丰镇市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

丰镇市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知全集为，集合，，则（ ）
R {}
|23A x x x =<->或{}2,0,2,4B =-()R A B = ðA ． B ．
C ．
D ．{}2,0,2-{}2,2,4-{}2,0,3-{}
0,2,42． 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（
）A ．
B ．
C ．
D ．2
3． 在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（
）
A ．20种
B ．22种
C ．24种
D ．36种
4． 函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）图象恒过定点（ ）
A ．（0，1）
B ．（2，1）
C ．（2，0）
D ．（0，2）
5． 已知双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作直线l ⊥x 轴交双曲线C
的渐近线于点A ，B 若以AB 为直径的圆恰过点F 2，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
6． 执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（
）
A ．9
B ．11
C ．13
D ．15
7． 已知f （x ）是R 上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，设，b=f （log 43），c=f （0.4﹣1.2）
则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A ．a ＜c ＜b
B ．b ＜a ＜c
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a
8． 是z 的共轭复数，若z+=2，（z ﹣）i=2（i 为虚数单位），则z=（ ）
A ．1+i
B ．﹣1﹣i
C ．﹣1+i
D ．1﹣i
9． 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．4
10．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式
)(x f )0,(-∞)('x f 2
')()(2x x xf x f >+的解集为
0)2(4)2014()2014(2>--++f x f x A 、 B 、 C 、 D 、)2012,(--∞)0,2012(-)2016,(--∞)
0,2016(-11．在复平面内，复数（﹣4+5i ）i （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限12．已知{}n a 是等比数列，251
24
a a ==，，则公比q =（ ）A ．1
2
-
B ．-2
C ．2
D ．
12
二、填空题
13．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是
．
14．设抛物线的焦点为，两点在抛物线上，且，，三点共线，过的中点作2
4y x =F ,A B A B F AB M y
轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则点的横坐标为 .
P 3
2
PF =
M 15．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m ，则山高MN=
m ．
16．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω= ．
17．函数f （x ）=
的定义域是 ．
18．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．　
三、解答题
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD E PD （1）证明：平面；//PB AEC
（2）设，的体积，求到平面的距离.1AP =AD =
P ABD -V =
A PBC
111]
20．已知函数x
x x f --
-=713)(的定义域为集合A ，，{x |210}B x =<<{x |21}
C a x a =<<+（1）求，B A C R ⋂)(；
A B （2）若，求实数a 的取值范围.
B C B = 21．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2=9内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．
22．（本题满分12分）在长方体中，，是棱上的一点，是棱1111D C B A ABCD -a AD AA ==1E CD P 1AA 上的一点.
（1）求证：平面；⊥1AD D B A 11（2）求证：；
11AD E B ⊥（3）若是棱的中点，是棱的中点，求证：平面.
E CD P 1AA //DP AE B 1
23．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形外接于圆，是圆周角的角平分线，过点的切线与延长线交于点，
ABCD AC BAD ∠C AD E 交于点．
AC BD F （1）求证：；
BD CE A （2）若是圆的直径，，，求长
AB 4AB =1DE =AD
24．已知函数（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的值域．
丰镇市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】
考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集.
2．【答案】B
【解析】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．
∵|AF|=3，
∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3
∴1+x A=3
∴x A=2，
∴y A=±2，
∴△AOF的面积为=．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键．
3．【答案】C
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，
共有=12种推荐方法；
②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，
共有=12种推荐方法；
故共有12+12=24种推荐方法；
故选：C．
4．【答案】D
【解析】解：令x=0，则函数f（0）=a0+3=1+1=2．
∴函数f（x）=a x+1的图象必过定点（0，2）．
【点评】本题考查了指数函数的性质和a0=1（a＞0且a≠1），属于基础题．
5．【答案】D
【解析】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则l的方程为x=﹣c，
双曲线的渐近线方程为y=±x，所以A（﹣c，c）B（﹣c，﹣c）
∵AB为直径的圆恰过点F2
∴F1是这个圆的圆心
∴AF1=F1F2=2c
∴c=2c，解得b=2a
∴离心率为==
故选D．
【点评】本题考查了双曲线的性质，如焦点坐标、离心率公式．
6．【答案】C
【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5，
当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9，
当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13，
当a=13时，满足退出循环的条件，
故输出的结果为13，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．　
7．【答案】C
【解析】解：由题意f（x）=f（|x|）．
∵log43＜1，∴|log43|＜1；
2＞|ln|=|ln3|＞1；
∵|0.4﹣1.2|=| 1.2|＞2
∴|0.4﹣1.2|＞|ln|＞|log43|．
又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．
故选C
8．【答案】D
【解析】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①
又z+=2 ②
由①②解得z=1﹣i
故选D．
9．【答案】C
【解析】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1MF2=，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，
即=﹣1，②
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，
即=1﹣，③
联立②③得，+=4，
由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，
即（+）2≤×4=，
即+≤，
当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．
故选C．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
10．【答案】C.
【解析】由，得：，即，令，则当
时，
，即
在
是减函数， ，
，
，
在是减函数，所以由得，
，
即
，故选
11．【答案】B
【解析】解：∵（﹣4+5i ）i=﹣5﹣4i ，∴复数（﹣4+5i ）i 的共轭复数为：﹣5+4i ，
∴在复平面内，复数（﹣4+5i ）i 的共轭复数对应的点的坐标为：（﹣5，4），位于第二象限．故选：B ．　
12．【答案】D 【解析】
试题分析：∵在等比数列}{a n 中，4
1,2a 52==a ,21,81q 253
=∴==∴q a a .
考点：等比数列的性质.
二、填空题
13．【答案】　①④　．
【解析】解：由所给的正方体知，△PAC 在该正方体上下面上的射影是①，△PAC 在该正方体左右面上的射影是④，△PAC 在该正方体前后面上的射影是④故答案为：①④　
14．【答案】2
【解析】由题意，得，，准线为，设、，直线的方程为
2p =(1,0)F 1x =-11(,)A x y 22(,)B x y AB ，代入抛物线方程消去，得，所以，．又(1)y k x =-y 22
2
2
(24)0k x k x k -++=2122
24
k x x k ++=
121x x =设，则，所以，所以．
00(,)P x y 01212112()[(1)(1)]22y y y k x k x k =+=-+-=021x k =212
(,)P k k 因为，解得，所以点的横坐标为2．
0213
||112
PF x k =+=+=22k =M 15．【答案】　150　
【解析】解：在RT △ABC 中，∠CAB=45°，BC=100m ，所以AC=100m ．
在△AMC 中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，
，因此AM=100
m ．
在RT △MNA 中，AM=100m ，∠MAN=60°，由
得MN=100
×
=150m ．
故答案为：150．　
16．【答案】　±（7﹣i ）　．
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），∵（1+3i ）z=（1+3i ）（a+bi ）=a ﹣3b+（3a+b ）i 为纯虚数，∴．又ω=
==，|ω|=，∴
．
把a=3b 代入化为b 2=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±
=±（7﹣i ）．
故答案为±（7﹣i ）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．　
17．【答案】　{x|x ＞2且x ≠3}　．
【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得解可得，x ＞2且x ≠3故答案为：{x|x ＞2且x ≠3}　
18．【答案】 ．
【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23=8种方案，而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，所以甲胜出的概率为故答案为．
【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．　
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】
试
题解析：（1）设和交于点，连接，因为为矩形，所以为的中点，又为的BD AC O EO ABCD O BD E PD 中点，所以，且平面，平面，所以平面.
//EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC
（2），由，可得，作交于.由题设知16V PA AB AD AB =
=A A V =3
2
AB =AH PB ⊥PB H BC ⊥
平面，所以，故平面，又，所以到平面的距离PAB BC AH ⊥AH ⊥PBC PA AB AH PB ==A A PBC
考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理.
20．【答案】（1），；（2）或
{}210A B x =<<U (){}
2310R C A B x x x =<<≤<I 或71a ≤-。

922
a ≤≤
【解析】
试题分析：（1）由题可知：，所以，因此集合，画数轴表示出集合A ，
30
70x x -≥⎧⎨->⎩
37x ≤<{}37A x x =≤<集合B ，观察图形可求，，观察数轴，可以求出，则
{}210A B x =<<U {}37R C A x x x =<≥或；（2）由可得：，分类讨论，当时，
(){}2310R C A B x x x =<<≤<I
或7B C B =U C B ⊆B φ=，解得：，当时，若，则应满足，即，所以，21a a ≥+1a ≤-B φ≠C B ⊆21
2
2110a a a a <+⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩1292
a a a ⎧
⎪>-⎪≥⎨⎪⎪≤
⎩922a ≤≤因此满足的实数的取值范围是：或。

B C B =U a 1a ≤-9
22
a ≤≤试题解析：（1）：由得：
3070
x x -≥⎧⎨->⎩37
x ≤<A={x|3x<7}
≤， B A C R
⋂)(=
A B {x |2x 10}=<<{x|2<x<3x<10}
≤或7（2）当B=时，φ21,a -1
a a ≥+≤当时，，
B φ≠21
22110
a a a a <+⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
922a ≤≤即或 。

-1a ≤922
a ≤≤
考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的关系。

21．【答案】
【解析】
【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l 的方程；（2）当弦AB 被点P 平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l 的方程；
【解答】解：（1）已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2=9的圆心为C （1，0），因为直线l 过点P ，C ，所以直线l 的斜率为2，所以直线l 的方程为y=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣2=0．（2）当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l
的方程为，即x+2y ﹣6=0．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．
∴
，则，∴．DE DC BC BA =BC AB
=2
4BC AB DE =⋅=2BC =∴在中，，∴，∴，
Rt ABC ∆1
2
BC AB =30BAC ∠=︒60BAD ∠=︒∴在中，，所以．
Rt ABD ∆30ABD ∠=︒1
22
AD AB ==24．【答案】
【解析】解：（1）∵函数是奇函数，则f （﹣x ）=﹣f （x ）
∴
，
∵a ≠0，∴﹣x+b=﹣x ﹣b ，∴b=0（3分）又函数f （x ）的图象经过点（1，3），∴f （1）=3，∴，∵b=0，
∴a=2（6分）（2）由（1）知（7分）当x ＞0时，，当且仅当
，
即
时取等号（10分）
当x ＜0时，，∴
当且仅当
，即
时取等号（13分）
综上可知函数f （x ）的值域为
（12分）
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．　。