高中数学总结归纳 二项式问题的处理策略

二项式问题的处理策略
二项式定理的有关知识在高考中虽每年以小题的形式出现，但却是历年高考的必考内容，由于其题型繁多，常使人感到扑朔迷离．为此，本文提出了一种切实有效的处理方法，旨在促进同学们解题能力的发展与提高．
一、方程化
在求二项式中参数的值及特定项的系数等问题时，通常是利用展开式的通项与题目提供的信息及各量之间的制约关系，巧妙构造方程，最终用方程理论求解．
例1 9)12(x
x -
的展开式中，常数项为 (用数字作答)．
解法1：
由9992
19
9(2)(1)2r
r
r r
r
r r r r T C x C x ----+⎛==-••• ⎝
． 令9－r －
2
r
＝0，得r ＝6．故常数项为 63679(1)2672T C =-••=．故填672．
评注：凡涉及到展开式的项及其系数等问题，常是先写出其通项公式1r T +＝r
n r
r n C a b -，
然后再据题意进行求解，往往是结合方程思想加以解决．
例2
如果3n
x ⎛⎫ ⎝
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31
x 的系数是（ ）
（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21- 解：
由通项公式，得531
(3)(1)3r
r
n r n r r n r r
r n n T C x C x ---+⎛⎫==-••• ⎝
． 令x ＝1，即(31)n
-=128，得n ＝7． 由533r n -
=-，解得r ＝6．故31
x
的系数是(－1)6•3•67C ＝21，而选(C)． 评注：分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同，常规解法是利用通项公式
1r n r r
r n T C a b -+=，先确定r ，再求其系数．
例 3已知5
(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与4
5()4
x +的展开式中3x 的系数相等，则
cos θ＝______ ___．
解：5(cos 1)x θ+的展开式中x 2的系数为325cos C θ，而4
5()4
x +展开式中x 3的系数为
1454C ⨯
，即有325cos C θ＝1
454
C ⨯，得10cos 2θ＝5，cos θ＝±2．应填±2．
二、二项化
对于多项式等问题，通常是用转化思想，化为二项式问题来解决． 例4 5)21
2(
++x
x 的展开式中整理后的常数项为 .
解：5
)212(++x x ＝5
22510552[(](2(2)(2)x x x x x x ⎛⎫++++== ⎪ ⎪⎝⎭
． 本题转化为二项式问题，即要得所求式的常数项，转化为求分子(x ＋2)10的x 的5次
系数．而分子x 的5次项为55
5510T C x =．
∴ 常数项为5
5105
2C •＝22
63．
例5 在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121 解法1：先求和，再求系数
原式＝5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x ------=--，求x 3的项的系数，等价于求
59(1)(1)x x ---中x 4的项的系数，即为4459C C -＝－121，故选(D)．
解法2：逐一求出，再相加
(1－x )5，(1－x )6，(1－x )7，(1－x )8中x 3的项的系数分别为3
5C -，－3
6C ，－3
7C ，－3
8C ，故所求x 3的项的系数为－(3
5C ＋3
6C ＋3
7C ＋3
8C )＝－121，故选(D)．
四、表格化
求两个二项式积的展开式中某项的系数是二项式问题中的一个难点，既要考虑多次使用通项公式，又要考虑可能的搭配．这时若用表格，则能一目了然、不重不漏．
例6 在(x －1)(x ＋1)8的的展开式中x 5的系数是 （A ）－14 （B ）14 （C ）－28 （D ）28
解：由x 5项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：
因此，x 5项的系数是－3
8C ＋4
8C ＝14，故选(B)．
评注：此类题常是表格法，运用乘法分配律对指数进行分配．
四、特值化
在展开式中的各系数之和及求组合数之和问题时，一种非常有效的方法就是取特殊值． 例7在二项式(1＋3x )n
和(2x ＋5)n
的展开式中，各项系数之和分别记为a n 、b n ，n 是正整数．则2lim
34n n
n n n
a b a b →∞--＝_______．
分析：本题关键是求出a n 、b n ，利用赋值法极易得到． 解：令x ＝1，得a n ＝(1＋3)n
＝4n
，b n ＝(2＋5)n
＝7n
．
∴ 2lim 34n n n n n
a b a b →∞--＝4242717lim lim 344724347n
n n n n n n n →∞→∞⎛⎫
- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭
g g g g ． 例8 若()
,32443322104
x a x a x a x a a x ++++=+则()()
2
312
420a a a a a +-++的值为 ( )
(A) 1
(B) －1
(C) 0
(D) 2
分析：利用平方差公式，待求式可转化为(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)( a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)，于是可用特殊值法来解决．
解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(4
2+；
令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(
4
2-．
两式相乘，得()()2
3
1
2
420a a a a a +-++＝(4
2+(4
2-＝1，故选(A)．。