福建高二高中数学月考试卷带答案解析

福建高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（）
A．B．C．D．
2.执行图中的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是（）．
A．B．2C．±2或者－4D．2或者－4
3.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值不小于2的概率是（）A．B．C．D．
4.有下列四个命题
①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；
④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
5.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为＝0．8x－155．
则实数m的值为（）
A．8．4 B．8．2 C．8 D．8．5
6.已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（p）∧（q）
C．（p）∧q D．p∧（q）
7.已知某算法的程序框图如图所示，若输入x ＝7，y ＝6，则输出的有序数对为（ ）
A ．（13，12）
B ．（12，13）
C ．（14，13）
D ．（13，14）
8.是，，，的平均数，是，，，的平均数，是，，，的平均数，则下列
各式正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9.一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P （2，
）是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10.若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为，第二次掷得的点数为n ，则点
落在圆内的概
率是为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
11.一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是（ ）
A ．且
B ．且
C ．
D ．
且
12.已知椭圆
的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于以椭
圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
1.假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是____．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
2.已知p：x2－2x－3<0；q：<0，若p且q为真，则x的取值范围是_______．
3.已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于________．
4.在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数和一个奇数b构成以原点为起点的向量从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，则平行四边形的面积等于2的概率为_______．
三、解答题
1.对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如图．
（1）根据图中的数据，填好2×2列表，并计算在多大的程度上可以认为性别与是否爱好体育有关系：
（2）若已从男生中选出3人，女生中选出2人，从这5人中选出2人担任活动的协调人，求选出的两人性别相同的概率．
参考数据：
参考公式：
2.已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程．[
3.某校数学教师为调查本校2014届学生的高考数学成绩情况，用简单随机抽样的方法抽取20名学生的成绩，样本数据的茎叶图如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：
（1）求表中的值及分数在范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在内为及格）；
（2）从大于等于110分的成绩中随机选2个成绩，求这2个成绩的平均分不小于130分的概率。

4.设命题：函数的定义域为；命题：当时，函数恒成立，如果
命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求的取值范围．
5.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率；
（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：区间[100，110）的中点值为＝105）作为这组数
据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从
中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
6.已知圆：，点（1， 0），点在圆上运动，的垂直平分线交于点
．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，
为坐标原点，求直线的斜率；
（3）过点的动直线交曲线于两点，求证：以为直径的圆恒过定点
福建高二高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】所有学生数为2000+3000+4000=9000，所以所求概率为
【考点】分层抽样
2.执行图中的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是（）．
A．B．2C．±2或者－4D．2或者－4
【答案】B
【解析】输入满足，所以
【考点】程序语句
3.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值不小于2的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】任取两个数的取法共有6种，满足取出的2个数之差的绝对值不小于2的取法有1．3，1．4，2．4三种情况，所以所求概率为
【考点】古典概型概率
4.有下列四个命题
①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；
④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】①中逆命题是假命题；②中否命题是假命题；③中当时有，所以方程有实数根，命题
正确；④中原命题是假命题，因此逆否命题是假命题；所以正确的只有1个
【考点】四种命题
5.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为＝0．8x－155．
x196197200203204
则实数m的值为（）
A．8．4 B．8．2 C．8 D．8．5
【答案】C
【解析】由题意可知，所以中心点为，代入回归方程成立，
【考点】回归方程
6.已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（p）∧（q）
C．（p）∧q D．p∧（q）
【答案】D
【解析】命题p：对任意x∈R，总有2x＞0，是真命题；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，所以p∧（q）是真命题
【考点】复合命题
7.已知某算法的程序框图如图所示，若输入x＝7，y＝6，则输出的有序数对为（）
A．（13，12）B．（12，13）
C．（14，13）D．（13，14）
【答案】D
【解析】程序执行中的数据变化如下：
不成立，输出（13，14）
【考点】程序框图
8.是，，，的平均数，是，，，的平均数，是，，，的平均数，则下列
各式正确的是（）
A．
B．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由题意可得
所以
【考点】平均数
9.一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P （2，）是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，结合椭圆定义可知
，由P （2，
）是椭圆上一点得
，方程为
【考点】椭圆方程及性质
10.若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为，第二次掷得的点数为n ，则点
落在圆内的概
率是为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】所有的点共36种情况，满足落在
内的点有8个，所以所求概率为
【考点】古典概型概率
11.一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是（ ） A ．且 B ．且
C ．
D ．
且
【答案】C
【解析】由题意可得
，所以其必要不充分条件是
【考点】直线方程及性质
12.已知椭圆
的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于以椭
圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】设以椭圆的短轴为直径的圆与线段相切于点M，连结、，
∵M、O分别为、的中点，∴∥，且，
又∵线段与圆O相切于点M，可得OM⊥，∴⊥，
Rt△中，||=2c，||=2b，∴，
根据椭圆的定义，得||+||=2a，∴，
解得，因此，椭圆的离心率
【考点】椭圆方程及性质
二、填空题
1.假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是____．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
【答案】810
【解析】第8行第7列的数7开始向右读第一个小于850的数字是785，第二个数字是567，第三个数字是199，第四个数字是810，
【考点】随机数表
2.已知p：x2－2x－3<0；q：<0，若p且q为真，则x的取值范围是_______．
【答案】（-1，2）
【解析】由x2－2x－3<0得，由<0得，由p且q为真可知x的取值范围是（-1，2）
【考点】1．复合命题的真假；2．不等式解法
3.已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于________．
【答案】8
【解析】由题意得
【考点】椭圆方程及性质
4.在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数和一个奇数b构成以原点为起点的向量从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，则平行四边形的面积等于2的概率为_______．
【答案】
【解析】由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是取出数字，构成向量，
a的取法有2种，b的取法有2种，故向量有4个，
分别为，
从中任取两个向量共=6种取法，
设两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，则，
∴对应平行四边形的面积，
则S=2，则
当，时，满足条件，
当，时，满足条件，
∴满足条件的事件列举法求出面积等于2的三角形的个数有2个，
∴根据古典概型概率公式得到
【考点】1．几何概型；2．古典概型及其概率计算公式
三、解答题
1.对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如图．
（1）根据图中的数据，填好2×2列表，并计算在多大的程度上可以认为性别与是否爱好体育有关系：
（2）若已从男生中选出3人，女生中选出2人，从这5人中选出2人担任活动的协调人，求选出的两人性别相同的概率．
参考数据：
0．020．010．00
参考公式：
【答案】（1）有85%的把握可以认为性别与是否更喜欢体育有关系（2）
【解析】（1）根据所给的二维条形图看出爱好体育和爱好文娱的学生数，得到列联表．把列联表中的数据代入求观测值的公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有85%的把握可以认为性别与是否更喜欢体育有关系；（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是10，满足条件的事件性别相同，共有4种，求比值得到概率．
试题解析：（1）根据共调查了40人，其中男生25人，女生15人．男生中有15人爱好体育，
另外10人爱好文娱．女生中有5人爱好体育，另外10人爱好文娱，得到列联表．
…………………………3分
，
而
，∴有85%的把握可以认为性别与是否更喜欢体育有关系．
（2）从男生中选出3人记为，从女生中选出2人记为，从这5人中选出2人的基本事件为 、
、
、
、
、、、、、
共10种，
两人性别相同的情形有、
、
、
共4种，
故概率
【考点】独立性检验的应用
2.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，离心率为．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 经过点M （0，1），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若，求直线l 的方程．[
【答案】（1）
（2） x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0
【解析】（1）由焦距，离心率得到椭圆中值，进而求得的值，得到椭圆方程；（2）分直线斜率存在与不存在两种情况分别讨论，当斜率存在时，设直线为，与椭圆联立转化为的二次方程，结合根与系数的关系求解弦长问题
试题解析：（1）设椭圆方程为＋
＝1（a ＞b ＞0）．
因为c ＝1，e ＝
＝
，所以a ＝2，b ＝
，
所以椭圆C 的方程为
．
（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 则由
，得（3＋4k 2）x 2＋8kx －8＝0，且Δ＞0．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则
，
又
得
解得k 2＝
，k ＝±．
所以直线l 的方程为y ＝±x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0．
【考点】1．椭圆方程及性质；2．直线和椭圆相交的有关弦长问题
3.某校数学教师为调查本校2014届学生的高考数学成绩情况，用简单随机抽样的方法抽取20名学生的成绩，样本数据的茎叶图如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：
（1）求表中的值及分数在范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在内为及格）；
（2）从大于等于110分的成绩中随机选2个成绩，求这2个成绩的平均分不小于130分的概率。

【答案】（1）分数在范围内的学生人数为4，及格率为（2）
【解析】（1）结合频率分布表与茎叶图给出的数据，先求a、b的值，再根据频率和为1，求分数在[90，110）范围内的学生数，从而求出分数分别在[90，100）和[70，90）的人数，计算及格率；（2）由茎叶图可知成绩大于等于110分的学生有5人，从中选取2人共有种方法；求出符合条件的方法数，利用古典概型概率公式计算
试题解析：（1）由题中的茎叶图可知分数在范围内的有2人，在范围内的有3人，
又分数在范围内的频率为
∴分数在范围内的频率为，
∴分数在范围内的学生人数为
由题中的茎叶图可知分数在范围内的学生人数为4，
∴分数在范围内的学生人数为．
从题中的频率分布表可知分数在范围内的频率为0．25，
∴分数在范围内的学生人数为，
∴数学成绩及格的学生人数为13，
∴估计全校学生数学成绩的及格率为．
（2）设表示事件“从大于等于110分的成绩中随机选2个成绩，这2个成绩的平均分大于等于130分”，由茎叶图可知大于等于110分的成绩有5个，选取成绩的所有可能结果为
（116，118），（116，128），（116，136），（116，142），（118，128），（118，136），（118，142），（128，136），（128，142），
（136，142），共10种情况，（9分）
事件的所有可能结果为，共4种情况
【考点】1．古典概型及其概率计算公式；2．频率分布表；3．茎叶图
4.设命题：函数的定义域为；命题：当时，函数恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求的取值范围．
【答案】．
【解析】首先由函数定义域为R求得命题P中a的范围，由不等式恒成立得到q中a的范围，结合复合命题真假
性判定可得p，q一真一假，分情况讨论得到a的范围
试题解析：命题p：函数y＝lg的定义域为R可知，Δ＝1－＜0，解得a＞2或a<-2．
因此，命题p为真时，a＞2或a<-2．
对于命题q：当x∈时，函数y＝x＋＞恒成立，
即函数y＝x＋在x∈的最小值y
＞，
min
∵y
＝2，即2＞，∴a<0或a＞．
min
因此，命题q为真时，a<0或a＞．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
∴命题p与q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，可得a∈∅；
当p假q真时，可得-2≤a<0或＜a≤2．
综上所述，a的取值范围为．
【考点】1．不等式恒成立问题；2．复合命题
5.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率；
（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：区间[100，110）的中点值为＝105）作为这组数
据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从
中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
【答案】（1）0．3 （2）121 （3）
【解析】（1）根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在[120，130）内的频率；（2）由频
率分布直方图计算出平均分；（3）计算出[110，120）与[120，130）分数段的人数，用分层抽样的方法在各分数
段内抽取的人数组成样本，求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”概率即可
试题解析：（1）分数在[120，130）内的频率为
1－（0．1＋0．15＋0．15＋0．25＋0．05）＝1－0．7＝0．3．
（2）估计平均分为
＝95×0．1＋105×0．15＋115×0．15＋125×0．3＋135×0．25＋145×0．05=121．
（3）由题意，[110，120）分数段的人数为60×0．15＝9（人）．
在[120，130）分数段的人数为60×0．3＝18（人）．
∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120）分数段内抽
取2人，并分别记为m，n；
在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件共有{m，n}，{m，a}，…，{m，d}，{n，a}，…，{n，d}，{a，b}，…，{c，d}，
共15个．
则事件A包含的基本事件有{m，n}，{m，a}，{m，b}，{m，c}，{m，d}，{n，a}，{n，b}，{n，c}，{n，d}，共9个．
∴P（A）＝＝．
【考点】1．频率分布直方图；2．分层抽样方法；3．古典概型
6.已知圆：，点（1， 0），点在圆上运动，的垂直平分线交于点
．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，为坐标原点，求直线的斜率；
（3）过点的动直线交曲线于两点，求证：以为直径的圆恒过定点
【答案】（1）（2）（3）详见解析
【解析】（1）如图所示，，可知：动点P的轨迹为椭圆，设标准方程为，可得即可得出椭圆C的方程；（2）设
．由于，可得．代入椭圆方程可得，又，联立解出即可得出；（3）假设在y轴上存在定点T（0，t），使以AB为直径的圆恒过这个点．设直线AB的方程为，．联立直线与椭圆方程化为，把根与系数的关系代入解出即可
试题解析：（1）因为的垂直平分线交于点．所以，从而
所以，动点的轨迹是以点为焦点的椭圆．
设椭圆的方程为，则，，
故动点的轨迹的方程为
（2）设，则
①
因为，，则②
由①、②解得
所以直线的斜率．
（3）设直线的方程为则由，得
由题意知，点在椭圆的内部，所以直线与椭圆必有两个交点，设，则
假设在轴上存在定点满足题设，则
因为以为直径的圆恒过点，所以，即
因为故可化为
由于对于任意的，恒成立，故解得．…11分[来
因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为．
【考点】1．直线与圆锥曲线的综合问题；2．轨迹方程。