高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.1抛物线及其标准方程课时作业北师大版选修2-1(2021年整理)

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2018-2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.1 抛物线及其标准方程课时作业北师大版选修2-1
编辑整理：
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3。

2.1 抛物线及其标准方程
［基础达标]
1。

已知抛物线的焦点坐标是F（0,－2),则它的标准方程为( ）
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
解析：选D.错误!＝2，∴p＝4，焦点在y轴负半轴上，故其标准方程为x2＝－8y。

错误!抛物线x2＝8y的准线方程为（）
A．y＝－2 B．x＝－2
C．y＝－4 D．x＝－4
解析：选A。

其焦点为(0，2)，故准线方程为y＝－2.
错误!点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以P为圆心，以|PF|为半径的圆与准线l（）
A．相交B．相切
C．相离D．位置由F确定
解析：选B。

圆心P到准线l的距离等于|PF｜，∴相切．
错误!如图,南北方向的公路L，A地在公路正东2 km处，B地在A北偏东60 °方向2 3 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等．现要在曲线PQ上某处建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建公路的费用都为a万元/km,那么，修建这两条公路的总费用最低是（）
A．(2＋错误!)a万元B．(2错误!＋1）a万元
C．5a万元D．6a万元
解析：选C。

依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低,只需求出B到直线L的距离即可．∵B地在A地北偏东60°方向2 3 km处，∴B到点A的水平距离为3 km，∴B到直线L的距离为3＋2＝5(km），那么，修建这两条公路的总费用最低为5a万元，故选C。

错误!一个动圆的圆心在抛物线y2＝8x上,且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( ）
A．（0，2）B．（0，－2)
C．(2，0）D．(4,0）
解析:选C.由抛物线定义知圆心到准线x＋2＝0的距离等于到焦点F（2,0）的距离,∴动圆必过定点(2，0）．
错误!经过点P（4，－2)的抛物线的标准方程为________．
解析：设抛物线的标准方程为y2＝2px或x2＝－2py,把P（4，－2)分别代入得(－2）2＝8p 或16＝－2p×(－2）；∴p＝错误!或p＝4，故对应的标准方程为y2＝x和x2＝－8y.
答案：y2＝x或x2＝－8y
7。

已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px（p〉0）的准线相切，则p＝________．解析:圆方程可化为(x－3)2＋y2＝16,圆心为(3，0)，半径为4，由题意知1＝错误!，∴p ＝2。

答案：2
错误!过点A（0，2)且和抛物线C：y2＝6x相切的直线l方程为________．
解析：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝0,与抛物线C相切;当直线l的斜率存在时，设其方程为y－2＝kx，与y2＝6x联立，消去x得y－2＝错误!y2，
即ky2－6y＋12＝0，由题意可知k≠0，Δ＝(－6）2－48k＝0，∴k＝错误!，∴y－2＝错误! x.
即为3x－4y＋8＝0.
答案:x＝0或3x－4y＋8＝0
错误!已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上,抛物线上一点M（m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程．
解:设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F的坐标为错误!.因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF｜＝5，
故错误!
解得错误!
所以所求的抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2错误!，准线方程为y＝2。

错误!一辆卡车高3 m，宽1。

6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a m,求能使卡车通过的a的最小整数值．
解:以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py（p>0），则点B的坐标为（错误!，－错误!），由点B
在抛物线上，∴(a
2
）2＝－2p·（－错误!）,p＝错误!，
∴抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y）代入抛物线方程，得y＝－错误!.
∴点E到拱底AB的距离为错误!－|y｜＝错误!－错误!〉3.
解得a>12。

21,∵a取整数，∴a的最小整数值为13。

［能力提升］
1.O为坐标原点,F为抛物线C:y2＝4错误!x的焦点，P为C上一点,若|PF｜＝4错误!，则△POF
的面积为( )
A．2 B．2错误!
C．2错误!D．4
解析：选C.设P(x0，y0),则|PF｜＝x0＋2＝42,
∴x0＝3错误!，
∴y错误!＝4错误!x0＝4错误!×3错误!＝24,∴|y0｜＝2错误!。

∵F（错误!，0）,∴S△POF＝错误!｜OF|·｜y0｜＝错误!×错误!×2错误!＝2错误!。

错误!从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M,且｜PM｜＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．
解析：∵抛物线方程为y2＝4x，则准线方程为x＝－1.
令P点坐标为P(x0，y0)，由图可知，
|PM｜＝x0＋1＝5.∴x0＝4。

把x0＝4代入y2＝4x,解得y0＝±4，
∴△MPF的面积为错误!｜PM|×|y0｜＝错误!×5×4＝10.
答案：10
错误!已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A（－2,4），在此抛物线上求一点P，使|PF｜＋｜PA|的值最小．
解：∵(－2）2<8×4,
∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．
如图，设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B，
由抛物线的定义可知：|PF|＋｜PA｜＝|PQ｜＋|PA|≥｜AQ|≥｜AB|，当且仅当P,Q，A三点共线时，|PF｜＋｜PA|取得最小值，即为｜AB|。