已知三角函数值求角1

引例
.2031sin απαα，求，，且已知
⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=3
1
sin =α⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πα，}3
1arcsin =α⇒解：
目标1简单理解并掌握反正弦的意义目标2简单理解并掌握反余弦的意义目标3简单理解并掌握反正切的意义
一、反正弦的意义x y
02
π
π2-π-π
π2π42π
2π-上无反函数；
在正弦函数R x y sin .1=间简单，上是一一对应的，且区，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22.2ππ.2,2,sin 的反函数为反正弦函数称函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππx x y ,sin a =α[]
1,1-∈a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππα}a
arcsin =α⇒的意义符号a arcsin .3；，是一个角，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22arcsin arcsin )1(ππa a .
)sin(arcsin arcsin )2(a a a a =
即，
的正弦值恰好等于角x y 0
ππ-2
π2π-2π2π
-
二、反余弦的意义
上无反函数；
在余弦函数R x y cos .1=[],,,0.2且区间简单上是一一对应的在π[].,0,cos 的反函数为反余弦函数称函数π∈=x x y ,cos a =α[]
1,1-∈a []πα,0∈}a
arccos =α⇒的意义符号a arccos .3[]；
是一个角，且π,0arccos arccos )1(∈a a .
)cos(arccos arccos )2(a a a a =即，
的余弦值恰好等于角x y
0ππ2π3π
-π2-x y 0
ππ-
三、反正切的意义
定义域上无反函数；
在正切函数x y tan .1=,,22.2且区间简单上是一一对应的，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ22,tan 的反函数为反正切函数，称函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=ππx x y ,tan a =αR
a ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππα，}a arctan =α⇒的意义符号a arctan .3;22arctan arctan )1(⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈ππ，是一个角，且a a .)tan(arctan arctan )2(a a a a =即，
的正切值恰好等于角0y x 32π
-2π
-π-2π
π32π0y
x
2π
-2π
.,2,2,22sin )1(x x x 求角且已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=
ππ例题122sin =x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22ππ，x }
22arcsin =x ⇒解：
4
π=[].,0,22sin )2(x x x 求角，且已知π∈=022sin >=x 解：是第一或第二象限角，x ∴224sin )4sin(==-πππ而4344ππππ
=-==∴x x 或43422arcsin 422arcsin πππππ=-=-===x x 或即.
,22sin )3(x x 求角已知=4
3242ππππ+=+=k x k x 或
[].,,0,7660.0cos )1(x x x 求角且已知π∈=例题2
7660.0cos =x []π,0∈x }
π927660.0arccos ==x ⇒解：[].
,2,0,7660.0cos )2(x x x 求角且已知π∈=07660.0cos >=x 解：
是第一或第四象限角，x ∴7660.092cos )922cos(==-πππ而ππππ9
1692292=-==∴x x 或πππππ9169227660.0arccos 2927660.0arccos =-=-===x x 或即.
,7660.0cos )3(x x 求角已知=ππππ9
162922+=+=k x k x 或
.,2,2,31tan )1(x x x 求角且已知⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈=ππ例题3
π101=x 解：[].,2,0,3
1tan )2(x x x 求角且已知π∈=解：ππ10
11101==x x 或.,31tan )3(x x 求角已知=ππ10
1+=k x 解：
演示文稿后
等
练习1.,23sin x x 分别求符合下列条件角已知=R x x x x ∈)4()3()2()1(为第二象限角；为三角形的内角；为锐角；
31π=x ）解：（3232ππ或）（=x Z k k x ∈+=,3223ππ）（Z k k x k x ∈+=+=,322324ππππ或）（3)1()12(3232212πππππππ⋅-++=-+=+=+k k k k x 而3
)1(ππ⋅
-+=∴k k x 3)1()2(32322ππππππ⋅-+⋅=+=+=k k k k x
练习2.
的集合求符合下列条件角x ;53sin )3(;
01tan 3)2(;
2
cos 2)1(2-==-∈=x x R x x
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈±=∈Z k k x x x ,42|1ππ）解：（⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈±=∈Z k k x x x ,6|2ππ）（⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+=∈Z k k x x x k ,53arcsin )1(|3π）（
练习3.,1sin tan 2cos 22
A A A
B B A AB
C ∠+-=∆求满足：
、中，锐角直角三角形
小结1
的意义a arcsin .1；，是一个角，且
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22arcsin arcsin )1(ππa a .
)sin(arcsin )2(a a =的意义a arccos .2[]；是一个角，且
π,0arccos arccos )1(∈a a .
)cos(arccos )2(a a =的意义a arctan .3;
22arctan arctan )1(⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈ππ，是一个角，且
a a .
)tan(arctan )2(a a =
小结2
a =αsin 若Z k a k k ∈⋅-+=,arcsin )1(πα则a =αcos 若Z k a k ∈±=,arccos 2πα则a =αtan 若Z k a k ∈+=,arctan πα则。