2020春线性代数离线作业-

厦门大学网络教育2019-2020学年第二学期
《线性代数》课程期离线作业
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一．选择题（共10小题，每题3分）
1. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 则|A 3-5A 2+7A |的值为（ D ）。

A ． 3； B. 6； C. 9； D. 18。

2. 设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B =（ A ）
A ． 033123110⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭； B.
033123110⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; C. 033123-110⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
; D. 033123-110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
3. 已知A 是四阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，若A *的特征值是1，-1,2,4，那么不可逆矩阵是（C ）。

A ．
A-E ； B ．2A-E ； C ．A+2E ； D ．A-4E ；
4. 若A ，A *和B 均为n 阶非零矩阵，且AB=O 则必有r(B)=（ A ）。

A ．1；
B ．2；
C ．n-1；
D ．不确定； 5. 设A 为3阶矩阵， |(2A )-1-5A *|=-16，则||A =（ B ）。

A ． 1； B. 1/2； C. 0; D.-1
6. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=150421321B , 则A T B 的值为（ ）。

A ． 0-58056290⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭； B.
0-58056290⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
; C. 058056290⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
; D. 0-58056-290⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
7. 设三阶矩阵)(321ααα=A ，)2(21βαα=B ，其中βααα,,,321均为三维列向量，且2=A ，1=B ，则B A +=（ ）。

A ．5； B. 0; C.1; D. 15.
8. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0
200
321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解，则（ ）。

A ．μ=0或λ=1； B. μ=1或λ=0; C. μ=0且λ=1； D. μ=1且λ=0。

9. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，那么AB =BA 是AB 为对称矩阵的（ ）。

A ．充分条件； B. 必要条件; C. 充分必要条件; D. 非充分必要条件 10. 在1~9构成的排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列，则下列选项中关j 、k 表达正确的是（ ）。

A ．j =3，k =8； B. j = 8或3，k = 3； C. j = 8，k = 3; D. j = 8 ，k = 3或8
二． 判断题（共5小题，每题2分；对的请“√”，错的请打“×”）
11. 若线性方程组AX= B 中，方程的个数小于未知量的个数，则AX=B 一定有无穷多解。

（√） 12. 秩()A B +＝秩A ，当且仅当秩0B =。

（ ×） 13. 若向量组的秩为r ，则其中任意r+1个向量都线性相关。

（ √） 14. 若A 满足A 2+3A+E=0，则A 可逆。

（√）
15. 只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵。

（× ）
三. 填空题（共7小题，每题3分）
16. 排列 453162的逆序数是_________9___________。

17. 设A,B 均为n 阶方阵。

且()2
A B E +=，则()1
1E AB --+= 。

18. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=150421321B , 那么3AB -2A = 。

19. 已知向量组 a 1, a 2, a 3 线性无关，且b 1 = a 1+a 2， b 2 = a 2+a 3， b 3 = a 3+a 1，那么向量组 b 1, b 2, b 3 线性无关 。

20. 设A 是三阶矩阵，其中110α≠，,1,2,3,1,2,3,ij ij A a i j ===则
2T A = 。

21. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ),其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 则a = (1, 2, 3, 4)T 。

22. 设12312,,,,αααββ均为四维列向量，[]1231,,,A αααβ=，[]3122,,,B αααβ=，且
1A =，2B =。

则A B += 。

四．计算题（共4小题，共39分）
23. 求行列式值d
c
b
a d c
b a d
c b
a
d c b a
D 1236++++=
（6分）
24. 求向量组
12345(1,1,0,0), (1,2,1,1),(0,1,1,1),
(1,3,2,1),(2,6,4,1)
T T T
T T
ααααα=-=--=-=-=-的秩。

（8分）
25. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T ,
v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示. （11分）
26. 二次型3231212
32
22
132122222),,(x x x x x x x ax x x x x f +++++= （1）写出二次型的矩阵A ，并求a 满足什么条件时，此二次型正定。

（2）当2=a 时，此二次型在正交变换TY X =下化为标准形 求该正交变换。

（14分）。