣12（x﹣4）﹣8=﹣4x2+20x﹣24，
设y=ax与y=f（x）在（2，3）上的切点坐标为（x0，y0），则，解得x0=，a=20﹣8．
故答案为：．
14. 在ABC中，若，，，则．
参考答案：
15. 已知函数f（x）=﹣log2x的零点在区间（n，n+1）（n∈N）内，则n的值为．
参考答案：
2
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由函数的解析式判断单调性，求出f（2），f（3）的值，可得f（2）?f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f（x）=﹣log2x的零点所在的区间
【解答】解：∵函数f（x）=﹣log2x，
∴可判断函数单调递减
∵f（2）==＞0，f（3）=＜0，
∴f（2）?f（3）＜0，
根据函数的零点的判定定理可得：
函数f（x）=﹣log2x的零点所在的区间是（2，3），
n的值为：2．
故答案为：2．
16. 已知中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于______.
参考答案：
2
由，所以。

根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，即，所以三角形为直角三角形，所以。

17. 已知中，AB=5,BC=7，∠BAC=，则的面积为______________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）
已知函数，
（1）当时，求的极大值；
（2）当时，讨论在区间上的单调性.
参考答案：
解：（1）当时，
当或时，；当时，；∴在和上单调递减，在上单调递增；故。

（2）
①当时，，
故时，；时，。

此时在上单调递减，在上单调递增；
②当时，，
故时，，
此时在上单调递减；
③当时，，
故时，；时，，
此时在上单调递减，在上单调递增.
略
19. （本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数，前项和为，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求．
参考答案：
解：（Ⅰ）∵，∴①
②
由①－②得： (2分) ，∵∴，又∵，∴
∴ ---------------(5分)
当时，，符合题意. ----------（6分）
（Ⅱ）∵∴-----（10分）
则---------(12分)
略20. （本小题满分14分）已知函数(其中为自然对数的底数).
（1）若,求函数在区间上的最大值；
（2）若,关于的方程有且仅有一个根, 求实数的取值范围；
（3）若对任意,不等式均成立, 求实数的取值
范围.
参考答案：
(1)；(2)；(3).
试题分析：(1)依据题设条件和导数的知识求解；(2)借助题设条件运用导数的知识求解；(3)建立不等式求解.
试题解析:
（1）当时,, 故在
上单调递减, 上单调递增, 当时,, 当时,, 故在区间
上
.
设
,
则在上上恒成立, 因此在上恒成立因此
,而在上单调递减, 因此时,. 由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此,设,则.当时,, 因此在内单调递减, 在内单调递增, 因此.综上所
述,.
考点：导数在研究函数的单调性和最值中的运用．
21.
（14分）已知函数有且只有两个相异实根0，2，且
①求函数的解析式
②已知各项均不为1的数列
③如果数列成立参考答案：
解析：（1）由得
……………………4分
（2）①
当②
①—②则，
所以……………………9分
（3）由，
故当…………………………14分
22. 设函数的定义域为A,不等式的解集为B.
(1)求A;
(2)若B A,求实数a的取值范围.
参考答案：
(2)由,得
①当时，无解.,满足…………（5分）
②当时，，…………（6分）又…………（8分）
③当时，，…………（9分）。