专题15 菱形的判定与性质-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练(人教版)(原卷版)

专题15菱形的判定与性质
★知识归纳
●菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
要点梳理：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
●菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
要点梳理：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的
面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
●菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
要点梳理：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
★实操夯实
一．选择题（共12小题）
1．如图，丝带重叠的部分一定是（）
A．正方形B．矩形C．菱形D．都有可能
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点且CD＝4，则OE等于（）
A．1B．2C．3D．4
3．若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为（）
A．48B．24C．14D．12
4．下列说法中，错误的是（）
A．对顶角相等
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．两直线平行，同位角相等
D．两边及一角对应相等的两个三角形全等
5．从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝CD
6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则正确的结论是（）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．四边形ADBC是菱形
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）
A．B．C．D．
8．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）
A．BE平分∠ABC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．AB＝AC
9．关于菱形，下列说法错误的是（）
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直
C．四条边相等D．对角线相等
10．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF ＝（）
A．15°B．30°C．40°D．50°
11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DE＝DC；⑥BF ＝BC，正确结论的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
12．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：
①CN⊥BD；
②MN＝NP；
③四边形MNCP是菱形；
④ND平分∠PNM．
其中正确的有（）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
二．填空题（共4小题）
13．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F 和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是cm．
14．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，AB＝5，点E是直线AB、CD之间任意一点，连接AE、BE、DE、CE，则△EAB和△ECD的面积和等于．
15．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为．
16．如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为．
三．解答题（共10小题）
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC的垂直平分线交AB于点E，连接CE，BF∥CE交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）当∠A满足什么条件时，四边形BCEF是菱形？回答并证明你的结论．
18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．
（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
19．菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．
（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；
（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
21．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC 上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当∠BAC＝度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
22．如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE∥AC，且DE＝CF，连接AE、DE、EF．（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若∠BAF+∠AED＝180°，求证：四边形ABFE为菱形．
23．如图，在▱ABCD中，点G是对角线AC上一点，DE垂直平分CG，交GC于点O，交BC于点E，作GF∥AD 交DE于点F，连接FC．
（1）求证：四边形GFCE是菱形；
（2）点H为线段AO上一点，连接HD，HF，当∠1＝∠2时，若AD＝6，CF＝2，求AH•CH的值．
24．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
25．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求DP的长．
26．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？。