布尔代数PPT课件

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• PP 624 •
•
•练 习 9, 10(a)(c)
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感谢您的观看！
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Deren Chen, Zhejiang Univ.
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• 对偶原理（Duality Principle)
Hale Waihona Puke • 设P、Q是限定性命题公式。如果
•
P
Q
•则
•
P *
Q*
例：A： （P ∧ Q） ∨ Q B： P ∨ Q
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• 进一步的思考： • 二、命题公式的进一步分类。
命题公式的标准化-----范式
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• 限定性命题公式： 最多仅含有否定、析取、合 取逻辑联结词的命题公式。
• 命题公式P的对偶公式（Dual）：将P中的 • 析取联结词换成合取联结词， • 合取联结词换成析取联结词， • T换成F，F换成T（如果存在的话）。 • 记为P*
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Table 4
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• 基本逻辑等价定理：
•
对于任意的命题公式p、q、r，下面的命题公式是等价的。
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Table 5
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• 布尔表达式与布尔函数
• Boolean Expressions and Boolean Functions
• B={0,1}, xi:布尔变量,i=1,2,…,n • F:BnB, 布尔函数，n:布尔函数的维数
• 布尔表达式 5/27/2021 8:30 AM
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Table 1
•4、A是永假公式当且仅当与A等价的主合取范
式恰有2n个极大项或没有主析取范式；
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• 进一步思考
• 1、卡诺图/Karnaugh Maps
•
布尔表达式的图示方法
• 2、布尔表达式的标准化描述
•
表达、分类、判定、应用
•
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•定理3：令A（a1、a2、……、an）包含有n个 变量的公式，则有：
•1、如果A存在与之等价的主析取范式，则必唯 一；
•2、如果A存在与之等价的主合取范式，则必唯 一；
•3、A是永真公式当且仅当与A等价的主析取范 式恰有2n个极小项或没有主合取范式；
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Table 6
p ∨ q T p ∧ q F
p ∨ (p ∧ q) p Absorption Laws/吸收律
p ∧ (p ∨ q) p
p→q pq
p∨q
(p → q) ∧( q → p)
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• 进一步的思考： • 一、命题公式的对偶性及其对偶处理。
•
布尔代数的抽象定义：
• 有余格：有界格中每一个元素都存在余元。
• 分配格：有界格中上确界和下确界运算满足分 配律。
• 定理：分配格中任意元素若有余元，则必唯一。
• 布尔格：至少有两个元素的有余分配格。
• 布尔代数：布尔格对应的代数系统
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（A，，，¯）
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•文字（literal）/符号（symbol）：
•
原子命题或其否定
•小项（small item）/合取式（ conjunctive form ）:
•
若干个文字的合取。
•大项（large item）/析取式（ disjunctive
form ）: 5/27/2021 8:30 AM
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•令A（a1、a2、……、an）包含有n个变量的公式，
•极小项(extremal ~):小项中恰包含n个变量或其 否定。
•极大项( extremal ~):大项中恰包含n个变量或其 否定。
•主合取范式（Unique conjunctive normal form):
•
若干个极大项的合取。