2023甲卷数学压轴题

2023甲卷数学压轴题
2023甲卷数学压轴题
在数学这门学科中，随着时间的推移，更加注重培养学生的综合能力和创新思维。

针对这一趋势，2023年的甲卷数学压轴题要求学生灵活运用所学知识，解决实际问题，展现他们的数学思维和创造力。

一、选择题
1.设A、B为两个正数，它们的和等于25，且A、B的乘积最大。

请问A和B的值分别是多少？
A. 15和10
B. 12.5和12.5
C. 16和9
D. 20和5
2.某商场举行优惠活动，原价为200元的商品打9折出售，多购买10件商品再打8折，求购买10件商品的总价格。

3.求m的值，使得方程组
2x + y = 10
x + y = m
有无穷多组解。

二、填空题
1.已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，那么A∩B=______。

2. 设函数y=f(x)=ax²+bx+c，且f(x)经过点(1,3)，斜率为2。

则a+b+c = ______。

3.若函数f(x)=2x²-4x+k对称轴为直线x=2，则k=______。

三、解答题
1.解方程组：
x + y + z = 8
2x - 3y + z = 5
3x + 2y - z = 2
2.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，M为AB的中点，垂直于BC的直线与AB交于点D。

若BC=2a，求AD。

3.设数列{an}满足：a₁=1，aₙ₊₁=3aₙ+2，求a₃₀。

四、证明题
证明：对任意实数x，有x² ≥ 0。

解析：可以通过分情况讨论来证明该命题。

首先，当x=0时，显然有
x²=0，成立。

其次，当x>0时，由非负数的平方仍为非负数可知x²> 0，也成立。

最后，当x<0时，我们可以令y=-x，则y>0，此时有x² = (-
y)² = y² > 0，也成立。

因此，对任意实数x，都有x² ≥ 0。

五、应用题
某公司举行大型年会，共邀请了1000名客人参加。

经统计，参加年会
的客人中，男性与女性比例为3:2，而在女性中，每3人中有2人是中
年人，每5人中有1人是老年人。

求年会上，中年男性和老年女性的
人数各是多少？
在这个问题中，我们可以设中年男性的人数为3x，中年女性的人数为
2y，老年女性的人数为5z。

由题意可知，3x+2y+5z=1000。

根据比例和人数关系，可列出如下方程组：
男性人数：3x = (3/5) * 1000 = 600
女性人数：2y+5z = (2/3) * 400 = 266.67
老年女性人数：z = (1/5) * 266.67 = 53.33
因为人数应为整数，所以我们可以适当调整参数值，假设中年男性人
数为594人，中年女性人数为396人，老年女性人数为48人。

这样，
总人数为1000人，符合题意。

通过以上几个问题的设计，2023年甲卷数学的压轴题旨在检验学生的
数学分析和解题能力，同时培养学生的逻辑思维以及创新思考能力。

希望同学们能够在解题过程中，充分展现自己的才华和智慧，在数学的世界中展开属于自己的世界。