1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件(1)

证明：(1)易知AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
设PA＝AB＝BC＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1)．
因为∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，所以
证：易知AB, AD, AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
设PA AB BC 1，则A(0,0,0), B(1,0,0), P(0,0,1).
CM AB, ( 1) (1) ( 2) 1 4 0 0
1
1 1
解得 ，
M ( , ,1)
2
2 2
4、已知AB (1,5,2), BC (3,1, z )，若 AB BC, BP ( x 1, y,3)
且BP 平面ABC, 则实数x, y, z分别为（）
n1=(2a,-b,b).
1 = -1 .
设平面 PDC 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2),
2 + 2 -2 = 0,
2 · = 0,
则
即
2 -2 = 0,
2 · = 0,
2 = 0,
∴ = .令 z2=1,则 n2=(0,1,1).
2
2
∵n1·n2=0-b+b=0,∴n1⊥n2,

即
BP BC 0, 3( x y ) y (3) 4 0
40
15
解得x , y , z 4
7
7
例1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是
PC的中点．
求证：(1)AE⊥CD；
用向量研究直线、平面的位置关系
第二课时
位置关系
线线平行
向量表示
设1，2分别是直线l1 , l2的方向向量，则
l1 ∥ l2 1 ∥ 2 R, 使1 2
线面平行
设u是直线 l的方向向量， n是平面 的法向量， l
则l ∥ u n u n 0
1、× 2、√
3、×
4、√
5、√
6、√
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量
为μ＝(－2,0，－4)，则(
)
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α斜交
答案：B
3．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，
若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为
________．
设M（x, y, z ), AB (1,1,0), AM ( x, y, z 1),由题意知，
AM AB, ( x, y, z 1) (1,1,0),
x , y , z 1, 则M ( , ,1)
CM ( 1, 2,4)
变式训练 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:
(1)AD1∥平面BDC1; (2)A1C⊥平面BDC1.
证明:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为1,则有
D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),
面面垂直
l u ∥ n R, 使得u n
设平面，的法向量分别为n1 , n2 , 则
n1 n2 n1 n2 0
自我检测
1.若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂
直相交．
2．若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内
的所有直线的方向向量的数量积为0.
设直线l1 , l2的方向向量分别为1，2，则l1 l2 1 2 1 2 0
直线与平面的垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行
设直线l的方向向量为u，平面的法向量n，则
l u ∥ n R, 使得u n
平面与平面的垂直，就是两平面的法向量垂直
7 15
A. , ,4
33 7
40 15
B. , ,4
7
7
40
C. ,2,4
7
40
D.4, ,15
7
解 : AB BC, AB BC 0,即
1 3 5 1 (2) z 0, z 4. BC (3,1,4)
BP 平面ABC,
BP AB 0, ( x y ) 1 5 y (2) (3) 0
· = 0,
- + 2 + 3 = 0,
即
-2 + = 0.
令 x=1,得 y=2,z=- 3,故 n=(1,2,- 3)为平面 A1BD 的一个法向量.
因为1 =(1,2,- 3),所以1 ∥n,
所以 AB1⊥平面 A1BD.
例2.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有侧棱长及底面边长都为
面面平行
设n1 , n2分别是平面，的法向量，则 ∥ n1 ∥ n2
R, 使n1 n2
思考：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线
与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系中，直线的
方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
一般地，直线与直线垂直，就是直线的两方向向量垂直；
3．两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与
另一平面内的直线的方向向量垂直．

4．若点A，B是平面α上的任意两点，n 是平面α的法向量，

则 AB n 0
5．若向量 n1 , n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方
向向量的两条不重合直线一定平行．
6．一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
又 MN⊄平面 PAD,∴MN∥平面 PAD.
例3.如图所示,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩
形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.
求证:(1)MN∥平面PAD;
(2)平面PMC⊥平面PDC.

(2)由(1)知,P(0,0,a),C(b,a,0),M 2 ,0,0 ,D(0,a,0),
C1(0,1,1),1 =(-1,0,1),1 =(-1,1,-1),
=(1,1,0),1 =(0,1,1).
设 n=(x,y,z)为平面 BDC1 的法向量,
则 n⊥,n⊥1 .
(,,)·(1,1,0) = 0,
+ = 0,
∴
∴
+ = 0,
(,,)·(0,1,1) = 0,
1 3
因为ABC 60 , 所以△ABC为正三角形，所以，C ( ,
,0)
2 2
1 3 1
E( ,
, ), 设D（0，y0 ,0),由AC CD,
4 4 2
2 3
得 AC CD 0，则y0
3
2 3
1 3
1 3 1
所以D(0,
,0), 所以CD ( ,
,0),由AE ( ,
, )
3
2 6
4 4 2
0
所以AE CD 0, 所以AE CD
证:如图,取BC,B1C1的中点O,O1,连接AO,OO1.
因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,O,O1都为中点,所以OB⊥OO1.
又平面ABC⊥平面BCC1B1,
所以AO⊥平面BCC1B1,所以AO⊥OO1.
设平面，的法向量分别为n1 , n2 , 则
n1 n2 n1 n2 0
归纳
பைடு நூலகம்位置关系
线线垂直
向量表示
设直线l1 , l2的方向向量分别为1，2，
则l1 l2 1 2 1 2 0
线面垂直
设直线l的方向向量为u，平面的法向量n，则
∴平面 PMC⊥平面 PDC.
方法技巧利用空间向量证明垂直关系的方法
(1)证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直.
(2)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量
平行;②转化为线线垂直问题.
(3)证明面面垂直的方法:①证明两个平面的法向量互相垂直;②
转化为线面垂直、线线垂直问题.
∴M

,0,0
2

, ,
2 2 2

0, 2 , 2 .
∴ =
,N
,
(方法 1)=(0,0,a),=(0,a,0),
1
1
∴ = 2 + 2 .
又∵MN⊄平面 PAD,∴MN∥平面 PAD.
(方法 2)由题意知为平面 PAD 的一个法向量.
∵=(b,0,0),∴ ·=0,∴ ⊥ .
2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
证明:(1)如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴
建立空间直角坐标系A-xyz.
设PA=AD=a,AB=b,
则有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).
∵M,N分别为AB,PC的中点,

∴=(b,a,-a), = 2 ,0,- , =(0,a,-a).
设平面 PMC 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1),
1 + 1 -1 = 0,
1 · = 0,
则
即
1 -1 = 0,
1 · = 0,
∴
1 =
2
2
,
1 令 z1=b,则
如图所示,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 B(1,0,0),D(-1,1,0),
A1(0,2, 3),A(0,0, 3),B1(1,2,0),所以1 =(-1,2, 3),=(-2,1,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
·1 = 0,
则 n⊥1 ,n⊥,所以