高中数学 《第二章平面向量》章末质量评估 苏教版必修

章末质量评估(二)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．在平行四边形中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →
等于________． 解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →
＝0. 答案 0
2．在平行四边形ABCD 中，已知AC →＝(－4,2)，BD →＝(2，－6)，则2AB →＋AD →
＝________. 解析 由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
AB →＋AD →＝AC →＝－4，2
AD →－AB →＝BD →＝2，－6，相加得2AD →＝(－2，－4)，∴AD →
＝(－
1，－2)；相减得2AB →
＝(－6,8)，
∴2AB →＋AD →
＝(－6,8)＋(－1，－2)＝(－7,6)． 答案 (－7,6)
3．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝________.
解析 由力的平衡原理知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0， ∴f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)． 答案 (1,2)
4．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，∴α2
－2α·β＝0. 又∵|α|＝1，∴α·β＝1
2，又∵|β|＝2，∴|2α＋β|＝
2α＋β
2
＝
4α2
＋4α·β＋β2
＝ 4＋4×1
2
＋4＝10.
答案
10
5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，则(a ·b )(a ＋b )＝________. 解析 a ·b ＝－3＋8＝5，a ＋b ＝(－2,6) ∴(a ·b )(a ＋b )＝(－10,30)． 答案 (－10,30)
6．已知a ＝(－2,5)，|b |＝2|a |，若b 与a 反向，则b ＝________. 解析 b ＝－2a ＝(4，－10)．
答案 (4，－10)
7．等边△ABC 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →
＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 解析 由已知|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝cos 120°＋cos 120°＋cos 120°＝－3
2
.
答案 －3
2
8．直线l 平行于向量a ＝(2,3)，则直线l 的斜率为________． 答案 32
9．下列说法中错误的是________．(请写出所有错误说法的序号) ①a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②(a ·b )c ＝a (b ·c )； ③p 2
·q 2
＝(p ·q )2
.
解析 ∵a ⊥b 时，a ·b ＝0，∴当a ·b ＝0时不能得出a ＝0或b ＝0；∴①是错误的．∵
a ·
b 是数量，所以(a ·b )
c 为一个向量，并且此向量与c 共线；虽然a (b ·c )也是一个向量，
但它与a 共线；∴(a ·b )c 不一定与a (b ·c )相等；∴②是错误的．∵p 2
·q 2
＝|p |2
·|q |2
，(p ·q )2
＝|p 2
||q |2
cos 2
θ(θ为p 与q 的夹角)；∴当且仅当p ∥q 时，p 2
·q 2
＝(p ·q )2
才成立；∴③是错误的．∴本题三种说法均不正确．
答案 ①②③
10．已知在平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →
|
|BC →|＝________.
解析 由题意得，3OB →＝OA →＋2OC →，OB →＝13OA →＋23OC →，所以OA →＋AB →＝OB →＝13OA →＋23OC →
.
所以AB →＝23(OC →－OA →)＝23AC →
，
所以AB →与AC →共线，所以|AB →||BC →|＝21＝2.
答案 2
11．已知|p |＝22，|q |＝3，p 、q 夹角为π
4，则以a ＝5p ＋2p ，b ＝p －3q 为邻边的平
行四边形的一条对角线长为________．
解析 a ＋b ＝6p －q ，对角线长为|a ＋b |＝
|6p |2＋|q |2
－2|6p |·|q |cos π4
＝288＋9－72＝225＝15. 答案 15
12．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2
＋|b |2
＋|c |2
的值是________．
解析 由a ⊥b ，得a ·b ＝0.由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－(a ＋b )．又(a －b )⊥c ，∴(a －
b )·
c ＝0，(a －b )·(a ＋b )＝0，∴a 2－b 2＝0，|a |＝|b |＝1，∴|c |2＝[－(a ＋b )]2＝|a |2
＋|b |2
＋2a ·b ＝2，∴|a |2
＋|b |2
＋|c |2
＝1＋1＋2＝4.
答案 4
13．(2011·辽宁卷改编)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________．
解析 由(a －c )(b －c )≤0，a ·b ＝0得： －a ·c －b ·c ＋c 2
≤0，即a ·c ＋b ·c ≥c 2
＝1 ∴|a ＋b －c |2
＝1＋1＋1－2(a ·c ＋b ·c )≤1 ∴|a ＋b －c |≤1 答案 1
14．以原点O 和A (4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠OBA ＝90°，则点B 的坐标为________．
解析 设B (x ，y )则OB →＝(x ，y )，AB →
＝(x －4，y －2)． ∵∠OBA ＝90°， 即OB →⊥AB →，OB →·AB →
＝0 ∴x (x －4)＋y (y －2)＝0即x 2
＋y 2
－4x －2y ＝0①
设OA 的中点为C ，则点C (2,1)，OC →＝(2,1)，CB →
＝(x －2，y －1)在等腰直角△AOB 中，OC →⊥BC →
∴2(x －2)＋y －1＝0即2x ＋y －5＝0②
解①②得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1
y ＝3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
y ＝－1 ∴B 点坐标为(1,3)或(3，－1)
答案 (1,3)或(3，－1)
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(本小题满分14分)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，
B (2,3)，
C (－2，－1)．
(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →
＝0，求t 的值．
解 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →
＝(－1,1)， 则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →
＝(4,4)， 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →
|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为210，4 2.
(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →
＝(3＋2t,5＋t )．
由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－1115.
16．(本小题满分14分)已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a －b )⊥c ；
(2)若|k a ＋b ＋c |>1(k ∈R )，求k 的取值范围．
(1)证明 因为(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝1×1×cos 120°－1×cos 120°＝0，所以(a －b )⊥c .
(2)解 |k a ＋b ＋c |>1⇔|k a ＋b ＋c |2
>1⇔k 2a 2
＋b 2
＋c 2
＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b ·c >1， 因为a 、b 、c 的模均为1，且相互之间的夹角均为120°， 所以a 2＝b 2＝c 2
＝1，a ·b ＝b ·c ＝a ·c ＝－12，
从而有k 2
＋1－2k >1，即k 2
－2k >0，所以k <0或k >2.
17．(本小题满分14分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，
(1)c ∥d ；(2)c ⊥d .
解 由题意得a·b ＝|a||b |cos 60°＝2×3×1
2＝3.
(1)当c∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝9
5
.
(2)当c⊥d 时，c·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. ∴15a 2＋3k b 2
＋(9＋5k )a·b ＝0，∴k ＝－2914
.
18．(本小题满分16分)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →
＝(5－m ，－(3＋m ))． (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．
解 (1)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →
＝(5－m ，－(3＋m ))．
若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，∵AB →＝(3,1)，AC →
＝(2－m,1－m )，故知3(1－m )≠2－m ，∴实数m ≠1
2
时，满足条件．
(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →
，∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74
. 19．(本小题满分16分)已知线段PQ 过△OAB 的重心G ，且P 、Q 分别在OA 、OB 上，设OA →
＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →
＝n b .
求证：1m ＋1
n
＝3.
证明
如右图所示，
∵OD →＝12(OA →＋OB →)＝1
2(a ＋b )，
∴OG →＝23OD →＝1
3
(a ＋b )．
∴PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .
PQ →
＝OQ →－OP →
＝n b －m a .
又P 、G 、Q 三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG →＝λPQ →
.
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋1
3
b ＝λn b －λm a ，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＋λm a ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－λn b ＝0. ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧
1
3－m ＋λm ＝0， ①
1
3－λn ＝0， ②
由①②消去λ得：1m ＋1
n
＝3.
20．已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 满足PM →·PN →－MP →·MN →＝NM →·NP →－PM →·PN →
<0. (1)点P 的轨迹是什么曲线？
(2)若点P 坐标为(x 0，y 0)，θ为PM →与PN →
的夹角，求tan θ的值． 解 (1)设P (x ，y )，M (－1,0)，N (1,0)，
∴PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )，PN →＝－NP →
＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)，∴MP →·MN →
＝2(1＋x )， PM →
·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →
＝2(1－x )，
依题意得
⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2＋y 2－1＝12[21＋x ＋21－x ]，21－x －21＋x <0，
∴x 2
＋y 2
＝3(x >0)，
所以点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆． (2)PM →·PN →＝x 20＋y 2
0－1＝2， |PM →||PN →|＝
1＋x 0
2
＋y 2
0·
()1－x 02＋y 20＝
24－x 2
0，∴cos θ＝
PM →·PN
→
|PM →||PN →|
＝14－x 2
0， ∴sin θ＝1－cos 2
θ＝
3－x 2
4－x 20
， ∴tan θ＝sin θcos θ＝3－x 2
0＝|y0|.。