九年级数学下册3.8圆内接正多边形课时教案新版北师大版2

3.8圆内接正多边形
一、教学目标
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系
四、教学难点
会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
五、教学过程
（一）导入新课
你还能举出更多正多边形的例子吗？
（二）讲授新课
活动内容1：
探究1：正多边形
正多边形：___________，_____________的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
【想一想】
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
求证：正五边形的对角线相等
怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？
怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？
怎样找圆的内接正n边形？怎样找圆的外切正n边形？
【定理】把圆分成n（n≥3）等份：
依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.
一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？
【类比联想】正三角形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？
正方形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？
那么，正n边形呢？
探究2：正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.若n为偶数，则其为中心对称图形.
活动2：探究归纳
【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径
正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.
以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系?
以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。

（三）重难点精讲
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
证明:(1）∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵BCE=CDA=3AB，
∴∠1=∠2，
同理∠2=∠3=∠4=∠5，
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
（2）连接OA，OB，OC，则
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.
∵TP ，PQ ，QR 分别是以A ，B ，C 为切点的⊙O 的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
又∵AB=BC ， ∴AB=BC ，
∴△PAB 与△QBC 是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理∠Q=∠R=∠S=∠T ， QR=RS=ST=TP=2PA ，
∵五边形PQRST 的各边都与⊙O 相切，
∴五边形PQRST 是⊙O 的外切正五边形.
【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m 2).
【解析】如图，正六边形ABCDEF 的中心角为60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长
在Rt △OPC 中,OC=4,PC=2.利用勾股定理,可得边心距2
2
4223m .r -=（） 亭子地基的面积
211
242341.6(m ).22
S lr =
=⨯⨯≈ （四）归纳小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形的边心距之间的等量关系．
（五）随堂检测
1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八边形；④正2n（n为自然数）边形；⑤任意的平行四边形.是轴对称图形的有__________,是中心对称图形的有_________,既是中心对称图形，又是轴对称图形的有_________.
2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比为_____，面积比为_____，外接圆周长比是______，中心角度数比是______.
3.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
4.正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的________．
5.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是____度，半径是___，边心距是，它的每一个内角是____．
6.正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
7.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转度,才能与原来的图形位置重合.
【答案】
1. ①②③④；③④⑤；③④
2. 3:4；9:16；3:4；1:1
3. 中心
4. 边心距
1
6. 中心
7. 72
六．板书设计
3.8圆内接正多边形
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形的边心距之间的等量关系．
例题1：例题2：
七作业布置
课本P93练习1、2
练习册相关练习
八、教学反思
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．如图所示的图形，是下面哪个正方体的展开图（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】根据展开图中四个面上的图案结合各选项能够看见的面上的图案进行分析判断即可.
【详解】A. 因为A 选项中的几何体展开后,阴影正方形的顶点不在阴影三角形的边上,与展开图不一致,故不可能是A:
B. 因为B 选项中的几何体展开后,阴影正方形的顶点不在阴影三角形的边上，与展开图不一致,故不可能是B ;
C .因为C 选项中的几何体能够看见的三个面上都没有阴影图家,而展开图中有四个面上有阴影图室，所以不可能是C.
D. 因为D 选项中的几何体展开后有可能得到如图所示的展开图,所以可能是D ; 故选D. 【点睛】
本题考查了学生的空间想象能力, 解决本题的关键突破口是掌握正方体的展开图特征. 2．如图，圆弧形拱桥的跨径12AB =米，拱高4CD =米，则拱桥的半径为（ ）米
A ．6.5
B ．9
C ．13
D ．15
【答案】A
【解析】试题分析：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ．连接OA ．根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r ， 根据勾股定理， 得r 2=36+（r ﹣4）2，解得r=6.5
考点：垂径定理的应用． 3．在△ABC 中，若21
cos (1tan )2
A B -+-=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．60°
C ．75°
D ．105°
【答案】C
【解析】根据非负数的性质可得出cosA 及tanB 的值，继而可得出A 和B 的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C 的度数． 【详解】由题意，得 cosA=1
2
，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°． 故选C ．
4．如图所示，直线a ∥b ，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（ ）
A ．125°
B ．135°
C ．145°
D ．155°
【答案】A
【解析】分析：如图求出∠5即可解决问题． 详解：
∵a ∥b ， ∴∠1=∠4=35°，
∵∠2=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠5=55°，
∴∠3=180°-∠5=125°，
故选：A．
点睛：本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC 的周长为()
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】B
【解析】根据切线长定理进行求解即可.
【详解】∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.
6．下列命题是假命题的是（）
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
【答案】C
【解析】解：A．外角为120°，则相邻的内角为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可
以判断，故A选项正确；
B．等边三角形有3条对称轴，故B选项正确；
C．当两个三角形中两边及一角对应相等时，其中如果角是这两边的夹角时，可用SAS来判定两个三角形全等，如果角是其中一边的对角时，则可不能判定这两个三角形全等，故此选项错误；
D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项正确；
故选C．
7．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是()
A．56 B．58 C．63 D．72
【答案】B
【解析】试题分析：第一个图形的小圆数量=1×2+2=4；第二个图形的小圆数量=2×3+2=8；第三个图形的小圆数量=3×4+2=14；则第n个图形的小圆数量=n(n+1)+2个，则第七个图形的小圆数量=7×8+2=58个. 考点：规律题
8．下列二次根式中，最简二次根式的是（）
A 1
5
B．0.5C5D50
【答案】C
【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A 1
5
5
A选项错误；
B0.5
2
2
，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；
C5C选项正确；
D5052D选项错误；故选C．
考点：最简二次根式．
9．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于1
2
AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直
线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至点M，则∠BCM的度数为( )
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】B
【解析】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=25°，
∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．
故选B．
10．下列说法正确的是( )
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相平分的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【解析】分析：根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答.
详解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；
B、四条边相等的四边形是菱形，故错误；
C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故错误；
D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；
故选D．
点睛：本题考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记四边形的判定定理．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，在△ABC中，AB=AC，BE、AD分别是边AC、BC上的高，CD=2，AC=6，那么CE=________．
【答案】4 3
【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=2，
∵BE、AD分别是边AC、BC上的高，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCE，
∴AC CD BC CE
=，
∴62
4CE =，
∴CE=4
3
，
故答案为4 3 .
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则a﹣b+c的最小值是_____．
【答案】﹣1．
【解析】由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为-3，可以求出抛物线的a值；当顶点在N处时，y=a-b+c 取得最小值，即可求解．
【详解】解：由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为-3，
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）2+4，
将点A坐标（-3，0）代入上式得：0=a（-3+1）2+4，
解得：a=-1，
当x=-1时，y=a-b+c，
顶点在N处时，y=a-b+c取得最小值，
顶点在N处，抛物线的表达式为：y=-（x-3）2+1，
当x=-1时，y=a-b+c=-（-1-3）2+1=-1，
故答案为-1．
【点睛】
本题考查的是二次函数知识的综合运用，本题的核心是确定顶点在M、N处函数表达式，其中函数的a 值始终不变．
13．已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为______．
【答案】1
【解析】解：根据题意可得x1+x2=
b
a
-=5，x1x2=
c
a
=2，∴x1+x2﹣x1x2=5﹣2=1．故答案为：1．
点睛：本题主要考查了根据与系数的关系，利用一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=
b
a -，
x1x2=c
a
是解题的关键．
14．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于_____．
【答案】210°
【解析】根据三角形内角和定理得到∠B＝45°，∠E＝60°，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：如图：
∵∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，
∴∠B＝45°，∠E＝60°，
∴∠2+∠3＝120°，
∴∠α+∠β＝∠A+∠1+∠4+∠B ＝∠A+∠B+∠2+∠3＝90°+120°＝210°，
故答案为：210°．
【点睛】
本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
15．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F 的坐标分别为 （3,2)，（－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_________．
【答案】（1，0）；（﹣5，﹣2）.
【解析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点；另一种是A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点．
【详解】∵正方形ABCD 和正方形OEFG 中A 和点F 的坐标分别为（3，2），（-1，-1），
∴E （-1，0）、G （0，-1）、D （5，2）、B （3，0）、C （5，0），
（1）当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点时，位似中心就是EC 与AG 的交点，
设AG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），
∴231k b b =+⎧⎨-=⎩，解得11
b k =-⎧⎨=⎩． ∴此函数的解析式为y=x-1，与EC 的交点坐标是（1，0）；
（2）当A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点时，位似中心就是AE 与CG 的交点，
设AE 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），
320k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 故此一次函数的解析式为1122
y x =+…①， 同理，设CG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），
501k b b +=⎧⎨=-⎩，解得151k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故此直线的解析式为115y x =-…② 联立①②得1122115y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
解得52
x y =-⎧⎨=-⎩，故AE 与CG 的交点坐标是（-5，-2）． 故答案为：（1，0）、（-5，-2）．
16．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4，随机取出一个小球后不放回，再随机取出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于4的概率是_____.
【答案】16
【解析】试题解析：画树状图得：
由树状图可知：所有可能情况有12种，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占2种，所以其概率=21=126， 故答案为16
． 1782=_______________．
282.
82=2222【点睛】
本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
18．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AE 是⊙O 的切线，A 为切点，连接BC 并延长交AE 于点D ．若AOC=80°，则ADB 的度数为（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．20°
【答案】B ．
【解析】试题分析：根据AE 是⊙O 的切线，A 为切点，AB 是⊙O 的直径，可以先得出∠BAD 为直角．再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠B ，从而得到∠ADB 的度数．由题意得：∠BAD=90°，∵∠B=∠AOC=40°，∴∠ADB=90°-∠B=50°．故选B ．
考点：圆的基本性质、切线的性质．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图①，在正方形ABCD 的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ，则图中ADE ≌DFC △，可知ED FC =，求得DMC ∠=______．如图②，在矩形()ABCD AB BC >的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ．
()1求证：ED FC =．
()2若20ADE ∠=，求DMC ∠的度数．
【答案】阅读发现：90°；（1）证明见解析；（2）100°
【解析】阅读发现：只要证明15DFC DCF ADE AED ∠=∠=∠=∠=，即可证明．
拓展应用：()1欲证明ED FC =，只要证明ADE ≌DFC △即可．
()2根据DMC FDM DFC FDA ADE DFC ∠=∠+∠=∠+∠+∠即可计算．
【详解】解：如图①中，四边形ABCD 是正方形，
AD AB CD ∴==，90ADC ∠=， ADE ≌DFC △，
DF CD AE AD ∴===，
6090150FDC ∠=+=，
15DFC DCF ADE AED ∴∠=∠=∠=∠=，
601575FDE ∴∠=+=，
90MFD FDM ∴∠+∠=，
90FMD ∴∠=，
故答案为
90
()1ABE 为等边三角形，
60EAB ∴∠=，EA AB =． ADF 为等边三角形，
60FDA ∴∠=，AD FD =．
四边形ABCD 为矩形，
90BAD ADC ∴∠=∠=，DC AB =．
EA DC ∴=．
150EAD EAB BAD ∠=∠+∠=，150CDF FDA ADC ∠=∠+∠=，
EAD CDF ∴∠=∠．
在EAD 和CDF 中，
AE CD
EAD FDC AD DF
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
EAD ∴≌CDF ．
ED FC ∴=；
()2EAD ≌CDF ，
20
ADE DFC
∴∠=∠=，
602020100 DMC FDM DFC FDA ADE DFC
∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=++=．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型．
20．为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：求n的值；若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．
【答案】（1）50；（2）240；（3）1 2 .
【解析】用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到n的值；
先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用1200乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比，即可估计该校喜爱看电视的学生人数；
画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】解：（1）510%50
n=÷=；
（2）样本中喜爱看电视的人数为501520510
---=（人)，
10
1200240
50
⨯=，
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，
所以恰好抽到2名男生的概率61122
=
=． 【点睛】
本题考查了列表法与树状图法；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率，也考查了统计图.
21．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．求m 的取值范围；如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．
【答案】（1）m≤1；（2）3≤m≤1．
【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-1（2m+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1，再利用2x 1x 2+x 1+x 2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m 的取值范围．
试题解析：
（1）根据题意得△＝（－6）2－1（2m ＋1）≥0，
解得m≤1；
（2）根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，
而2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，所以2（2m ＋1）＋6≥20， 解得m≥3，
而m≤1，所以m 的范围为3≤m≤1．
22．2019年8月．山西龙城将迎来全国第二届青年运动会，盛会将至，整个城市已经进入了全力准备的状态．太职学院足球场作为一个重要比赛场馆．占地面积约24300平方米．总建筑面积4790平方米，设有2476个座位，整体建筑简洁大方，独具特色．2018年3月15日该场馆如期开工，某施工队负责安装该场馆所有座位，在安装完476个座位后，采用新技术，效率比原来提升了25%．结来比原计划提前4天完成安装任务．求原计划每天安装多少个座位．
【答案】原计划每天安装100个座位．
【解析】根据题意先设原计划每天安装x 个座位，列出方程再求解.
【详解】解：设原计划每天安装x 个座位，采用新技术后每天安装()125%x +个座位，
由题意得：()247647624764764125%x x
---=+． 解得：100x =．
经检验：100x =是原方程的解．
答：原计划每天安装100个座位．
【点睛】
此题重点考查学生对分式方程的实际应用，掌握分式方程的解法是解题的关键.
23．如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD=∠ABC ，若AC=3，AD=1，求DB 的长．
【答案】BD= 2.
【解析】试题分析：根据∠ACD=∠ABC ，∠A 是公共角，得出△ACD ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质得出AB 的长，从而求出DB 的长．
试题解析：
∵∠ACD=∠ABC ，
又∵∠A=∠A ， ∴△ABC ∽△ACD ，
∴AD AC AC AB
=， ∵3AD=1，
33=， ∴AB=3，
∴BD= AB ﹣AD=3﹣1=2 .
点睛：本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AB 的长是解题关键．
24．计算：101()2sin601tan60(2019)2π--+-+-； 解方程：24(3)9x x x +=-
【答案】（1）2 （2）123,1x x =-=-
【解析】（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用绝对
值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算可得到结果；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）原式=23311-+-+=2；
（2）24(3)9x x x +=-
4(3)(3)(3)+=+-x x x x
()33(3)0++=x x
∴123,1x x =-=-
【点睛】
本题考查了实数运算以及平方根的应用，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
25．如图，BD 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，且∠BAE=∠C ．求证：AE 与⊙O 相切于点A ；若AE ∥BC ，BC=27，AC=22，求AD 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AD=214．
【解析】（1）如图，连接OA ，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO ，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO ，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明OA ⊥BC ，由垂径定理得：AB AC =，FB=
12
BC ，根据勾股定理计算AF 、OB 、AD 的长即可．
【详解】（1）如图，连接OA ，交BC 于F ，
则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴AB AC
=，FB=1
2 BC，
∴AB=AC，
∵
∴
在Rt△ABF中，，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，
∴OB=4，
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，==
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
26．已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，∠AOC的度数为60°，连接PB．
求BC的长；求证：PB是⊙O的切线．
【答案】（1）BC=2；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）连接OB，根据已知条件判定△OBC的等边三角形，则BC=OC=2；（2）欲证明PB是⊙O的切线，只需证得OB⊥PB即可．
（1）解：如图，连接OB．
∵AB⊥OC，∠AOC=60°，
∴∠OAB=30°，
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC的等边三角形，
∴BC=OC．
又OC=2，
∴BC=2；
（2）证明：由（1）知，△OBC的等边三角形，则∠COB=60°，BC=OC．
∵OC=CP，
∴BC=PC，
∴∠P=∠CBP．
又∵∠OCB=60°，∠OCB=2∠P，
∴∠P=30°，
∴∠OBP=90°，即OB⊥PB．
又∵OB是半径，
∴PB是⊙O的切线．
考点：切线的判定．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（）
A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣2
【答案】C
【解析】试题分析：根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根．设m、n是方程x2+kx ﹣3=0的两个实数根，且m=x=1；则有：mn=﹣3，即n=﹣3；故选C．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
2．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、
D为圆心，大于1
2
CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则
下列说法错误的是
A．射线OE是∠AOB的平分线
B．△COD是等腰三角形
C．C、D两点关于OE所在直线对称
D．O、E两点关于CD所在直线对称
【答案】D
【解析】试题分析：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE．
∵在△EOC与△EOD中，OC=OD，CE=DE，OE=OE，
∴△EOC≌△EOD（SSS）．
∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意．B、根据作图得到OC=OD，
∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意．
C、根据作图得到OC=OD，
又∵射线OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分线．
∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意．
D、根据作图不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分线，
∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意．
故选D．
3．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO 为α，则树OA的高度为( )
A．
30
tan
米B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米
【答案】C
【解析】试题解析：在Rt△ABO中，
∵BO=30米，∠ABO为α，
∴AO=BOtanα=30tanα（米）．
故选C．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
4．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）
A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱【答案】A
【解析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选A．
【点睛】
本题考查的是三棱柱的展开图，对三棱柱有充分的理解是解题的关键．．
5．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】试题解析：选项,,A C D 折叠后都不符合题意，只有选项B 折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合.
故选B.
6．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a ﹣b ，x ﹣y ，x+y ，a+b ，x 2﹣y 2，a 2﹣b 2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x 2﹣y 2）a 2﹣（x 2﹣y 2）b 2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A ．我爱美
B ．宜晶游
C ．爱我宜昌
D ．美我宜昌
【答案】C
【解析】试题分析：（x 2﹣y 2）a 2﹣（x 2﹣y 2）b 2=（x 2﹣y 2）（a 2﹣b 2）=（x ﹣y ）（x+y ）（a ﹣b ）（a+b ），因为x ﹣y ，x+y ，a+b ，a ﹣b 四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C ．
考点：因式分解.
7．如图，从边长为a 的正方形中去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A ．22()()a b a b a b +-=-
B ．222()2a b a ab b -=-+
C ．222()2a b a ab b +=++
D ．2()a ab a a b +=+
【答案】A 【解析】由图形可以知道，由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【详解】解：大正方形的面积-小正方形的面积=22a b -，
矩形的面积=()()a b a b +-，
故22()()a b a b a b +-=-，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
8．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线2b x a
=-＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，反比例函数c y x =
图象在第一三象限，只有C 选项图象符合．故选C ．
考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．
9．分式方程
213x x =-的解为（ ） A ．x=-2
B ．x=-3
C ．x=2
D ．x=3 【答案】B
【解析】解：去分母得：2x=x ﹣3，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．故选B ．
10．如图，数轴上的,,A B C 三点所表示的数分别为a b c 、、，其中AB BC =，如果||||||a c b >>那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）
A ．点A 的左边
B ．点A 与点B 之间
C ．点B 与点C 之间
D ．点C 的右边 【答案】C
【解析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A 、B 、C 到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．
【详解】∵|a|＞|c|＞|b|，
∴点A 到原点的距离最大，点C 其次，点B 最小，
又∵AB=BC ，
∴原点O 的位置是在点B 、C 之间且靠近点B 的地方．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为____________海里/时． 【答案】404033
【解析】设该船行驶的速度为x 海里/时，由已知可得BC ＝3x ，AQ ⊥BC ，∠BAQ ＝60°，∠CAQ ＝45°，AB ＝80海里，在直角三角形ABQ 中求出AQ 、BQ ，再在直角三角形AQC 中求出CQ ，得出BC ＝40＋403＝3x ，解方程即可．
【详解】如图所示：
该船行驶的速度为x 海里/时，
3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，
由题意得：AB ＝80海里，BC ＝3x 海里，。