江西省九江市武宁第一中学2018-2019学年高二数学理下学期期末试题含解析

江西省九江市武宁第一中学2018-2019学年高二数学理
下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角为
A．0 B．锐角 C． D．钝角
参考答案：
D
略
2. 某校五四演讲比赛中，七位评委为一选手打出的分数如下：
90 86 90 97 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
A. B. C.
D.
参考答案：
B
3. “3＜m＜7”是“方程+=1的曲线是椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分条件又不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若方程+=1的曲线是椭圆，
则，即，即3＜m＜7且m≠5，
即“3＜m＜7”是“方程+=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件，
故选：B．
4. 两平行直线和之间的距离是（）
A. 4
B.
C.
D.
参考答案：
D
【分析】
先将化为，再由两平行线间的距离公式，即可得出结果.
【详解】因为可化为，
所以两平行直线和之间的距离
.
故选D
【点睛】本题主要考查两平行线间的距离，熟记公式即可，属于常考题型.
5. 已知函数f(x)的导函数为，且，则的值为( )
A. B. C. -1 D. -2
参考答案：
B
【分析】
对求导，在导函数中取，化简求出的值,再取，即可求出。

【详解】由可得：，
令，可得，解得，
则，
故答案选B
【点睛】利用导数公式和导数的运算法则求函数的导数是高考考查的基础内容，直接考查的较少，体现在导数的应用中，本题注意的正确理解，在求导时作为常数，才能得出正确答案。

6. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°．
其中错误的结论是( )
A．①B．②C．③D．④
参考答案：
C
考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．专题：证明题．
分析：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建
立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．
解答：解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC．
∴BD⊥AC，故①正确．
设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=a=EC．
∴AC=a．
∴△ACD为等边三角形，故②正确．
∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故③不正确．
以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，
则A（0，0，a），B（0，﹣a，0），D（0，a，0），C（a，0，0）．=（0，﹣a，﹣a），=（a，﹣a，0）．
cos＜，＞==
∴＜，＞=60°，故④正确．
故选C
点评：本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，其中根据已知条件将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键
7. 已知，条件p：“a>b”，条件q：“”，则p是q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
8. 已知△ABC的外接圆M经过点(0,1),( 0,3)，且圆心M在直线上.若△ABC的边长BC=2,则等于
A．B． C ．D．
参考答案：
A
9. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下：
01234
且回归方程是的预测值为（）A．8.4 B．8.3 C．8.2 D．8.1
参考答案：
B
10. 从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（）
A．①B．②④C．③D．①③
参考答案：
C
【考点】互斥事件与对立事件．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】分析四组事件，①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件．
【解答】解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，
在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，
在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，
在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，
∴只有第三所包含的事件是对立事件
故选：C
【点评】分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若，则函数的最小值为．
参考答案：
5
12. 对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现为条件，函数，计算
=____
参考答案：
2012
【分析】
求出二阶导数f″（x），再求出的拐点，即对称点，利用对称性可求值．
【详解】∵，∴f′（x）＝3x2-3x+3，f″（x）＝6x-3，
由f″（x）＝0得x＝，f（）＝＝1；
∴它的对称中心为(,1)，则有f（x）+f（1﹣x）＝2．
=[]+[
]+…+[]
＝2×1006＝2012．
故答案为：2012．
【点睛】本题考查导数的计算，考查新定义，解题关键是正确理解新概念，转化新定义．通过求出函数的拐点，得出对称中心，从而利用配对法求得函数值的和．
13. 若复数在复平面内对应的点在第三象限，则整数a的取值为_____．
参考答案：
【分析】
将复数写成a+bi（a,b∈R）的形式，然后由复数对应的点在第三象限，列出不等式，可得a的取值.
【详解】复数，若复数在复平面内对应的点在第三象限，
则，解得，又a为整数，则a=0,
故答案为：0
【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的几何意义，属于简单题.
14. 在直角坐标系xoy中，已知曲线M:（t为参数）与曲线N：
（为参数）相交于两个点A，B，则线段AB的长为___________
参考答案：
2
15. 圆心在抛物线上，并且和抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为▲．
参考答案：
略
16. 方程ln（2x+1）+e x﹣1=0的根的集合为．
参考答案：
{0}
【考点】对数的运算性质；集合的表示法．
【分析】令函数f（x）=ln（2x+1）+e x﹣1=0，可知：函数f（x）在上单调递增，因此函数f（x）至多有一个零点．即可得出．
【解答】解：令函数f（x）=ln（2x+1）+e x﹣1=0，可知：函数f（x）在上单调递增，
∴函数f（x）至多有一个零点．
而f（0）=0，
∴方程ln（2x+1）+e x﹣1=0的根的集合为{0}．
故答案为：{0}．
17. 已知 .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 若 P为椭圆上任意一点，为左、右焦点，如图所示．
(1)若的中点为M，求证：；
(2)若，求之值；
(3)椭圆上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。

参考答案：
(1)证明：在△F1PF2中，MO为中位线，
∴|MO|＝＝
＝a－＝5－|PF1|…….3分
(2)解：∵ |PF1|＋|PF2|＝10，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝100－2|PF1|·|PF2|，
在△PF1F2中，cos 60°＝，
∴|PF1|·|PF2|＝100－2|PF1|·|PF2|－36，
∴|PF1|·|PF2|＝. ………8分
(3)解：设点P(x0，y0)，则.①
易知F1（-3，0），F2（3，0），故＝(－3－x0，－y0)，
＝(3－x0，－y0)，
∵=0，∴x2－9＋y2＝0，②
由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在．……12分
19. 给定两个命题，p：对任意实数都有恒成立；q：关于的方程
有实数根；若为真，为假，求实数的取值范围．
参考答案：
解：对任意实数都有恒成立；
关于的方程有实数根；
因为为真，则至少一个为真，又为假，则至少一个为假．所以一真一假，即“真假”或“假真”．
真假，有；
假真，有．
所以实数的取值范围为．
20. 如图，在四边形中，，，，，
，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积.
参考答案：
解析：
21. 设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
参考答案：
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）
≥3x+2的解集即可．
（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为
|x﹣1|≥2．
由此可得x≥3或x≤﹣1．
故不等式f（x）≥3x+2的解集为
{x|x≥3或x≤﹣1}．
（Ⅱ）由f（x）≤0得
|x﹣a|+3x≤0
此不等式化为不等式组
或
即或
因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}
由题设可得﹣=﹣1，故a=2
22. 在△ABC中（图），，线段AC上点D满足AD=2DC．（Ⅰ）求sin∠ABC及边AC的长；
（Ⅱ）求sin∠CBD．
参考答案：
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（Ⅰ）根据cosC求出sinC，利用三角形内角和定理以及和与差的公式即可求出sin∠ABC，在利用正弦定理可得边AC的长；
（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理BD，再利用正弦定理可得sin∠CBD的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵，C∈（0，π），
∴，
sin∠ABC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=．
由正弦定理：，
得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC=3，AD=2DC，DC=1，
在△BCD中，根据余弦定理：BD2=DC2+BC2﹣2DC×BC?cosC=4，可得：BD=2．
由正弦定理：，
得．。