内蒙古赤峰二中高中数学2.5等比数列的前n项与(1)教案新人教B版必修5

等比数列的前n 项和（1）
教学目标
1．把握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路．
2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题. 教学重点 1. 等比数列的前n 项和公式； 2. 等比数列的前n 项和公式推导. 教学难点 灵活应用公式解决有关问题. 教学方式 启发引导式教学法
教学进程 (I)温习回忆 (1) 概念： (2) 等比数列通项公式： (3) 等差数列前n 项和的推导思想： (4) 在等比数列
{}n
a 中，公比为q ，那么1
k
k a q a
+-=
II ）探讨与研究：你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗？
一．等比数列求和公式 1．公式推导 已知等比数列{}n
a ，公比为q ，求前n 项和n n
a a a S
+++= 21。

分析：先用
q n a ,,1表示各项，每项的结构有何特点和联系？如何化简与求和？
2．公式与公式说明
1(1)(1)
1n n a q S q q -=≠-
（1）公式推导方式：错位相减法 特点：在等式两头同时乘以公比q 后两式相减。

（2）
1=q 时，)1(1==q na S n
（3）另一种表示形式
q q a a S n n --=
11
总结：
⎪⎩⎪
⎨⎧=≠--=)1()1(1)
1(11q na q q
q a S n n 或 ⎪⎩⎪
⎨⎧=≠--=)1()1(11
1q na q q
q
a a S n n
注意：每一种形式都要区别公比
1≠q 和1=q 两种情形。

二．例题讲解
例1．讲义63页例1
例2．某商场第1年销售运算机5000台，若是平均每一年的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使总销量达到30000台（保留到个位）？
例3．求等比数列
,83,43,23从第7项到第15项的和。

例4．已知等比数列
{}n
a 中，661=+n a a ，12812=-n a a ，126=n S ，求公
比q 与项数
n 。

例5 在等比数列{}n a 中，n S 表示前n 项和，假设3221a S =+，4321a S =+，求公比
q 。

例6等比数列
{}n a 的前n 项和
21
n n S =-，求
22
12n
n
a a a +++的值。

三．小结 四．作业
A 1 P69 页 2，3 2. 求数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1
1242
n -+++
+，…的前n 项和。

B P70 页 2
【探讨】是不是存在常数K 和等差数列{}n
a ，使2
211n n n ka S S +-=-，其中
21
,n n S S +是等差数列
{}
n
a 的前2n 和前n+1项和，假设存在，求常数K ，假设不存在，
请说明理由？
等比数列的前n 项和
教学目标
1．进一步把握等比数列的前n 项和公式。

2．会用等比数列的前n 项和公式及通项公式解决求大体元素
n n S a n q a ,,,,1的有关问
题。

教学重点： 等比数列的通项公式及前n 项和公式的灵活应用。

教学难点
灵活应用公式解决有关问题. 教学方式： 启发引导式教学法 教学进程 I ．设置情境
1．等比数列的通项公式是 。

2．等比数列的前n 项和公式的两种形式别离是 和 。

II ．探讨与研究
例1．在等比数列{}n
a 中，已知510=S ，1520=S ，求
30S 。

例2．设等比数列
{}n
a 的前n 项和a S n
n +=3，求常数a 的值。

例3．已知等比数列
{}n
a 中，1691-=a ，916
-
=n a ，144781-=n S ，求公比q
与项数n 。

例4．设等比数列的首项为)0(>a a ，公比为)0(>q q ，前n 项和为80，其
中最大的一项为54，又它的前
n 2项和为6560，求a 和q 。

例5．求
n
n nx
x x S +++= 2
2
例6．求数列1，1＋3，1＋3＋9，…，
1
1393
n -+++
+，…的前n 项和。

三小结
．在等比数列{}
n
a
中1030
140
S S
+=
，
3010
13
S S
=
，求
20
S
2．在等比数列{}
n
a
中，
1
4,
a=5
q=
，求使
7
25
n
S>
最小的n的值。

B．3．求和：
+
+
+
+)
1
(
)
1
(
2
2
y
x
y
x)1
,1
,0
)(
1
(≠
≠
≠
+
+y
x
x
y
x
n
n
【探讨】设数列{}
n
a
中121
,,
a a a
-
321
,,,
n n
a a a a
-
--
是首项为1，公比
为1
3的等比数列，求：
（1）{}
n
a
的通项公式。

（2）{}
n
a
的前n项和
n
S。

数列综合应用1:
―――――――――数列求和
教学目的:使学生在明白得等差,等比数列的前n 项和公式的基础上,加深对数列的前n 项和熟悉.能利用等差,等比数列的前n 项和公式解决一些特殊数列的求和问题
（1）明白得拆项求和、错位相减法求数列的和。

（2）能求循环数列的和。

（3）裂项求和。

教学方式
启发式教学法，讲练相结合
一．知识回忆
1.等差数列的前n 项和公式：
2.等差数列的前n 项和公式：
3.数列2,5,8,11, (31)
n-
的前n 项和为:
4.数列3,9,27,81…3n
的前n项和为:
二例题分析
例1.求数列4,12,32 (321)
n n
+-
的前n 项和
练习: 求数列
1
{2()}
3
n n n
++
的前n 项和
归纳方式:拆项求和:若是一个数列的通项公式能够拆成几个等差或等比数列,那么利用拆项组合的方式,借助等差或等比数列前n项和公式求和.
例2.求数列4,20,64, …(31)2n
n-
的前n 项和
例3.求数列a
,
5a
,
2
9a
…
(43)n
n a
-(0)
a≠
的前n项和
归纳:错位相减法: 若是一个数列的通项公式能够写成一个等差数列与一个等比数列的积,那么利用错位相减法能够求和.
例4.求数列9,99,999,…999…9的前n 项和
【变式】.求数列6,66,666,…666…66的前n 项和
归纳:循环数列问题以9,99,999,…999…9为基础,进行求和.
例5.求数列
111
,,,
122334
⨯⨯⨯…
1
(1)
n n+
前n 项和
【变式】求数列111,,,
133557
⨯⨯⨯1
(21)(21)n n -+前n 项和
归纳:裂项求和:若是数列的通项公式能够写成一个等差数列的持续两项的积,那么能够通过运算割裂成两个数列的差,即:1
n n n a b b -=-,那么能够求和.
三小结 四作业
A ．1求以下数列的前n 项和
(1)
1{(2)3()}
2n
n
n +++ (2)9,36,135 …
(2)3n
n +
(3)5,55,555, 555 (5)
2求数列111
,,
2558811⨯⨯⨯…
1
(31)(32)n n -+的前n 项和
B ．求数列. 11,,
13135
+++1
135(21)n ++++的前n 项和
【探讨】
数列
{}n
a 的前n 项和
n
S 知足
23n n S a n
=-
（1）求数列
{}
n
a 的递推公式
（2）求数列
{}
n a 的通项公式
（1） 求数列{}
n
a 的前n 项和公式
数列专题2:数列应用2
教学目的:使学生在明白得等差,等比数列的前n 项和公式的基础上,加深对数列的前n 项和熟悉.能利用等差,等比数列的前n 项和公式解决一些特殊数列的求和问题
教学重点:（1）明白得循环数列求和、裂项求和。

教学方式启发式教学法，讲练相结合
一知识回忆
1说出以下数列的求和方式:
1)
1
2
{473()}
3
n n
n
-+-+
2)
2
(43)n
n a-
+
,
a≠
3)3,33,333,333…33 4)
3
{} (41)(43)
n n
-+
二.问题推行
1求数列99,9999,999999,…
99
9999
n个
的前n 项和
【变式】求数列 23，2323，232323，…
23 2323
n个
的前n 项和
2
求数列
1
的前n 项和
3.求数列
1
{} (1)(2)
n n n
++
的前n 项和
4.求数列111
,,,
112123
+++
1
123n
+++的前n 项和.
三应用
1. 某企业在减员增效中对部份人员实行分流,规定分流人员在第一年能够到原单位领取工
资的百分之百,从第二年起以后每一年只能在原单位按上一年的3
2
领取工资,该企业
打算开办新的实体, 该实体估量第一年属于投资时期,每有利润,第二年每人可收入b 元, 从第三年起每人的收入在上一年的基础上递增50%,若是某人在分流前的工资为a
元,分流后的总收入为
n
a
元,(1)求
n
a
.(2)当
27
8a
b=
时,这人哪一年的收入最少?
最少收入是多少?
2．讲义76页 13
3．讲义77页 5
二小结
三．作业
A 1讲义69页 5
2讲义76页 10
B3讲义P77页 4
4. 求
1
{} (31)(32)(35)
n n n
-++
的
【探讨】
数列{a n}知足a1=29,且a n+1-a n=2n-1, (1) 求数列{a n}的通项公式
(2) 设
28
2
2
n
n
n
a
b
n
-
=+
，求数列{b n}的前n 项和
数列综合应用3
----------------------数列应用题
教学目标：
1．通过对实际问题的分析，明白得等差数列、等比数列知识在现实生活、生产中的应用。

2．了解存款、贷款、投资等问题的数学原理。

教学重点：
等差数列、等比数列知识在现实生活、生产中的应用。

教学进程：
一问题提出与解决
随着人们生活水平的提高，咱们与银行的关系愈来愈紧密，你明白在银行存款时，银行是如何计算利息的吗？（不考虑利息税）
【单利】单利的计算是仅在原有的本金上计算利息，对本金所产生的利息再也不计算利息。

其公式为：利息＝本金×利率×存期
【本息和】S=本金＋利息
【复利】把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时，每一期的本金数量不同。

【零存整取问题】每一个月按时存入一笔相同数量的现金，这是零存；到约定日期，能够掏出全数本利，这是整取，规定每次存入的钱不计复利。

（不考虑利息税）
1．某人到银行办理零存整取业务：
（1）假设每一个月存入x元，月利率为r维持不变，存期为n个月，推导出整取时的本利和公式。

（2）假设每一个月初存入500元，月利率为％，到第36个月末整取时的本利和为多少？
【按期自动转存问题】
2．某人存入按期为1年的P元存款，按期年利率为r，连存n年后再掏出本利和，求n年后的本利和公式。

【分期付款问题】
3某人买一套价值20万元的商品房,首期付5万元.其余部份向银行贷款,5年还清,每一个月从工资里还相同的款额,在贷款后的第一个月即还第一笔款额.又银行的贷款月利息为5.0
%
,问每一个月应还多少元?
4. 某公司实行股分制，一投资人年初入股a万元，年利率为 25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每一年年初要从公司掏出x万元.
(1)别离写出第一年年末，第二年年末，第三年年末此投资人在该公司中的资产本利和；
(2)写出第n年年末此投资人的本利之和b n与n的关系式（没必要证明）；
(3)为实现第20年年末此投资人的本利和关于原始投资a万元恰好翻两番的目标，假设a=395，那么x的值应为多少？（在计算中可利用lg2=）
5.容器A中有12%的食盐水300克, 容器B中有6%的食盐水300克.现约定完成以下工作程序为进行一次操作:从A、B两个容器中同时各取100克溶液,然后将A掏出的溶液注入B中. 将B掏出的溶液注入A中,问:
(1) 通过n次操作后,设A、B中的食盐含量为
%
%,
n
n
b
a
,求证:
n
n
b
a
为常数.
(2)别离求
n
n
b
a,
的通项公式.
二．小结
三．作业
A. P76页 6 7
B. P76页 8 C．P70页 5
讲义77页 5。