人教版高三数学下学期平面向量多选题单元达标自检题学能测试

人教版高三数学下学期平面向量多选题单元达标自检题学能测试
一、平面向量多选题
1．已知向量(2
2cos m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是 （ ）
A ．()f x 的最大值为3
B ．()f x 的周期为π
C ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．()f x 在,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭
上是增函数 【答案】ABD 【分析】
运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】
解：()2
2cos 2cos221f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
， 当6
x k π
π=
+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；
()f x 的周期22
T π
π=
=,选项B 描述准确； 当512x π=
时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪
⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，选项C 描述不准确；
当,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，
2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫
⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描述准确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.
2．已知集合()(){}=
,M x y y f x =,若对于()1
1
,x y M ∀∈,()2
2
,x y M ∃∈,使得
12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集
合:(){}2
1,1M x y y x =
=+;(){2
,M x y y ==
;(){}3,x
M x y y e =
=;
(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )
A ．1M
B ．2M
C ．3M
D ．4M
【答案】BD 【分析】
根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点
P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．
【详解】
由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点
P '，使得OP OP '⊥．
在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；
对y =
所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；
在x
y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点
集”集合；
对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】
本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．
3．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB
是圆()()2
2
:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，AB =（ ）
A ．弦A
B 的中点轨迹是圆
B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()2
2
222x y -+-=上
C ．线段PG 长的最大值为1
D ．PA PB ⋅的最小值6+ 【答案】ABC 【分析】
对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用
1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算
得到2
3PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =--问题，即可判断.
【详解】
对于选项A ：设()00,G x y ，
2AB =
G 为弦AB 的中点，
GB ∴=，
而()()2
2
:114C x y +++=， 半径为2，
则圆心到弦AB 的距离为
1CG ==，
又圆心()1,1C --，
()()22
00111x y ∴+++=，
即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确； 对于选项B ： 由310
310
mx y m x my m --+=⎧⎨
+--=⎩，
得222
232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩
， 代入()()22
22x y -+-整理得2， 故选项B 正确；
对于选项C ：由选项A 知：
点G 的轨迹方程为：()()2
2
111x y +++=，
由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()2
2
222x y -+-=，
(
)()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=
所以线段
1112max 11PG PG r r =++=+=，
故选项C 正确； 对于选项D ：
()()
PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()
2
PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 2
2
2
03PG PG GB PG =+⋅-=-，
故()
(
)
2
min
min
3
PA PB
PG ⋅=-，
由选项C 知：1112min 11PG PG r r =--=-=，
所以()
()
2
min
136PA PB
⋅=-=-，
故选项D 错误； 故选：A B C. 【点睛】
关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.
4．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）
A ．::7:5:3sinA sin
B sin
C = B ．0AB AC ⋅>
C ．若6c =，则ABC 的面积是
D ．若8+=b c ，则ABC 的外接圆半径是3
【答案】ACD 【分析】
先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到
3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选
项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】
依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，
由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；
222222
cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=
222222.5 1.5 3.515
028
k k +-==-<，
故选项B 不正确； 若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，
所以222106141
cos 21062
A +-==-⨯⨯，
所以3sin 2
A =
， 故ABC 的面积是：113sin 61015322bc A =⨯⨯⨯=； 故选项C 正确；
若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，
所以2225371
cos 2532
A +-==-⨯⨯，
所以3sin A =
， 则利用正弦定理得：
ABC 的外接圆半径是：173
2sin 3
a A ⨯=
， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设
4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本
题的关键.
5．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（ ）
A ．13
BF FC = B ．89
FD FE ⋅=-
C ．41cos ,5
FD FE -<<-
>≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD
【分析】
A. 根据2
BF FO
=易得
1
2
BF FC
=判断；B. 由
()()
FD FE OD OF OE OF
⋅=-⋅-运算求解判
断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,
2
DOF
π
αα⎡⎤
∠=∈⎢⎥
⎣⎦
，则
()()1
cos,sin,cos,sin,,0
3
D E F
αααα⎛⎫
---
⎪
⎝⎭
，得到
11
cos,sin,cos,sin
33
FD FE
αααα
⎛⎫⎛⎫
=-=+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，由cos,
FD FE
FD FE
FD FE
⋅
<>=
⋅
利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE
λμ
=+，利用线性运算变形为
()()
4OF OD OF
λμλμ
-=--+判断；
【详解】
A. 因为2
BF FO
=，所以
1
2
BF FC
=，故错误；
B. ()()2
FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF
⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，
()
2218
10
99
OE OF OD OE OF
=-+++=-++=-，故正确；
C.建立如图所示平面直角坐标系：
设,(0,]
2
DOF
π
αα
∠=∈，则()()1
cos,sin,cos,sin,,0
3
D E F
αααα⎛⎫
---
⎪
⎝⎭
，
所以
11
cos,sin,cos,sin
33
FD FE
αααα
⎛⎫⎛⎫
=-=+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
所以22
22
8
9
cos,
11
cos sin cos sin
33
FD FE
FD FE
FD FE
αααα
-
⋅
<>==
⋅⎛⎫⎛⎫
-+⋅++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
84
(1,]5
-
--，故正确；
D. 由FC FD FE λμ=+，得
()()
()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正
确； 故选：BCD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =
C ．若a b >，则1k <
D ．若a b a b +=-，则a b ⊥
【答案】AD 【分析】
先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式
4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据
a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.
【详解】
解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =
±，
故选项B 错误；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得
11k -<<，故选项C 错误；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以
a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】
本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.
7．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-
【答案】CD 【分析】
对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，
2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所
以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】
对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；
对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；
对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】
本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =
B ．AB B
C =
C ．AB C
D AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-
【答案】BCD 【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】
菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；
因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确； 因为AD CD BC CD BD +=+=，
||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.
故选：BCD 【点睛】
本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.
9．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则
()
PA PB PC ⋅+的值可能是（ ）
A ．22a -
B ．232
a -
C ．243
a -
D ．2a -
【答案】BCD 【分析】
通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系.
设(),P x y ，又()
3A a ，(),0B a -，
(),0C a ，则()
3PA x a y =--，
(),PB a x y =---，(),PC a x y =--.
则()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=- 即()2,2PB x y PC --+= 所以
()(
)
()32,2x a PA PB P y x y C =--⋅--⋅+
则()PA PB PC ⋅+2
2223x
y ay =+-
即
(
)
PA PB PC ⋅+2
2
233222x y a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭
. 所以()
PA PB PC ⋅+232
a ≥- 故选：BCD. 【点睛】
本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.
10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则
下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BC
C ．a b ⊥
D ．()
6a b BC +⊥
【答案】ABD 【分析】
求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()
6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=
，则1
13
a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a
b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正
确；
对于C 选项，21123cos 0333
a b AB BC π
⋅=
⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()
22
60a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，
()6a b BC +⊥，D 选项正确.
故选：ABD. 【点睛】
本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。