香港中学文凭考试
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16
評卷參考 – 題 5
1A : 給正確積分 給正確積分 1M :給代 A(0,1) 入曲線 1A : 給正確方程 給正確方程 1M :給求 L 的正確方法 正確方法 1A : 給正確方程 1M :給定積分法 1A : 給正確面積 給正確面積
17
評卷參考 – 題 6
70 − 67 1M :給 P( X > 70) = P Z > 15 6
29
考生表現 – 題 11
dR 考生常見的錯誤是混淆了 R 與 。 dt
在(a),整體表現尚可 整體表現尚可, 尚可,然而, 然而,很多考生懂 很多考生懂
得最大的強度蘊涵
dR = 0。 dt
在(b),整體表現欠佳 整體表現欠佳, 欠佳,部分考生未能選擇 部分考生未能選擇
適當的代換 適當的代換,以求解 R,而其他考生在代 入後沒有繼續運算, 入後沒有繼續運算,或在進一步運算時不 或在進一步運算時不 小心出錯。 小心出錯。
56 56 36 55 48 62 63 46 57 55 41 69 50 38 43 50
11
求 µ 的 90% 置信區間。 置信區間µ 的 90% 置信區間 的寬度小於 6 分鐘。 分鐘。 (b) 假設 µ = 51.5 。公司的客戶服務經理會見旅 客,並向每名輪候時間超過 65 分鐘的旅客 贈送一張優惠券。 贈送一張優惠券。
樣本平均值的 樣本平均值的分佈及比例的近似 分佈及比例的近似 置信區間為新課題
5
題目介紹 – 題 7
某足球隊在隨機選取的一場球賽中的入球數目 服從平均值為 λ 的泊松分佈。 的泊松分佈。該球隊在一場球 賽中沒有入球的概 賽中沒有入球的概率為 0.1653。 (a) 求 λ 的值, 的值,答案準確至 1 位小數。 位小數。 (b) 求該球隊在一場球賽中入球數目少於 3 的 概率。 概率。 (c) 已知該球隊在任何兩場球賽中的入球數目 相互獨立。 相互獨立。求該球隊在隨機選取的兩場球 賽中入球總數少於 3 的概率。 的概率。
12
題目介紹 – 題 12 (續)
(i) 求經理向他所會見的首 10 名旅客送出 少於 2 張優惠券的概率。 張優惠券的概率。 (ii) 求第 5 張優惠券是贈予經理會見的第 20 名旅客的概率。 名旅客的概率。
平均值的置信區間為新課題 平均值的置信區間為新課題 正態分佈及二項分佈的應用
13
題目介紹 – 題 13
,
以決定在(a)(i)中的估算值 的估算值是 算值是過高還是過 高還是過 低。
28
考生表現 – 題 10 (續)
在(b),整體表現尚可 整體表現尚可, 尚可,很多考生運用錯 誤的代換 誤的代換。 在(c),整體表現差劣 整體表現差劣, 差劣,只有少數考生嘗 試答這部分。 試答這部分。在這些考生中, 在這些考生中,部分寫出 I ≈ 0.692913377 而不是 I < 0.692913377 。
二項分佈及泊松分佈的應用 條件概率 條件概率
15
評卷參考 – 題 1
1A: 1A:給正確展開二項式 1A :給
e −2 x ( −2 x ) 2 = 1 + ( −2 x ) + +L 2!
1M :給
9n(n − 1) 1⋅ + ( −2)(3n ) + 2 ⋅ 1 = 62 2
1A :給正確答案 給正確答案
19
評卷參考 – 題 11(a),(b)
(a) 1A :給
a (30 − 35) + 10 (35 − 35) + b
2
=0
1A :給正確答案 給正確答案 (b) 1M: 1M:給代換計算積分方法 1A :給 R = − ln[(t − 35)2 + b] + C 1M :給利用 R t =T = R t =0 1A :給正確答案 給正確答案
20
評卷參考 – 題 11(c)
61 1M :給利用 R t =40 − R t =41 = ln 50 1A :給 b = 25
1M :給利用 R t =35 = 6 1A :給 R = − ln[(t − 35) 2 + 25] + 6 + ln 25
21
評卷參考 – 題 11(d)
1M: 1M:給計算
求導法及定積分的應用
4
題目介紹 – 題 6
某學校學生的體重( 某學校學生的體重(以 kg 為單位) 為單位)可用平均值為 67、標準差為 15 的正態分佈模擬。 的正態分佈模擬。現隨機選取 36 名學生組成一樣本 。 (a) 求該 36 名學生的平均體重超過 70 kg 的概率。 的概率。 (b) 已知該樣本中的 9 名學生喜歡吃炸薯條。 名學生喜歡吃炸薯條。求 該學校中喜歡吃炸薯條的學生所佔比例的近 似 95% 置信區間。 置信區間。
在某城市中醉酒駕駛是違法行為。 在某城市中醉酒駕駛是違法行為。 警方於晚上在 某條公路的入口處設置 檢 查路 障 , 以拘捕 醉駕司 機 。 根據過往經驗, 根據過往經驗 , 被捕 的醉駕司機數目服從泊 松分佈, 松分佈,其平均值為每小時 2.3。 (a) 求在某小時內有至少 2 名醉駕司機被捕的概 率。 (b) 給定在某小時內有至少 2 名醉駕司機被捕的 條件,求不多於 4 名醉駕司機被捕的概率。 的概率。
25
考生表現 – 題 6
在(a),整體表現良好 整體表現良好, 良好,部分考生未能
正確地作出有關樣本平均數分佈的標 準化步驟。 準化步驟。
在(b),整體表現令人滿意 整體表現令人滿意, 令人滿意,很多考生
求得樣本比例, 求得樣本比例,但未能求得題目所要 未能求得題目所要 求的置信區間 求的置信區間。 置信區間。
泊松分佈為舊課題
6
題目介紹 – 題 10
設 I = ∫1
4
1 −2t e dt t
。
(a) (i) 利用有 6 個子區間的梯形法則估算 I。 (ii) (a)(i) 中的估算值是過高還是過低? 中的估算值是過高還是過低?試解釋 你的答案如何達至。 你的答案如何達至。 (b) 利用適當的代換, 利用適當的代換,證明 I = 2∫1 e
14
題目介紹 – 題 13 (續)
(c) 在某星期內,警方在三個晚上設置檢查路障, 時間均為凌晨 1 時至 2 時。已知各個晚上被 捕醉駕司機的數目相互獨立。 醉駕司機的數目相互獨立。 (i) 求第三晚為首個有至少 2 名醉駕司機被捕 的晚上的概率。 的晚上的概率。 (ii) 求在三晚中的每一晚均有至少 2 名醉駕司 機被捕並且合共有 10 名醉駕司機被捕的 概率。 概率。
23
考生表現 – 題 1
在 (a) , 整體表現優良 整體表現 優良, 優良 , 少數考生沒 有化簡得出的 有化簡得出的結果。 結果。 在 (b) , 整體表現優良 整體表現 優良, 優良 , 少數考生沒 有捨去負根 捨去負根 −8/3。
24
考生表現 – 題 5
在(a),整體表現令人滿意 整體表現令人滿意, 令人滿意,部分考生遺漏了積 分法的常數或寫出 ∫ e 2 x d x = 2e2 x + C ,而其他考生 則混淆了 S 與 L。 在(b),整體表現令人滿意 整體表現令人滿意, 令人滿意,部分考生把 e2x 當 作為 L 的斜率, 的斜率,然後寫出 y = e2xx + 1 為 L 的方 程。 在(c),整體表現欠佳 整體表現欠佳, 欠佳,部分考生把 y = e2x 當 作為 S 的方程。 的方程。
50
9
題目介紹 – 題 11 (續)
(a) (b) (c) (d) 求 a 的值。 的值。 求 T 的值。 的值。 以 t 表 R。 對於 0 ≤ t ≤ 35 ,輻射強度的變率於何時 達到最大值? 達到最大值?
求導法(包括二階導數 包括二階導數)及積分的 應用
10
題目介紹 – 題 12
某公司為旅客提供吊車服務。 某公司為旅客提供吊車服務。旅客投訴輪候吊車的 時間過長。 時間過長。根據過往經驗, 根據過往經驗,一名隨機選取的旅客的 輪候時間( 輪候時間(以分鐘為單位) 以分鐘為單位)服從平均值為 µ 、標準 差為 9 的正態分佈。 的正態分佈。 (a) 該公司的客戶服務經理就輪候時間進行調 查以便估算 µ 。 (i) 現隨機選取 16 名旅客組成一樣本, 名旅客組成一樣本, 他們的輪候時間記錄如下: 他們的輪候時間記錄如下:
30
考生表現 – 題 11 (續)
在(c),整體表現差劣 整體表現差劣, 差劣,考生常見的錯誤 考生常見的錯誤
是
R t =41 − R t =40 = ln
61 。 50
在(d),整體表現差劣 整體表現差劣, 差劣,只有少數考生 只有少數考生嘗 少數考生嘗
26
考生表現 – 題 7
在(a),整體表現優異 整體表現優異。 優異。 在(b),整體表現優良 整體表現優良。 優良。 在 (c), 整體表現欠佳 整體表現 欠佳, 欠佳 , 少數考生運用平 均值為 2λ 的泊松分佈。 泊松分佈。很多考生在運 用平均值 用平均值為 λ 的泊松分佈時, 泊松分佈時,未能考慮 所有與題目所要求的 所有與題目所要求的概率有關的事件 題目所要求的概率有關的事件。 概率有關的事件。
d2R dt 2
的方法 的方法
1A :給正確答案 1M :給檢視
d2R dt 2
的數值改變
1A :給正確答案
22
考生表現
級別 第5**級 第5*級或以上 第5級或以上 第4級或以上 第3級或以上 第2級或以上 第1級或以上 百分率 1.4% 6.0% 15.2% 43.3% 69.4% 86.5% 95.0%
27
考生表現 – 題 10
在(a)(i),整體表現良好 整體表現良好, 良好,很多考生正確 地應用梯形法則。 地應用梯形法則。 在(a)(ii),整體表現欠佳 整體表現欠佳, 欠佳,很多考生運用
d −21 −2t t e dt
而不是
d 2 −21 −2t t e 2 dt
香港中學文憑考試 數學 延伸部分 單元一 (微積分與統計) 2012 年 10 月
內容簡介
考試形式 題目介紹 評卷參考 考生表現 答卷示例 一般建議
2
考試形式
考試時間 : 2小時30分鐘 本單元只考一卷 本卷分為兩部, 本卷分為兩部,全部題目均須作答 考生須具有必修部分及初 考生須具有必修部分及初中 及初中課程基 課程基 礎部分與 礎部分與非基礎部分的知識 分與非基礎部分的知識
3
題目介紹 – 題 5
某曲線 S 於其上任意點 (x, y) 的切線斜率可表示 為 dy = e 2 x 。設 L 為 S 於其上一點 A(0,1) 的切 dx 線。 (a) 求 S 的方程。 的方程。 (b) 求 L 的方程。 的方程。 (c) 求 S、 L 及直線 x = 1 所圍成區域的面積。 所圍成區域的面積。
dR a (30 − t ) + 10 = dt (t − 35) 2 + b
其中 t (0 ≤ t ≤ T ) 是自研究開始起計的日數, 是自研究開始起計的日數,a、b 和 T 為正常數。 為正常數。 已知輻射強度在 t = 35 時升至最大值, 時升至最大值,其值為 6 個 單位; 單位;然後在 t = T 時降至研究開始時的水平。 時降至研究開始時的水平。此 外,輻射強度由 t = 40 至 t = 41 下降了 ln 61 個單位。 個單位。
1A :給正確答案 給正確答案 1A :給樣本比例為 0.25 1M :給近似 95% 置信區間 1A :給正確答案 給正確答案
18
評卷參考 – 題 7
1A :給 λ ≈ 1.8 1M: 1M:給正確方法 1A :給正確答案 1M: 1M:給求 P(在兩場球賽中的入球數目 P(在兩場球賽中的入球數目 < 3) 的方法 1A :給正確答案
2 − x2 2
dx 。
7
題目介紹 – 題 10 (續)
(c) 利用上面的結果和第 14 頁的標準正態分佈 表,證明 π < 3.25 。
梯形法則及代換積分法為舊課題 考生需用(b)的結果和標準正態分佈的概 念以數學語言及符號證明 π < 3.25
8
題目介紹 – 題 11
一名專家在研究某城市的輻射強度時, 一名專家在研究某城市的輻射強度時,用下式模擬 輻射強度 R(採用適當的單位) 採用適當的單位)的變率: 的變率:
評卷參考 – 題 5
1A : 給正確積分 給正確積分 1M :給代 A(0,1) 入曲線 1A : 給正確方程 給正確方程 1M :給求 L 的正確方法 正確方法 1A : 給正確方程 1M :給定積分法 1A : 給正確面積 給正確面積
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評卷參考 – 題 6
70 − 67 1M :給 P( X > 70) = P Z > 15 6
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考生表現 – 題 11
dR 考生常見的錯誤是混淆了 R 與 。 dt
在(a),整體表現尚可 整體表現尚可, 尚可,然而, 然而,很多考生懂 很多考生懂
得最大的強度蘊涵
dR = 0。 dt
在(b),整體表現欠佳 整體表現欠佳, 欠佳,部分考生未能選擇 部分考生未能選擇
適當的代換 適當的代換,以求解 R,而其他考生在代 入後沒有繼續運算, 入後沒有繼續運算,或在進一步運算時不 或在進一步運算時不 小心出錯。 小心出錯。
56 56 36 55 48 62 63 46 57 55 41 69 50 38 43 50
11
求 µ 的 90% 置信區間。 置信區間µ 的 90% 置信區間 的寬度小於 6 分鐘。 分鐘。 (b) 假設 µ = 51.5 。公司的客戶服務經理會見旅 客,並向每名輪候時間超過 65 分鐘的旅客 贈送一張優惠券。 贈送一張優惠券。
樣本平均值的 樣本平均值的分佈及比例的近似 分佈及比例的近似 置信區間為新課題
5
題目介紹 – 題 7
某足球隊在隨機選取的一場球賽中的入球數目 服從平均值為 λ 的泊松分佈。 的泊松分佈。該球隊在一場球 賽中沒有入球的概 賽中沒有入球的概率為 0.1653。 (a) 求 λ 的值, 的值,答案準確至 1 位小數。 位小數。 (b) 求該球隊在一場球賽中入球數目少於 3 的 概率。 概率。 (c) 已知該球隊在任何兩場球賽中的入球數目 相互獨立。 相互獨立。求該球隊在隨機選取的兩場球 賽中入球總數少於 3 的概率。 的概率。
12
題目介紹 – 題 12 (續)
(i) 求經理向他所會見的首 10 名旅客送出 少於 2 張優惠券的概率。 張優惠券的概率。 (ii) 求第 5 張優惠券是贈予經理會見的第 20 名旅客的概率。 名旅客的概率。
平均值的置信區間為新課題 平均值的置信區間為新課題 正態分佈及二項分佈的應用
13
題目介紹 – 題 13
,
以決定在(a)(i)中的估算值 的估算值是 算值是過高還是過 高還是過 低。
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考生表現 – 題 10 (續)
在(b),整體表現尚可 整體表現尚可, 尚可,很多考生運用錯 誤的代換 誤的代換。 在(c),整體表現差劣 整體表現差劣, 差劣,只有少數考生嘗 試答這部分。 試答這部分。在這些考生中, 在這些考生中,部分寫出 I ≈ 0.692913377 而不是 I < 0.692913377 。
二項分佈及泊松分佈的應用 條件概率 條件概率
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評卷參考 – 題 1
1A: 1A:給正確展開二項式 1A :給
e −2 x ( −2 x ) 2 = 1 + ( −2 x ) + +L 2!
1M :給
9n(n − 1) 1⋅ + ( −2)(3n ) + 2 ⋅ 1 = 62 2
1A :給正確答案 給正確答案
19
評卷參考 – 題 11(a),(b)
(a) 1A :給
a (30 − 35) + 10 (35 − 35) + b
2
=0
1A :給正確答案 給正確答案 (b) 1M: 1M:給代換計算積分方法 1A :給 R = − ln[(t − 35)2 + b] + C 1M :給利用 R t =T = R t =0 1A :給正確答案 給正確答案
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評卷參考 – 題 11(c)
61 1M :給利用 R t =40 − R t =41 = ln 50 1A :給 b = 25
1M :給利用 R t =35 = 6 1A :給 R = − ln[(t − 35) 2 + 25] + 6 + ln 25
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評卷參考 – 題 11(d)
1M: 1M:給計算
求導法及定積分的應用
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題目介紹 – 題 6
某學校學生的體重( 某學校學生的體重(以 kg 為單位) 為單位)可用平均值為 67、標準差為 15 的正態分佈模擬。 的正態分佈模擬。現隨機選取 36 名學生組成一樣本 。 (a) 求該 36 名學生的平均體重超過 70 kg 的概率。 的概率。 (b) 已知該樣本中的 9 名學生喜歡吃炸薯條。 名學生喜歡吃炸薯條。求 該學校中喜歡吃炸薯條的學生所佔比例的近 似 95% 置信區間。 置信區間。
在某城市中醉酒駕駛是違法行為。 在某城市中醉酒駕駛是違法行為。 警方於晚上在 某條公路的入口處設置 檢 查路 障 , 以拘捕 醉駕司 機 。 根據過往經驗, 根據過往經驗 , 被捕 的醉駕司機數目服從泊 松分佈, 松分佈,其平均值為每小時 2.3。 (a) 求在某小時內有至少 2 名醉駕司機被捕的概 率。 (b) 給定在某小時內有至少 2 名醉駕司機被捕的 條件,求不多於 4 名醉駕司機被捕的概率。 的概率。
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考生表現 – 題 6
在(a),整體表現良好 整體表現良好, 良好,部分考生未能
正確地作出有關樣本平均數分佈的標 準化步驟。 準化步驟。
在(b),整體表現令人滿意 整體表現令人滿意, 令人滿意,很多考生
求得樣本比例, 求得樣本比例,但未能求得題目所要 未能求得題目所要 求的置信區間 求的置信區間。 置信區間。
泊松分佈為舊課題
6
題目介紹 – 題 10
設 I = ∫1
4
1 −2t e dt t
。
(a) (i) 利用有 6 個子區間的梯形法則估算 I。 (ii) (a)(i) 中的估算值是過高還是過低? 中的估算值是過高還是過低?試解釋 你的答案如何達至。 你的答案如何達至。 (b) 利用適當的代換, 利用適當的代換,證明 I = 2∫1 e
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題目介紹 – 題 13 (續)
(c) 在某星期內,警方在三個晚上設置檢查路障, 時間均為凌晨 1 時至 2 時。已知各個晚上被 捕醉駕司機的數目相互獨立。 醉駕司機的數目相互獨立。 (i) 求第三晚為首個有至少 2 名醉駕司機被捕 的晚上的概率。 的晚上的概率。 (ii) 求在三晚中的每一晚均有至少 2 名醉駕司 機被捕並且合共有 10 名醉駕司機被捕的 概率。 概率。
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考生表現 – 題 1
在 (a) , 整體表現優良 整體表現 優良, 優良 , 少數考生沒 有化簡得出的 有化簡得出的結果。 結果。 在 (b) , 整體表現優良 整體表現 優良, 優良 , 少數考生沒 有捨去負根 捨去負根 −8/3。
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考生表現 – 題 5
在(a),整體表現令人滿意 整體表現令人滿意, 令人滿意,部分考生遺漏了積 分法的常數或寫出 ∫ e 2 x d x = 2e2 x + C ,而其他考生 則混淆了 S 與 L。 在(b),整體表現令人滿意 整體表現令人滿意, 令人滿意,部分考生把 e2x 當 作為 L 的斜率, 的斜率,然後寫出 y = e2xx + 1 為 L 的方 程。 在(c),整體表現欠佳 整體表現欠佳, 欠佳,部分考生把 y = e2x 當 作為 S 的方程。 的方程。
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題目介紹 – 題 11 (續)
(a) (b) (c) (d) 求 a 的值。 的值。 求 T 的值。 的值。 以 t 表 R。 對於 0 ≤ t ≤ 35 ,輻射強度的變率於何時 達到最大值? 達到最大值?
求導法(包括二階導數 包括二階導數)及積分的 應用
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題目介紹 – 題 12
某公司為旅客提供吊車服務。 某公司為旅客提供吊車服務。旅客投訴輪候吊車的 時間過長。 時間過長。根據過往經驗, 根據過往經驗,一名隨機選取的旅客的 輪候時間( 輪候時間(以分鐘為單位) 以分鐘為單位)服從平均值為 µ 、標準 差為 9 的正態分佈。 的正態分佈。 (a) 該公司的客戶服務經理就輪候時間進行調 查以便估算 µ 。 (i) 現隨機選取 16 名旅客組成一樣本, 名旅客組成一樣本, 他們的輪候時間記錄如下: 他們的輪候時間記錄如下:
30
考生表現 – 題 11 (續)
在(c),整體表現差劣 整體表現差劣, 差劣,考生常見的錯誤 考生常見的錯誤
是
R t =41 − R t =40 = ln
61 。 50
在(d),整體表現差劣 整體表現差劣, 差劣,只有少數考生 只有少數考生嘗 少數考生嘗
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考生表現 – 題 7
在(a),整體表現優異 整體表現優異。 優異。 在(b),整體表現優良 整體表現優良。 優良。 在 (c), 整體表現欠佳 整體表現 欠佳, 欠佳 , 少數考生運用平 均值為 2λ 的泊松分佈。 泊松分佈。很多考生在運 用平均值 用平均值為 λ 的泊松分佈時, 泊松分佈時,未能考慮 所有與題目所要求的 所有與題目所要求的概率有關的事件 題目所要求的概率有關的事件。 概率有關的事件。
d2R dt 2
的方法 的方法
1A :給正確答案 1M :給檢視
d2R dt 2
的數值改變
1A :給正確答案
22
考生表現
級別 第5**級 第5*級或以上 第5級或以上 第4級或以上 第3級或以上 第2級或以上 第1級或以上 百分率 1.4% 6.0% 15.2% 43.3% 69.4% 86.5% 95.0%
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考生表現 – 題 10
在(a)(i),整體表現良好 整體表現良好, 良好,很多考生正確 地應用梯形法則。 地應用梯形法則。 在(a)(ii),整體表現欠佳 整體表現欠佳, 欠佳,很多考生運用
d −21 −2t t e dt
而不是
d 2 −21 −2t t e 2 dt
香港中學文憑考試 數學 延伸部分 單元一 (微積分與統計) 2012 年 10 月
內容簡介
考試形式 題目介紹 評卷參考 考生表現 答卷示例 一般建議
2
考試形式
考試時間 : 2小時30分鐘 本單元只考一卷 本卷分為兩部, 本卷分為兩部,全部題目均須作答 考生須具有必修部分及初 考生須具有必修部分及初中 及初中課程基 課程基 礎部分與 礎部分與非基礎部分的知識 分與非基礎部分的知識
3
題目介紹 – 題 5
某曲線 S 於其上任意點 (x, y) 的切線斜率可表示 為 dy = e 2 x 。設 L 為 S 於其上一點 A(0,1) 的切 dx 線。 (a) 求 S 的方程。 的方程。 (b) 求 L 的方程。 的方程。 (c) 求 S、 L 及直線 x = 1 所圍成區域的面積。 所圍成區域的面積。
dR a (30 − t ) + 10 = dt (t − 35) 2 + b
其中 t (0 ≤ t ≤ T ) 是自研究開始起計的日數, 是自研究開始起計的日數,a、b 和 T 為正常數。 為正常數。 已知輻射強度在 t = 35 時升至最大值, 時升至最大值,其值為 6 個 單位; 單位;然後在 t = T 時降至研究開始時的水平。 時降至研究開始時的水平。此 外,輻射強度由 t = 40 至 t = 41 下降了 ln 61 個單位。 個單位。
1A :給正確答案 給正確答案 1A :給樣本比例為 0.25 1M :給近似 95% 置信區間 1A :給正確答案 給正確答案
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評卷參考 – 題 7
1A :給 λ ≈ 1.8 1M: 1M:給正確方法 1A :給正確答案 1M: 1M:給求 P(在兩場球賽中的入球數目 P(在兩場球賽中的入球數目 < 3) 的方法 1A :給正確答案
2 − x2 2
dx 。
7
題目介紹 – 題 10 (續)
(c) 利用上面的結果和第 14 頁的標準正態分佈 表,證明 π < 3.25 。
梯形法則及代換積分法為舊課題 考生需用(b)的結果和標準正態分佈的概 念以數學語言及符號證明 π < 3.25
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題目介紹 – 題 11
一名專家在研究某城市的輻射強度時, 一名專家在研究某城市的輻射強度時,用下式模擬 輻射強度 R(採用適當的單位) 採用適當的單位)的變率: 的變率: