2021-2022学年-有答案-北京市某校九年级(上)期中数学试卷

2021-2022学年北京市某校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题其16分，每小题2分）
1. 抛物线y＝(x−1)2+3的顶点坐标是（）
A.(1, 3)
B.(−1, 3)
C.(1, −3)
D.(3, −1)
2. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100∘，则∠A的度数为（）
A.40∘
B.50∘
C.80∘
D.100∘
3. 下面列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE＝120∘，那么∠B等于（）
A.130∘
B.120∘
C.80∘
D.60∘
5. 在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线表达式为（）
A.y＝2(x+3)2−4
B.y＝2(x+3)2+4
C.y＝2(x−3)2−4
D.y＝2(x−3)2+4
6. 二次函数y＝x2−2x，若点A(−1, y1)，B (2, y2)是它图象上的两点，则y1与y2的大
小关系是（）
A.y1<y2
B.y1＝y2
C.y1>y2
D.不能确定
7. 如图，数轴上有A，B，C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在()
A.点A与点B之间靠近A点
B.点A与点B之间靠近B点
C.点B与点C之间靠近B点
D.点B与点C之间靠近C点
8. 已知一次函数y1＝kx+m(k≠0)和二次函数y2＝ax2+bx+c(a≠0)部分自变量与
对应的函数值如下表
当y2>y1时，自变量x的取值范围是（）
A.−1<x<2
B.4<x<5
C.x<−1或x>5
D.x<−1或x>4
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
点A(2, 1)关于原点对称的点B的坐标为________．
请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②图象过原点，此二次函数的解析式可以是________．
如图所示，P是等边△ABC内一点，△BMC是由△BPA旋转所得，则∠PBM＝
________度．
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为
________．
若抛物线y＝x2+6x−m与x轴有且只有一个公共点，则m的值为________．
如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与
矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为________．
如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α(0∘<α<180∘)后与⊙O
相切，则α的值为________．
如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1, 0)，对称轴为
直线x＝1，与y轴的交点B在(0, 2)和(0, 3)之间（包括这两点），下列结论正确的是
________
①当x>3时，y<0；②3a+b<0；③−1≤a≤−2
；④4ac−b2>8a；
3
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题7分，第22-24题，每小题5分，第25，26题，每小题5分，第27，28题，每小区7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
解方程：2x2−4x−1=0（用配方法）.
阅读下面材料
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题
已知：∠ACB是△ABC的一个内角．作：∠APB＝∠ACB．
小芸的作法如下：如图
①作线段AB的垂直平分线m；
②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；
③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；
④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP
所以∠APB＝∠ACB
根据小芸设计的尺规作图过程
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：连接OA，OB，OC
由作图可知OA＝OB＝OC(________)（填推理的依据）
∵点C，P在⊙O上，弧AB＝弧AB
∴∠APB＝∠ACB．(________)（埴推理的依据）
已知抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．
(1)求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；
(2)设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90∘得到线段CE，连结DE交BC于点F，连
接BE．
(1)求证：△ACD≅△BCE；
(2)当AD=BF时，求∠BEF的度数．
已知二次函数y＝x2+4x+3．
（1）将二次函数的表达式化为y＝a(x−ℎ)2+k的形式．
（2）在平面直角坐标系xOy中，用描点法画出这个二次函数的图象．
（3）观察图象，直接写出当−3≤x≤0时，y的取值范围．
（4）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．
跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）．
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在⊙O的切线CM上取一点P，使得∠CPB ＝∠COA．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）若CD＝6，∠AOC＝60∘，求PB的长．
̂上一动点，连接AP，作∠APC＝45∘，交弦AB于点C．已知
如图，点P是半圆O中AB
AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的
距离为y2cm．（当点P与点A重合时，y1，y2的值为0）．
小元根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小元的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；
经测量m的值是________（保留一位小数）．
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x, y1)，(x, y2)，并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为4.2或2.3
cm（保留一位小数）．
关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a>0)有两个不相等且非零的实数根，探究a，b，c满足的条件．
小华根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小华
的探究过程，第一步，设一元二次方程ax2+bx+c＝0(a>0)对应的二次函数为y＝
ax2+bx+c(a>0)；
第二步：借助二次函数图象．可以得到相应的一元二次方程中a，b，c满足的条什，列如下：
②
（1）请帮助小华将上述表格补充完整；
（2）参考小华的做法，解决问题：
若关于x的一元二次方程x2−(m+5)x−2m＝0有一个负实根和一个正实根，且负实
根大于−1，求实数m的取值范围．
已知抛物线y＝−x2+4x+n，将抛物线在y轴左侧部分沿x轴翻折，翻折后的部分和
抛物线在y轴右侧部分组成图形G，已知M(−1
2, 1)，N(9
2
, 1)
（1）求抛物线y＝−x2+4x+n的对称轴；
（2）当n＝0时，
①若点A(−1, m)在图形G上，求m的值；
②直接写出线段MN与图形G的公共点个数．
（3）当n<0时，若线段MN与图形G恰有两个公共点，直接写出n的取值范围．
已知△ABC中，∠ABC＝90∘，将△ABC绕点B逆时针转90∘后，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，直线DE与直线AC交于点F，连接FB．
（1）如图1，当∠BAC<45∘时，
①求证：DF⊥AC；
②求∠DFB的度数；
（2）如图2，当∠BAC>45∘时，
①请依意补全图2；
②用等式表示线段FC，FB，FE之间的数量关系，并证明．
对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C 于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的
线段的中点时，则称点P为⊙C的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．（1）当⊙O的半径为1时，
①分别判断在点D(1
2, 1
4
)，E(0, −√3)，F(4, 0)中，是⊙O的相邻点有________；
②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说
明你的作图过程；
③点P在直线y＝−x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=−√3
3
x+2√3与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
参考答案与试题解析
2021-2022学年北京市某校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题其16分，每小题2分）
1.
【答案】
A
【考点】
二次函数的性质
【解析】
根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】
抛物线y＝(x−1)2+3的顶点坐标是(1, 3)．
2.
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
【解析】
根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得∠BOC＝2∠A，进而可得答案．
【解答】
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100∘，
∠B0C＝50∘．
∴∠A=1
2
3.
【答案】
D
【考点】
中心对称图形
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
4.
【答案】
B
【考点】
圆内接四边形的性质
【解析】
由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠B+∠ADC＝180∘，又由∠ADC+∠ADE＝180∘，即可求得∠B＝∠ADE＝120∘．
【解答】
∵∠ADC+∠ADE＝180∘，∠B+∠ADC＝180∘，
∴∠B＝∠ADE＝120∘．
5.
【答案】
C
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解析】
把抛物线y＝2x2的顶点(0, 0)先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点的坐标为(3, −4)，即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．
【解答】
抛物线y＝2x2的顶点坐标为(0, 0)，把点(0, 0)先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点的坐标为(3, −4)，
所以平移后所得的抛物线的解析式为y＝2(x−3)2−4．
6.
【答案】
C
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
分别计算自变量为−1、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】
当x＝−1时，y1＝x2−2x＝3；
当x＝2时，y2＝x2−2x＝0；
∵3>0，
∴y1>y2，
7.
【答案】
C
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
画出图象，利用图象法即可解决问题；
【解答】
解：如图，观察图象可知，
原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点.
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
二次函数与不等式（组）
【解析】
利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1, 0)和(4, 5)，−1<x<4时，y1>y2，从而得到当y2>y1时，自变量x的取值范围．
【解答】
∵当x＝0时，y1＝y2＝0；当x＝4时，y1＝y2＝5；
∴直线与抛物线的交点为(−1, 0)和(4, 5)，
而−1<x<4时，y1>y2，
∴当y2>y1时，自变量x的取值范围是x<−1或x>4．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
【答案】
(−2, −1)
【考点】
关于原点对称的点的坐标
【解析】
根据点A和点B关于原点对称可知，B点的坐标与A点的坐标互为相反数．
【解答】
∵点A(−2, −1)与B关于原点对称，
∴点A和点B的横、纵坐标分别互为相反数，
∴B点坐标为(−2, −1)．
【答案】
y＝−x2
【考点】
二次函数的性质
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
根据题目中的条件，可以写出一个二次函数，注意本题答案不唯一．
【解答】
∵一个二次函数满足条件：①开口向下；②图象过原点，
∴该函数可以是：y＝−x2，
【答案】
60
【考点】
旋转的性质
等边三角形的性质
【解析】
连接PM，根据旋转的性质，易得△BCM≅△BAP，由全等的性质进而可得∠MBC＝∠PBA，∠MBC+∠CBP＝∠PBA+∠CBP＝∠ABC＝60∘，代入数据即可得答案．
连接PM，
根据旋转的性质，△BCM≅△BAP，
则∠MBC＝∠PBA，则∠MBC+∠CBP＝∠PBA+∠CBP＝∠ABC＝60∘，
即∠PBM＝60度．
【答案】
5
【考点】
勾股定理
垂径定理
【解析】
连接OC，设⊙O的半径为R，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理列式计算，得到答案．
【解答】
连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝R−2，
∵CD⊥AB，
CD＝4，
∴CE=1
2
由勾股定理得，OC2＝OE2+CE2，即R2＝(R−2)2+42，
解得，R＝5，
则⊙O的半径为5，
【答案】
9
【考点】
二次函数的性质
抛物线与x轴的交点
【解析】
根据抛物线y＝x2+6x−m与x轴有且只有一个公共点，可以得到当y＝0时，0＝x2+ 6x−m，△＝62−4×1×m＝0，从而可以得到m的值．
【解答】
∵抛物线y＝x2+6x−m与x轴有且只有一个公共点，
∴当y＝0时，0＝x2+6x−m，△＝62−4×1×m＝0，
解得，m＝9，
【答案】
(12−x)(8−x)＝60
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】
∵道路的宽应为x米，
∴由题意得，(12−x)(8−x)＝60，
60∘或120∘
【考点】
切线的性质
旋转的性质
【解析】
线段AB绕点A顺时针旋转α(0∘<α<180∘)后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，根据切线的性质得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出∠OAC′＝30∘，从而得到∠BAB′＝60∘，同理可得∠OAC″＝30∘，则∠BAB″＝120∘．
【解答】
线段AB绕点A顺时针旋转α(0∘<α<180∘)后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，
则OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，
在Rt△OAC′中，∵OC′＝1，OA＝2，
∴∠OAC′＝30∘，
∴∠BAB′＝60∘，
同理可得∠OAC″＝30∘，
∴∠BAB″＝120∘，
综上所述，α的值为60∘或120∘．
【答案】
①②③
【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据题意和图象可以分别计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】
∵二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1, 0)，对称轴为直线x＝1，
∴x＝−1和x＝3时的函数值相等，
∴当x＝3时，y＝0，当x>3时，y<0，故①正确，
∵−b
2a
=1，
∴2a+b＝0，
∵a<0，
∴3a+b<0，故②正确，
∵{a−b+c=0
2a+b=0
2≤c≤3
，
解得，−1≤a≤−2
3
，故③正确，
∵4ac−b 2
4a
>2，a<0，
∴4ac−b2<8a，故④错误，
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题7分，第22-24题，每小题5分，第25，26题，每小题5分，第27，28题，每小区7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
【答案】
解：2x 2−4x −1=0
x 2−2x −12
=0 x 2−2x +1=
12+1 (x −1)2=32，
∴ x 1=1+√62，x 2=1−√62
． 【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．然后利用直接开平方法即可求解．
【解答】
解：2x 2−4x −1=0
x 2−2x −12
=0 x 2−2x +1=
12+1 (x −1)2=32，
∴ x 1=1+
√62，x 2=1−√62
． 【答案】
如图即为补全的图形；
同圆中的半径相等,同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
作图—复杂作图
线段垂直平分线的性质
三角形的外接圆与外心
圆周角定理
【解析】
（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据圆的性质即可完成证明．
【解答】
如图即为补全的图形；
证明：连接OA，OB，OC
由作图可知OA＝OB＝OC（同圆中的半径相等）
∵点C，P在⊙O上，
AB̂=AB̂，
∴∠APB＝∠ACB（同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）．
故答案为：同圆中的半径相等同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．【答案】
解：(1)令y=0，则−x2+2x+3=0，
解得：x1=−1，x2=3．
则A的坐标是(−1, 0)，B的坐标是(3, 0)．
y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
则对称轴是x=1，顶点C的坐标是(1, 4).
(2)D的坐标是(1, −4)．
AB=3−(−1)=4，CD=4−(−4)=8，
易知四边形ABCD为菱形，
则四边形ACBD的面积是：1
2AB⋅CD=1
2
×4×8=16．
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
菱形的面积
解一元二次方程-因式分解法
关于x轴、y轴对称的点的坐标
【解析】
（1）令y=0解方程即可求得A和B的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；
（2）首先求得D的坐标，然后利用面积公式即可求解．
【解答】
解：(1)令y=0，则−x2+2x+3=0，
解得：x1=−1，x2=3．
则A的坐标是(−1, 0)，B的坐标是(3, 0)．y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
则对称轴是x=1，顶点C的坐标是(1, 4).
(2)D的坐标是(1, −4)．
AB=3−(−1)=4，CD=4−(−4)=8，易知四边形ABCD为菱形，
则四边形ACBD的面积是：1
2AB⋅CD=1
2
×4×8=16．
【答案】
(1)证明：由题意可知：CD=CE，∠DCE=90∘，∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB，
∠BCE=∠DCE−∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
{
AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≅△BCE(SAS)．
(2)解：∵∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠A=45∘.
由(1)可知：∠A=∠CBE=45∘，
∵AD=BF，AD=BE，
∴BE=BF，
∴∠BEF=1
2
(180∘−45∘)=67.5∘．
【考点】
旋转的性质
等腰直角三角形
全等三角形的性质
【解析】
(1)由题意可知：CD=CE，∠DCE=90∘，由于∠ACB=90∘，所以∠ACD=∠ACB−∠DCB，∠BCE=∠DCE−∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≅△
BCE(SAS).
(2)由△ACD≅△BCE(SAS)可知：∠A=∠CBE=45∘，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．
【解答】
(1)证明：由题意可知：CD=CE，∠DCE=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB，
∠BCE=∠DCE−∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
{
AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≅△BCE(SAS)．
(2)解：∵∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠A=45∘.
由(1)可知：∠A=∠CBE=45∘，
∵AD=BF，AD=BE，
∴BE=BF，
∴∠BEF=1
2
(180∘−45∘)=67.5∘．
【答案】
y＝x2+4x+3＝(x+2)2−1；
抛物线的对称轴为直线x＝−2，顶点坐标为(−2, −1)，
当x＝0时，y＝x2+4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为(0, 3)；
当y＝0时，x2+4x+3＝0，解得x1＝−1，x2＝−3，则抛物线与x轴的交点坐标为(−1, 0)，(−3, 0)，
如图，
当−3≤x≤0时，y的取值范围为−1≤y≤3；
当x>−2时，y随x的增大而增大，当x<−2时，y随x的增大而减小，当x＝−2时，函数有最小值−1．
【考点】
二次函数的性质
二次函数图象与几何变换
待定系数法求二次函数解析式
二次函数的三种形式
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
（1）利用完全平方公式进行配方即可；
（2）先确定抛物线的顶点坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标，然后描点即可；
（3）结合函数图象，写出当−3≤x≤0时y的取值范围；
（4）根据二次函数的性质求解．
【解答】
y＝x2+4x+3＝(x+2)2−1；
抛物线的对称轴为直线x＝−2，顶点坐标为(−2, −1)，
当x＝0时，y＝x2+4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为(0, 3)；
当y＝0时，x2+4x+3＝0，解得x1＝−1，x2＝−3，则抛物线与x轴的交点坐标为(−1, 0)，(−3, 0)，
如图，
当−3≤x≤0时，y的取值范围为−1≤y≤3；
当x>−2时，y随x的增大而增大，当x<−2时，y随x的增大而减小，当x＝−2时，函数有最小值−1．
【答案】
设抛物线的解析式为y＝a(x−ℎ)2+k，
根据题意得：抛物线的顶点坐标为(15, 45)，
∴y＝a(x−15)2+45，
∵与x轴交于点A(60, 0)，
∴0＝a(60−15)2+45，
，
解得：a=−1
45
(x−15)2+45，
∴解析式为y=−1
45
(0−15)2+45＝40，
令x＝0得：y=−1
45
∴点B的坐标为(0, 40)，
∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米．
【考点】
二次函数的应用
【解析】
利用待定系数法确定抛物线的解析式后求得与y轴的交点即可确定本题的答案．
【解答】
设抛物线的解析式为y＝a(x−ℎ)2+k，
根据题意得：抛物线的顶点坐标为(15, 45)，
∴y＝a(x−15)2+45，
∵与x轴交于点A(60, 0)，
∴0＝a(60−15)2+45，
解得：a=−1
45
，
∴解析式为y=−1
45
(x−15)2+45，
令x＝0得：y=−1
45
(0−15)2+45＝40，
∴点B的坐标为(0, 40)，
∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米．
【答案】
证明：∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝90∘，
∵∠AOC＝∠CPB，∠AOC+∠BOC＝180∘，
∴∠BOC+∠CPB＝180∘，
∵∠PBO＝360∘−∠CPB−∠BOC−∠PCO＝90∘，∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
连接OP，
∵CD⊥AB，CD＝6，
∴CE=1
2
CD＝3，
∵sin∠COE=CE
CO =√3
2
，
∴∠COE＝60∘，
∵PB，PC是⊙O的切线，
∴∠CPO＝∠BPO，∠OCP＝∠OBP，
∴∠COP＝∠BOP＝60∘，
∴PB＝OB⋅tan60∘＝6，
【考点】
切线的判定与性质
圆周角定理
【解析】
（1）根据切线的性质得到OC⊥PC，求得∠OCP＝90∘，推出∠BOC+∠CPB＝180∘，求得OB⊥PB，于是得到结论；
（2）连接OP，根根据垂径定理得到CE=1
2
CD＝3，根据三角函数的定义得到∠COE＝60∘，根据切线的性质得到∠CPO＝∠BPO，∠OCP＝∠OBP，于是得到结论．
【解答】
证明：∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝90∘，
∵∠AOC＝∠CPB，∠AOC+∠BOC＝180∘，
∴∠BOC+∠CPB＝180∘，
∵∠PBO＝360∘−∠CPB−∠BOC−∠PCO＝90∘，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
连接OP，
∵CD⊥AB，CD＝6，
∴CE=1
2
CD＝3，
∵sin∠COE=CE
CO =√3
2
，
∴∠COE＝60∘，
∵PB，PC是⊙O的切线，
∴∠CPO＝∠BPO，∠OCP＝∠OBP，∴∠COP＝∠BOP＝60∘，
∴PB＝OB⋅tan60∘＝6，
【答案】
2.7
①当AC＝PC时，
即：y1＝y2，
从图象可以看出：x＝4.2；
②当AP＝PC时，
画出函数：y＝x的图象，
图象与y1的交点处x的为2.3；
故：答案为4.2或2.3．
【考点】
圆与圆的综合与创新
圆与相似的综合
圆与函数的综合
【解析】
（1）测量即可；
（2）通过描点，画出如下图象；
（3）分AC＝PC、AP＝PC两种情况，分别求解即可．【解答】
经测量：m＝2.7；
①当AC＝PC时，
即：y1＝y2，
从图象可以看出：x＝4.2；
②当AP＝PC时，
画出函数：y＝x的图象，
图象与y1的交点处x的为2.3；
故：答案为4.2或2.3．
【答案】
有题意得：①答案为：方程有两个异号的实数根；
②答案如图所示；
>0，c>0；
③答案为：a>0，△>0，−b
2a
由讨论中的第二种情况，可得：c<0，且x＝−1时，y>0，
即−2m<0且y＝1+(m+5)−2m>0，
解得：0<m<6．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）有题意即可求解；
（2）由讨论中的第二种情况，可得：c>0，且x＝−1时，y>0，即可求解．【解答】
有题意得：①答案为：方程有两个异号的实数根；
②答案如图所示；
>0，c>0；
③答案为：a>0，△>0，−b
2a
由讨论中的第二种情况，可得：c<0，且x＝−1时，y>0，
即−2m<0且y＝1+(m+5)−2m>0，
解得：0<m<6．
【答案】
y＝−x2+4x+n的对称轴为x＝2；
当n＝0时，y＝−x2+4x，
①点A(−1, m)在图形G上，则点(−1, −m)在y＝−x2+4x上，
∴−m＝−1−4＝−5，
∴m＝5；
②画出图象，可知线段MN与图形G的公共点有三个；
抛物线y＝−x2+4x+n的左侧沿x轴翻折后的解析式为y＝x2−4x−n，∵n<0，
∴−n>0，
∴y＝x2−4x−n与y轴的交点在y轴的正半轴上，
如图1：当(0, 1)在y＝x2−4x−n上时，n＝−1，
此时−x2+4x−1＝1时x2−4x+2＝0，
解得x＝2+√2，x＝2−√2，
∴y＝x2−4x−n与线段AB有两个不同的交点，
如图2：当−x2+4x+n＝1，即x2−4x+1−n＝0，
△＝16−4(1−n)＝12+4n＝0时，
n＝−3，
此时G与线段AB有一个交点，
∴−3<n<−1时线段MN与图形G恰有两个公共点．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）由对称轴公式直接可求；
（2）①由函数的对称性可知，点A(−1, m)在图形G 上，则点(−1, −m)在y ＝−x 2+4x 上；②画出图象，可知线段MN 与图形G 的公共点有三个；
（3）y ＝x 2−4x −n 与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，当(0, 1)在y ＝x 2−4x −n 上时，n ＝−1，此时−x 2+4x −1＝1时x 2−4x +2＝0解得x ＝2+√2，x ＝2−√2，此时y ＝x 2−4x −n 与线段AB 有两个不同的交点；当−x 2+4x +n ＝1，即x 2−4x +1−n ＝0，△＝16−4(1−n)＝12+4n ＝0时，此时G 与线段AB 有一个交点，则可确定在这两种情况之间时，G 与线段AB 有两个不同的交点．
【解答】
y ＝−x 2+4x +n 的对称轴为x ＝2；
当n ＝0时，y ＝−x 2+4x ，
①点A(−1, m)在图形G 上，则点(−1, −m)在y ＝−x 2+4x 上，
∴ −m ＝−1−4＝−5，
∴ m ＝5；
②画出图象，可知线段MN 与图形G 的公共点有三个；
抛物线y ＝−x 2+4x +n 的左侧沿x 轴翻折后的解析式为y ＝x 2−4x −n ，
∵ n <0，
∴−n>0，
∴y＝x2−4x−n与y轴的交点在y轴的正半轴上，如图1：当(0, 1)在y＝x2−4x−n上时，n＝−1，
此时−x2+4x−1＝1时x2−4x+2＝0，
解得x＝2+√2，x＝2−√2，
∴y＝x2−4x−n与线段AB有两个不同的交点，
如图2：当−x2+4x+n＝1，即x2−4x+1−n＝0，△＝16−4(1−n)＝12+4n＝0时，
n＝−3，
此时G与线段AB有一个交点，
∴−3<n<−1时线段MN与图形G恰有两个公共点．
【答案】
①由旋转知，∠ABD ＝∠ABC ＝90∘，∠D ＝∠A ，
∴ ∠D +∠BED ＝90∘，
∴ ∠A +∠BED ＝90∘，
∵ ∠BED ＝∠AEF ，
∴ ∠A +∠AEF ＝90∘，
∴ ∠AFE ＝90∘，
∴ DF ⊥AC ；
②如图1，
过点B 作BG ⊥BF 交DF 于G ，
∴ ∠FBG ＝90∘，
由旋转知，∠D ＝∠A ，BD ＝AB ，∠ABD ＝90∘，
∴ ∠FBG ＝∠ABD ，
∴ ∠DBG ＝∠ABF ，
∴ △BDG ≅△BAF(ASA)，
∴ BG ＝BF ，
∵ ∠FBG ＝90∘，
∴ ∠BFD ＝45∘；
①如图2所示，
②CF −EF =√2BF ．
过点B作BG⊥BF交AC于G，
∴∠FBG＝90∘，
由旋转知，∠C＝∠E，BC＝BE，
∵∠ABC＝90∘，
∴∠FBG＝∠ABC，
∴∠CBG＝∠EBF，
∴△BCG≅△BEF(ASA)，
∴CG＝EF，BG＝BF，
∵∠FBG＝90∘，
∴∠BFD＝45∘，
∴FG=√2BF，
∵CF＝FG+CG，
∴FG＝CF−CG＝CF−EF=√2BF，
即：CF−EF=√2BF．
【考点】
几何变换综合题
【解析】
（1）①由旋转知，∠ABD＝∠ABC＝90∘，∠D＝∠A，再用等角的余角相等，判断出∠A+∠AFE＝90∘，即可得出结论；
②构造出△BDG≅△BAF，进而判断出△BFG是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）①根据题意直接画出图形，
②同（1）①的方法构造出，△BCG≅△BEF(ASA)，得出CG＝EF，BG＝BF，即可得出结论．
【解答】
①由旋转知，∠ABD＝∠ABC＝90∘，∠D＝∠A，
∴∠D+∠BED＝90∘，
∴∠A+∠BED＝90∘，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠A+∠AEF＝90∘，
∴∠AFE＝90∘，
∴DF⊥AC；
②如图1，
过点B作BG⊥BF交DF于G，
∴∠FBG＝90∘，
由旋转知，∠D＝∠A，BD＝AB，∠ABD＝90∘，∴∠FBG＝∠ABD，
∴∠DBG＝∠ABF，
∴△BDG≅△BAF(ASA)，
∴BG＝BF，
∵∠FBG＝90∘，
∴∠BFD＝45∘；
①如图2所示，
②CF−EF=√2BF．
过点B作BG⊥BF交AC于G，
∴∠FBG＝90∘，
由旋转知，∠C＝∠E，BC＝BE，
∵∠ABC＝90∘，
∴∠FBG＝∠ABC，
∴∠CBG＝∠EBF，
∴△BCG≅△BEF(ASA)，
∴CG＝EF，BG＝BF，
∵∠FBG＝90∘，
∴∠BFD＝45∘，
∴FG=√2BF，
∵CF＝FG+CG，
∴FG＝CF−CG＝CF−EF=√2BF，
即：CF−EF=√2BF．
【答案】
D或E
x+2√3，
令x＝0代入y=−√3
3
∴y＝2√3，
∴N(0, 2√3)，
x+2√3，
令y＝0代入y=−√3
3
∴x＝6，
∴M(6, 0)，
∵点P是半径为1的⊙C的相邻点，
∴0≤PC≤3且PC≠1，
∴点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，∵点C在x轴上，
∴点C的横坐标范围的取值范围：0≤x≤9．
【考点】
圆与圆的综合与创新
圆与相似的综合
圆与函数的综合
【解析】
（1）由相邻点的定义可知：在圆C内的点必为相邻点，在圆C外的点必须满足，2AB2＝PC2−1，其中A为PB的中点，且AB≤2，所以若半径为1的圆C有相邻点P，则PC 的长必须满足0≤PC≤3且PC≠1，分别求出D、E、F到⊙O的距离即可判断．求出直线y＝−x+3与坐标轴的交点坐标分别为(0, 3)和(3, 0)，根据（1）问中结论可知，P的横坐标的取值范围是：0≤x≤3；
（2）根据（1）问中可知：0≤PC≤3且PC≠1，又因为点P在线段MN上移动，所以点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，再根据点C在x轴上，即可得出C的横坐标取值范围．
【解答】
由定义可知，
当点P在⊙C内时，
由垂径定理可知，点P必为⊙C的相邻点，
此时，0≤PC<1；
当点P在⊙C外时，
设点A是PB的中点，
连接PC交⊙C于点M，
延长PC交⊙C于点N，
连接AM，BN，
∵∠AMP+∠NMA＝180∘，
∠B+∠NMA＝180∘，
∵ ∠P ＝∠P ，
∴ △AMP ∽△NBP ，
∴ PA PM =PN PB ，
∴ PA ⋅PB ＝PM ⋅PN ，
∵ 点A 是PB 的中点，
∴ AB ＝PA ，
又∵ ⊙C 的半径为1，
∴ 2AB 2＝(PC −CM)(PC +CN)，
∴ 2AB 2＝PC 2−1，
又∵ AB 是⊙C 的弦，
∴ AB ≤2，
∴ 2AB 2≤8，
∴ PC 2−1≤8，
∴ PC 2≤9，
∴ PC ≤3，
∵ 点P 在⊙C 外，
∴ PC >1，
∴ 1<PC ≤3，
当点P 在⊙C 上时，
此时PC ＝1，但不符合题意，
综上所述，半径为1的⊙C ，当点P 与圆心C 的距离满足：0≤PC ≤3，且PC ≠1时，点P 为⊙C 的相邻点；
①∵ D(12, 14)， ∴ DO =√(12)2+(14)2=√54
， ∵ E(0, −√3)，
∴ OE =√3，
∵ F(4, 0)，
∴ OF ＝4，
∴ D 和E 是⊙O 的相邻点；
②连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于A 、B 两点；
③令x ＝0代入y ＝−x +3，
∴ y ＝3，
令y ＝0代入y ＝−x +3，
∴ x ＝3，
∴ y ＝−x +3与坐标轴的交点为(0, 3)和(3, 0)
∵ 由于点P 在直线y ＝−x +3上，且点P 是⊙O 的相邻点，
∴ 0≤PO ≤3，且PO ≠1
又∵ 点P 在⊙O 外，
∴ 1<PO ≤3，
∴ p 的横坐标范围为：0≤x ≤3；
令x ＝0代入y =−
√33x +2√3，
∴ y ＝2√3，
x+2√3，
令y＝0代入y=−√3
3
∴x＝6，
∴M(6, 0)，
∵点P是半径为1的⊙C的相邻点，
∴0≤PC≤3且PC≠1，
∴点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，∵点C在x轴上，
∴点C的横坐标范围的取值范围：0≤x≤9．。