江苏初二初中数学月考试卷带答案解析

江苏初二初中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（）
2.下列说法中，正确的是（）
A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件
B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C．神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查
D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查
3.使有意义的x的取值范围是（）
A．x＞B．x＞-C．x≥D．x≥-
4.为了解某校初二年级400名学生的身高情况，从中抽取了50名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，样本是指（）
A．50名学生B．50名学生的身高
C．400名学生D．400名学生的身高
5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（）
A．AB=CD
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．AB=AC
D．当∠ABC=90°时，它是矩形
6.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
7.如图，O是矩形ABCD的对称中心，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的长为（）
A．1B．2C．3D．4
8.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（）
A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．9.6cm
9.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）
A．2B．2.4C．2.6D．3
10.如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD 边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（）
A．4次 B．3次 C．2次 D．1次
二、填空题
1.有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是．
2.已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为．
3.某市为了了解全市八年级学生的身高情况，从中抽取200名学生的身高进行统计，在这个问题中，总体
是，样本容量是．
4.▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则
AB= ．
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于．
6.如图，边长为6的正方形ABCD和边长为8的正方形BEFG排放在一起，O
1和O
2
分别是两个正方形的对称中
心，则阴影部分的面积为．
7.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（20，0），（0，8），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以10为腰长的等腰三角形时，点P的坐标
为 ． 8.如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y=-x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为 ．
三、计算题
计算：
（1）
（2）
四、解答题
1.如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是A （-3，2），B （0，4），C （0，
2）．
（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C 1，平移△ABC ，应点A 2的坐标为（0，-
4），画出平移后对应的△A 2B 2C 2；
（2）若将△A 1B 1C 1绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心的坐标．
2.已知：如图，E ，F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，连接DE ，DF ，BE ，BF ．四边形DEBF 为平行四边形．
求证：四边形ABCD 是平行四边形．
3.为了更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，江南晚报社设计了如下的调查问卷（单选）． 克服酒驾--你认为哪一种方式更好？
A ．司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督
B ．车上张贴“请勿酒驾”的提醒标志
C ．签订““永不酒驾”保证书
D ．希望交警加大检查力度
E ．查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任
在随机调查了本市全部3000名司机中的部分司机后，整理相关数据并制作了两个不完整的统计图：
根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中m= ； （2）该市支持选项D 的司机大约有多少人？
（3）若要从该市支持选项B 的司机中随机抽取90名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被抽中的概率是多少？
4.如图，在△ABC 中，AB=BC ，BD 平分∠ABC ．四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE ．
求证：四边形BECD 是矩形．
5.定义：如图①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且
S △ACD =S △BCD ．应用：如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF ，AF 与BE 交于点O ．
（1）求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；
（2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积．
6.如图①，在矩形 ABCD 中，AB=30cm ，BC=60cm ．点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 路线向点D 匀速运动，到达点D 后停止；点Q 从点D 出发，沿 D→C→B→A 路线向点A 匀速运动，到达点A 后停止．若点P 、Q 同时出发，在运动过程中，Q 点停留了1s ，图②是P 、Q 两点在折线AB-BC-CD 上相距的路程S （cm ）与时间t （s ）之间的函数关系图象．
（1）请解释图中点H 的实际意义？
（2）求P 、Q 两点的运动速度；
（3）将图②补充完整；
（4）当时间t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？请直接写出t 的值．
7.如图1，菱形ABCD 中，CH ⊥AB ，垂足为H ，交对角线AC 于M ，连接BM ，且
AH=3．
（1）求DM的长；
（2）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t的值，使∠MPB与∠BCD互为余角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
江苏初二初中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（）
【答案】B．
【解析】试题解析：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
故选B．
【考点】1.中心对称图形；2.轴对称图形．
2.下列说法中，正确的是（）
A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件
B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C．神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查
D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查
【答案】D．
【解析】试题解析：A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，故A选项错误；
B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故B选项错误；
C．神舟飞船发射前需要对零部件进行全面调查，故C选项错误；
D．解某种节能灯的使用寿命，具有破坏性适合抽样调查，故D选项正确．
故选D．
【考点】1.随机事件；2.全面调查与抽样调查；3.概率的意义．
3.使有意义的x的取值范围是（）
A．x＞B．x＞-C．x≥D．x≥-
【答案】C.
【解析】试题解析：根据题意得：3x-1≥0，解得x≥．
故选C.
【考点】二次根式有意义的条件．
4.为了解某校初二年级400名学生的身高情况，从中抽取了50名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，样本是指（）
A．50名学生B．50名学生的身高
C．400名学生D．400名学生的身高
【答案】B.
【解析】试题解析：为了解某校初二年级400名学生的身高情况，从中抽取了50名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，样本是指从中抽取的50名学生的身高，
故选B．
【考点】总体、个体、样本、样本容量．
5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（）
A．AB=CD
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．AB=AC
D．当∠ABC=90°时，它是矩形
【答案】C．
【解析】试题解析：A、平行四边形对边相等，故A正确；
B、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故正确；
C、无法得到AB="AC，故此选项错误，符合题意；"
D、有一个角是90°的平行四边形是矩形．故正确．
故选C．
【考点】平行四边形的性质．
6.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
【答案】D．
【解析】试题解析：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，
∴D选项说法正确．
故选D．
【考点】利用频率估计概率．
7.如图，O是矩形ABCD的对称中心，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的长为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C．
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴AC=BD=2OB=10，
∴AB=，
∴AB=6，
∵O是矩形ABCD的对称中心，M是AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD=3，
故选C．
【考点】矩形的性质．
8.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（）
A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．9.6cm
【答案】B．
【解析】试题解析：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=AC=4，OB=BD=3，AC⊥BD，
∴AB=，
∵菱形ABCD的面积=AB•DE=AC•BD=×8×6=24，
∴DE==4.8；
故选B．
【考点】菱形的性质．
9.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）
A．2B．2.4C．2.6D．3
【答案】B．
【解析】试题解析：连结AP，
在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CBA，
∴，
∴，
∴AP最短时，AP=4.8
∴当AM最短时，AM==2.4．
故选B．
【考点】1.直角三角形斜边上的中线；2.垂线段最短；3.相似三角形的判定与性质．
10.如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD 边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（）
A．4次 B．3次 C．2次 D．1次
【答案】B．
【解析】试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=12，AD∥BC，
∵四边形PDQB是平行四边形，
∴PD=BQ，
∵P的速度是1cm/秒，
∴两点运动的时间为12÷1=12s，
∴Q运动的路程为12×4=48cm，
∴在BC上运动的次数为48÷12=4次，
第一次：12-t=12-4t，
∴t=0，此时两点没有运动，
∴点Q以后在BC上的每次运动都会有PD=QB，
∴在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有3次
故选B．
【考点】平行四边形的判定与性质
二、填空题
1.有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是．
【答案】．
【解析】试题解析：∵正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆，
∴既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是：．
【考点】1.概率公式；2.轴对称图形；3.中心对称图形．
2.已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为．
【答案】24.
【解析】试题解析：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，
∴这个菱形的面积为6×8÷2=24
【考点】菱形的性质．
3.某市为了了解全市八年级学生的身高情况，从中抽取200名学生的身高进行统计，在这个问题中，总体
是，样本容量是．
【答案】全市八年级学生的身高，200.
【解析】试题解析：本题考查的对象是全市八年级学生的身高情况，故总体是全市八年级学生的身高，样本是所抽
取的200名学生的身高，故样本容量是200．
【考点】总体、个体、样本、样本容量．
4.▱ABCD 的周长是30，AC 、BD 相交于点O ，△OAB 的周长比△OBC 的周长大3，则AB= ． 【答案】9. 【解析】试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD ，BC=AD ，OA=OC ，OB=OD ；
又∵△OAB 的周长比△OBC 的周长大3，
∴AB+OA+OB-（BC+OB+OC ）=3 ∴AB-BC=3，
又∵▱ABCD 的周长是30，
∴AB+BC=15， ∴AB=9．
【考点】平行四边形的性质．
5.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于 ．
【答案】3.5.
【解析】试题解析：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ， ∴∠AOD=90°， ∵AB+BC+CD+DA=28， ∴AD=7， ∵H 为AD 边中点，
∴OH=AD=3.5.
【考点】1.菱形的性质；2.直角三角形斜边上的中线；3.三角形中位线定理．
6.如图，边长为6的正方形ABCD 和边长为8的正方形BEFG 排放在一起，O 1和O 2分别是两个正方形的对称中
心，则阴影部分的面积为 ．
【答案】12.
【解析】试题解析：∵O 1和O 2分别是这两个正方形的中心，
∴BO 1=×6=3，BO 2=×8=4，
∠O 1BC=∠O 2BC=45°，
∴∠O 1BO 2=∠O 1BC+∠O 2BC=90°，
∴阴影部分的面积=×3×4=12．
【考点】正方形的性质．
7.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（20，0），（0，8），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是以10为腰长的等腰三角形时，点P 的坐标
为．
【答案】（4，8）或（6，8）或（16，8）．
【解析】试题解析：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如图①所示，PD=OD=10，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=8．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=，
∴OE=OD-DE=10-6=4，
∴此时点P坐标为（4，8）；
（2）如图②所示，OP=OD=10．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE=
∴此时点P坐标为（6，8）；
（3）如图③所示，PD=OD=10，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=8．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE==6，
∴OE=OD+DE=10+6=16，
∴此时点P坐标为（16，8）．
综上所述，点P的坐标为：（4，8）或（6，8）或（16，8）．
【考点】1.勾股定理；2.坐标与图形性质；3.等腰三角形的判定；4.矩形的性质．
8.如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y=-x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那
么AD的长为．
【答案】．
【解析】试题解析：①先经过点D，即AB＞3，如图1：
设直线过点A时交x轴于点E，过点D交AB于点G，交x轴于点F，作DH⊥AB，
由图可知：OE=4，OF=7，DG=2，
∴EF=AG=OF-OE=3
∵直线y=-x
∴∠AGD=∠EFD=45°
∴△HGD是等腰直角三角形
∴DH=GH=DG=×2=2
∴AH=AG-GH=3-2=1
∴AD=
②先经过点B，即AB=3，如图2：
设直线过点A时交x轴于点I，过点B时交AD于点K、x轴于点J，过点D时，交AB延长线于点N、x轴于点M，并过K点作KL⊥AB，
由图可知：OI=4，OJ=7，KB=2，OM=8，
∴IJ=AB=3，IM=AN=4，
由直线y=-x，易得△KLB是等腰直角三角形，
∴KL=BL=KB=×2=2，
∴AL=1，
∴AK=，
∵△ABK∽△AND，
∴，
即，
即AD=．
【考点】动点问题的函数图象．
三、计算题
计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）-5.
【解析】（1）先进行二次根式的化简、绝对值的化简，然后合并；
（2）先进行二次根式的乘法运算，然后化简合并．
试题解析：(1)原式=
=；
（2）原式=
=-5.
【考点】二次根式的混合运算．
四、解答题
1.如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是A （-3，2），B （0，4），C （0，
2）．
（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C 1，平移△ABC ，应点A 2的坐标为（0，-
4），画出平移后对应的△A 2B 2C 2；
（2）若将△A 1B 1C 1绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）作图见解析；（2）（，-1）．
【解析】（1）根据性质的性质得到A 1（3，2）、C 1（0，2）、B 1（0，0），再描点；由于点A 2的坐标为（0，-
4），即把△ABC 向下平移6个单位，再向右平移3个单位得到△A 2B 2C 2，则B 2（3，-2）、C 2（3，-4），然后描点；
（2）观察图象得到将△A 1B 1C 1绕某一点旋转180°可以得到△A 2B 2C 2，然后连结对应点可确定旋转中心的坐标． 试题解析：（1）如图所示：A 1（3，2）、C 1（0，2）、B 1（0，0）；B 2（3，-2）、C 2（3，-
4）．
（2）将△A 1B 1C 1绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，旋转中心的P 点坐标为（，-1）．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
2.已知：如图，E ，F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，连接DE ，DF ，BE ，BF ．四边形DEBF 为平行四边形．
求证：四边形ABCD 是平行四边形．
【答案】证明见解析.
【解析】由“平行四边形的对角线相互平分”推知OD=OB ，OE=OF ；然后结合已知条件推知四边形ABCD 的对角
线互相平分，则易证得结论．
试题解析：如图，连结BD交AC于点O．
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴OD=OB，OE=OF，
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
∴AE+OE=CF+OF，即OA="OC"
∴四边形ABCD是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质．
3.为了更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，江南晚报社设计了如下的调查问卷（单选）．
克服酒驾--你认为哪一种方式更好？
A．司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督
B．车上张贴“请勿酒驾”的提醒标志
C．签订““永不酒驾”保证书
D．希望交警加大检查力度
E．查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任
在随机调查了本市全部3000名司机中的部分司机后，整理相关数据并制作了两个不完整的统计图：
根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中m= ；
（2）该市支持选项D的司机大约有多少人？
（3）若要从该市支持选项B的司机中随机抽取90名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被抽中的概率是多少？
【答案】（1）12.（2）180；（3）．
【解析】（1）由选择方式B的有81人，占总数的27%，即可求得总人数，利用总人数减去其它各组的人数即可求得选择方式D的人数，作出直方图，然后根据百分比的意义求得m的值；
（2）利用总人数3000乘以对应的百分比即可求得；
（3）先求出该市支持选项B的司机人数，再利用概率公式即可求解．
试题解析：（1）调查的总人数是：81÷27%=300（人），
则选择D方式的人数300-75-81-90-36=18（人），
m=×100=12．
补全条形统计图如下：
（2）该市支持选项D的司机大约有：×3000=180（人）；
（3）该市支持选项B的司机共有×3000=810（人），
则支持该选项的司机小李被抽中的概率P==．
【考点】1.条形统计图；2.扇形统计图；3.概率公式．
4.如图，在△ABC 中，AB=BC ，BD 平分∠ABC ．四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE ．
求证：四边形BECD 是矩形．
【答案】证明见解析.
【解析】根据已知条件易推知四边形BECD 是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD ⊥AC ，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD 是矩形．
试题解析：∵AB="BC ，BD 平分∠ABC ，"
∴BD ⊥AC ，AD="CD ．" ∵四边形ABED 是平行四边形， ∴BE ∥AD ，BE=AD ， ∴BE="CD ，" ∴四边形BECD 是平行四边形． ∵BD ⊥AC ， ∴∠BDC="90°，" ∴▱BECD 是矩形．
【考点】矩形的判定．
5.定义：如图①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且
S △ACD =S △BCD ．应用：如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF ，AF 与BE 交于点O ．
（1）求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；
（2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）12.
【解析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB ，即可证得△AOE 和△AOB 是友好三角形；
（2）△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，即可得到E 是AD 的中点，则可以求得△ABE 、△ABF 的面积，根据S 四
边形CDOF
=S 矩形ABCD -2S △ABF 即可求解． 试题解析：（1）连接EF ，
∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∵AE=BF ， ∴四边形ABFE 是平行四边形， ∴OE=OB ， ∴△AOE 和△AOB 是友好三角形．
（2）∵△AOE 和△DOE 是友好三角形，
∴S △AOE =S △DOE ，AE=ED=AD=3，
∵△AOB 与△AOE 是友好三角形， ∴S △AOB =S △AOE ，
∵△AOE ≌△FOB ， ∴S △AOE =S △FOB ，
∴S △AOD =S △ABF ，
∴S 四边形CDOF =S 矩形ABCD -2S △ABF =4×6-2××4×3=12．
【考点】1.矩形的性质；2.三角形的面积．
6.如图①，在矩形 ABCD 中，AB=30cm ，BC=60cm ．点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 路线向点D 匀速运动，到达点D 后停止；点Q 从点D 出发，沿 D→C→B→A 路线向点A 匀速运动，到达点A 后停止．若点P 、Q 同时出发，在运动过程中，Q 点停留了1s ，图②是P 、Q 两点在折线AB-BC-CD 上相距的路程S （cm ）与时间t （s ）之间的函数关系图象．
（1）请解释图中点H 的实际意义？
（2）求P 、Q 两点的运动速度；
（3）将图②补充完整；
（4）当时间t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？请直接写出t 的值．
【答案】（1）图中点H 的实际意义：P 、Q 两点相遇；(2) P 点速度为30cm/s ，Q 点速度为15cm/s ；(3)补图见解析；（4）t=或t=5或t=8秒时，△PCQ 为等腰三角形．
【解析】（1）根据P 、Q 两点在折线AB-BC-CD 上相距的路程S （cm ）与时间t （s ）之间的函数关系图象得出H 点时两点相遇；
（2）利用函数图象得出当两点在F 点到G 点两点路程随时间变化减慢得出此时Q 点停留，只有P 点运动，再利用纵坐标的值得出P 点和Q 点运动速度；
（3）根据4秒后，P 点到达D 点，只有Q 点运动，根据运动速度为15cm/s ，还需要运动120-45=75（cm ），则运动时间为：75÷15=5（s ），进而画出图象即可；
（4）根据Q ，P 的位置不同，进行分类讨论得出答案即可．
试题解析：（1）图中点H 的实际意义：P 、Q 两点相遇；
（2）由函数图象得出，当两点在F 点到G 点两点路程随时间变化减慢得出此时Q 点停留1秒，只有P 点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，
故P 点运动速度为：30cm/s ，再根据E 点到F 点S 的值由120变为75，根据P 点速度，得出Q 点速度为120-75-30=15（cm/s ），
即P 点速度为30cm/s ，Q 点速度为15cm/s ；
（3）如图所示：根据4秒后，P 点到达D 点，只有Q 点运动，根据运动速度为15cm/s ，
还需要运动120-45=75（cm ），则运动时间为：75÷15=5（s ），画出图象即可；
（4）如图1所示，
当QP=PC ，此时QC=BP ，即30-30t=（30-15t ），
解得：t=，
故当时间t=
时，△PCQ 为等腰三角形， 如图2所示，
当D ，P 重合，QD=QC 时，
Q 为AB 中点，则运动时间为：（15+60+30）÷15+1=8（s ），
故当时间t=8s时，△PCQ为等腰三角形．
若PC=CQ
故90-30t=30-15t
解得：t=4
则4+1=5（S）
综上所述：t=或t=5或t=8秒时，△PCQ为等腰三角形．
【考点】动点问题的函数图象．
7.如图1，菱形ABCD中，CH⊥AB，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且
AH=3．
（1）求DM的长；
（2）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t的值，使∠MPB与∠BCD互为余角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）DM=（2）S=-t+或S=t-.（3）存在，1.
【解析】（1）由菱形的性质得到条件，判断出△AMH∽△CDM，由勾股定理计算出DH，即可；
（2）由△BCM≌△DCM计算出BM="DM，分两种情况计算即可；"
（3）由菱形的性质判断出△ADM≌△ABM，再判断出△BMP是等腰三角形，即可．
试题解析：（1）在Rt△ADH中，AD="5，AH=3，"
∴DH="4，"
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，
∴∠BAC="∠DCA，"
DH⊥AB，
∴△AMH∽△CDM，
∴
∴
∵DH=4，
∴DM=
（2）在△BCM和△DCM中，
∴△BCM≌△DCM，
∴BM=DM=，∠CDM=∠CBM=90°
①当P在AB之间时，S=（5-2t）×=-t+．
②当P在BC之间时，S=（2t-5）×=t-.
（3）存在，
∵∠ADM+∠BAD=90°，∠BCD=∠BAD，
∴∠ADM+∠BCD=90°，
∵∠MPB+∠BCD=90°，
∴∠MPB=∠ADM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAM=∠BAM，
∵AM=AM，
∴△ADM≌△ABM，
∴∠ADM=∠ABM，
∴∠MPB=∠ABM，
∵MH⊥AB，
∴PH=BH=，
∴BP=2BH=3，
∵AB=5，
∴AP=2，
∴t==1．
【考点】四边形综合题．。