广东省各市中考数学分类解析专题4图形的变换

一、选择题
1. （2013年广东佛山3分）并排放置的等底等高的圆锥和圆柱(如图)的主视图是【】
A． B． C． D．
2. （2013年广东广州3分）如图所示的几何体的主视图是【】
A B C D
3. （2013年广东广州3分）在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是【】
图①图②
A 向下移动1格
B 向上移动1格
C 向上移动2格
D 向下移动2格
4. （2013年广东茂名3分）如图，由两个相同的正方体和一个圆锥体组成一个立体图形，其俯视图是【】
A． B． C． D．
5. （2013年广东梅州3分）从上面看如图所示的几何体，得到的图形是【】
A． B． C． D．
6. （2013年广东深圳3分）如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸
片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是【】
A.8或23
B.10或423
+
+ C.10或23 D.8或423
7. （2013年广东省3分）下列几何体中，俯视图为四边形的是【】
A. B. C. D.
8. （2013年广东湛江4分）如下左图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是【】
A. B. C. D.
二、填空题
1. （2013年广东广州3分）如图，Rt △ABC 的斜边AB=16, Rt △ABC 绕点O 顺时针旋转后得到Rt A B C '''∆，则Rt A B C '''∆的斜边A B ''上的中线C D '的长度为 ▲ .
2. （2013年广东梅州3分）如图，已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是 ▲ ．
3. （2013年广东深圳3分）如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…………按这样的规律下去，第6幅图中有▲个正方形。

第1幅图有1个正方形，
第2幅图有1+4=5个正方形，
第3幅图有1+4+9=14个正方形，
……
则第6幅图有1+4+9+16+25+36=91个正方形。

4. （2013年广东省4分）如图，将一张直角三角板纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是▲ .
5. （2013年广东珠海4分）若圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为▲ cm2（结果保留π）
6. （2013年广东珠海4分）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是▲．
三、解答题
1. （2013年广东佛山6分）如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．参考公式：圆锥的侧面积S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长．
2. （2013年广东佛山11分）我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．
已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a．
（1）把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明(见题答卡表格里的示例)；
要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．
（2）图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．
解：在表格中作答
分割图形分割或图形说明
示例示例①分割成两个菱形。

②两个菱形的边长都为a,锐角都为
60°。

【答案】解：（1）在表格中作答：
分割图形分割或图形说明
①分割成两两个等腰梯形．
②两个等腰梯形的腰长都为a，
上底长都为a
2，下底长都为3
a
2
，
上底角都为120°，下底角都为60°。

①分割成一个等边三角形、一个等腰三角形、一个直角三
角形．
②等边三角形的边长为a，
等腰三角形的腰长为a，顶角为120°．
直角三角形两锐角为30°、60°，三边为a、3a、2a．（2）如图①，连接BD，取AB中点E，连接DE．
∵AB=2a，E为AB中点，∴AE=BE=a。

，
∵AD=AE=a，∠A=60°，
∴△ADE为等边三角形，∠ADE=∠DEA=60°，
DE=AE=a。

又∵∠BED+∠DEA=180°，
∴∠BED=180°－∠DEA=180°－60°=120°。

又∵DE=BE=a，∠BED=120°，∴∠BDE=∠DBE=1
2
（180°－120°）=30°。

∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°+30°=90°。

∴Rt△ADB中，∠ADB=90°。

由勾股定理得：BD2+AD2=AB2，即BD2+a2=（2a）2，解得
BD=3a。

AC=7a。

3. （2013年广东广州10分）已知四边形ABCD是平行四边形（如图），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD.
（1）利用尺规作出△AˊBD.（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设D Aˊ与BC交于点E，求证：△BAˊE≌△DCE.
4. （2013年广东广州14分）已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.
（1）当OC=22时（如图），求证：CD是⊙O的切线；
（2）当OC＞22时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE.
①当D为CE中点时，求△ACE的周长;
②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED的值；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）如图①，连接OD ，则
1
OD AB 2
2
==。

∵CD=OA=2，OC=22， ∴
()
2
22222
CD OA 228OC 22
8
+=+===，。

∴222CD OA OC +=。

∴△OCD 是直角三角形，且∠ODC=900。

∴CD 为⊙O 的切线。

（2）如图②，连接OE ，OD ，
∵OD=OE=CD=2，D 是CE 的中点， ∴OD=OE=CD=DE=2。

∴ODE ∆为等边三角形。

∴0EOD EDO 60∠=∠=。

∵EDO DOC DCO ∠=∠+∠，DOC DCO ∠=∠， ∴
DOC DCO 30∠=∠=，∴
EOD DOC 90∠+∠=，即
0EOC EOA 90∠=∠=。

根据勾股定理求得：
22AE AO OE 22
=+=，
22OC CE OE 23
=-=。

∴△ACE 的周长为62223++。

（3）存在，这样的梯形有2个，(如图③所示)，
连接OE ，
由四边形AODE 为梯形的定义可知：AE ∥OD ， ∴EAC DOC ∠=∠。

∵OD=CD ，∴DCO DOC ∠=∠。

∴EAC DCA ∠=∠，∴AE=CE 。

∵EDO 2DCA ∠=∠，
∴EDO EOC ∠=∠，DEO COE ∠=∠。

∴ DEO ∆∽OED ∆。

∴
2EO CE
OE CE ED ED OE
=⇒=⋅，即：
2OE AE ED =⋅。

∴2AE ED OE 4⋅==。

【考点】双动点问题，圆的基本性质，切线性质，各类特殊三角形、梯形的判定和性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理。

【分析】（1）由已知，根据勾股定理的逆定理可得∠ODC=900，从而CD 为⊙O 的切线。

（2）由已知，判断△EOC 和△EOA 都是直角三角形，根据已知和勾股定理可求各边长而得到△ACE 的周长。

（3）由梯形的定义可知：AE ∥OD ，根据平行线同位角相等的性质，和等腰三角形等边对等角的性质，可证得DEO ∆∽OED ∆，从而由比例式可求解。

5. （2013年广东广州14分）已知AB 是⊙O 的直径，AB=4，点C 在线段AB 的延长线上运动，点D 在⊙O 上运动（不与点B 重合），连接CD ，且CD=OA. （1）当OC=22时（如图），求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）当OC ＞22时，CD 所在直线于⊙O 相交，设另一交点为E ，连接AE. ①当D 为CE 中点时，求△ACE 的周长;
②连接OD ，是否存在四边形AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED 的值；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）如图①，连接OD ，则
1
OD AB 2
2
==。

∵CD=OA=2，OC=22， ∴
()
2
22222
CD OA 228OC 22
8
+=+===，。

∴222CD OA OC +=。

∴△OCD 是直角三角形，且∠ODC=900。

∴CD 为⊙O 的切线。

（2）如图②，连接OE ，OD ，
∵OD=OE=CD=2，D 是CE 的中点， ∴OD=OE=CD=DE=2。

∴ODE ∆为等边三角形。

∴0EOD EDO 60∠=∠=。

∵EDO DOC DCO ∠=∠+∠，DOC DCO ∠=∠， ∴
DOC DCO 30∠=∠=，∴
EOD DOC 90∠+∠=，即
0EOC EOA 90∠=∠=。

根据勾股定理求得：
22AE AO OE 22
=+=，
22OC CE OE 23
=-=。

∴△ACE 的周长为62223++。

（3）存在，这样的梯形有2个，(如图③所示)，
连接OE ，
由四边形AODE 为梯形的定义可知：AE ∥OD ， ∴EAC DOC ∠=∠。

∵OD=CD ，∴DCO DOC ∠=∠。

∴EAC DCA ∠=∠，∴AE=CE 。

∵EDO 2DCA ∠=∠，
∴EDO EOC ∠=∠，DEO COE ∠=∠。

∴ DEO ∆∽OED ∆。

∴
2EO CE
OE CE ED ED OE
=⇒=⋅，即：
2OE AE ED =⋅。

∴2AE ED OE 4⋅==。

【考点】双动点问题，圆的基本性质，切线性质，各类特殊三角形、梯形的判定和性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理。

【分析】（1）由已知，根据勾股定理的逆定理可得∠ODC=900，从而CD 为⊙O 的切线。

（2）由已知，判断△EOC 和△EOA 都是直角三角形，根据已知和勾股定理可求各边长而得到△ACE 的周长。

（3）由梯形的定义可知：AE ∥OD ，根据平行线同位角相等的性质，和等腰三角形等边对等角的性质，可证得DEO ∆∽OED ∆，从而由比例式可求解。

6. （2013年广东茂名7分）在格纸上按以下要求作图，不用写作法： （1）作出“小旗子”向右平移6格后的图案；
（2）作出“小旗子”绕O 点按逆时针方向旋转90°后的图案．
【答案】解；（1）如图所示：蓝色小旗子即为所求。

（2）如图所示：红色小旗子即为所求。

【考点】利用平移和旋转设计图案。

【分析】（1）将对应顶点向右平移6个单位即可得出答案。

（2）将各对应点的坐标绕O逆时针旋转90°即可得出答案。

7. （2013年广东梅州11分）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：
探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．
探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：探究一：
（1）依题意画出图形，如答图1所示：
由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，
则∠CFP=30°。

∴CF=BC•sin30°=3×33=3。

∴CP=CF•tan ∠CFP=3×33
=1。

过点A 作AG ⊥BC 于点G ，则AG=12
BC=32
，
∴PG=CG ﹣CP=32﹣1=12。

在Rt △APG 中，由勾股定理得：
22
223110AP AG PG 222⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
++。

（2）由（1）可知，FC=3．
如答图2所示，以点A 为圆心，以FC=3长为半径
画弧，与BC 交于点P 1、P 2，则AP 1=AP 2=3。

过点A 过AG ⊥BC 于点G ，则AG=12
BC=32
，
在Rt △AGP1中，
113AG 3
2cos P AG AP 23
∠===
，∴∠P 1AG=30°。

∴∠P 1AB=45°﹣30°=15°。

同理求得，∠P 2AG=30°，
∠P 2AB=45°+30°=75°。

∴∠PAB 的度数为15°或75°。

探究二：△AMN 的周长存在有最小值。

如答图3所示，连接AD ，
∵△ABC 为等腰直角三角形，点D 为斜边BC 的中点， ∴AD=CD ，∠C=∠MAD=45°。

∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，∴∠MDA=∠NDC 。

∵在△AMD 与△CND 中，MAD C AD CD
MDA NDC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩，
∴△AMD ≌△CND （ASA ）。

∴AM=CN 。

设AM=x ，则CN=x ，
232
AN AC CN BC CN x
22
=-=-=-， 在Rt △AMN 中，由勾股定理得：
22
2222
329329MN AM AN x x 2x 32x x 2244
⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴△AMN 的周长为：AM+AN+MN=
2
32329
x 244⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭ 。

当x= 324时，有最小值，最小值为329332242++=。

∴△AMN 周长的最小值为3322
+。

8. （2013年广东省9分）有一副直角三角板，在三角板ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF 中，
∠FDE=90°，DF=4，DE=43。

将这副直角三角板按如图（1）所示位置摆放，点B 与点F 重合，直角边BA 与FD 在同一条直线上，现固定三角板ABC ，将三角板DEF 沿射线BA 方向平行移动，当点F 运动到点A 时停止运动。

（1）如图（2），当三角板DEF 运动到点D 与点A 重合时，设EF 与BC 交于点M ，则
∠EMC= ▲ 度；
（2）如图（3），在三角板DEF 运动过程中，当EF 经过点C 时，求FC 的长；
（3）在三角板DEF 运动过程中，设BF=x ，两块三角板重叠部分面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并求出对应的x 取值范围。

【答案】解：（1）15。

（2）如题图
3所示，当
EF
经过点
C
时，
AC 66
FC 43
sin AFC sin603
2
=
===∠︒。

（3）在三角板DEF 运动过程中，分三段讨论： ①当0≤x≤2时，如答图1所示，
设DE 交BC 于点G ．过点M 作MN ⊥AB 于点N ，则
△MNB 为等腰直角三角形，MN=BN 。

又∵
MN 3
NF MN BN NF BF
tan603
===+︒，， ∴NF+BF=MN ，即
3
MN M 3
x N +=。

∴
33MN x
2
+=。

∴
()2
2BDG BFM 11113331y S S BD DG BF MN x 4x x x 4x 8
222224
∆∆++=-=⋅-⋅=+-⋅=-++。

②当2＜x≤623-时，如答图2所示，
过点M 作MN ⊥AB 于点N ，则△MNB 为等腰直角三角
形，MN=BN 。

又∵
MN 3
NF MN BN NF BF
tan603
===+︒，， ∴NF+BF=MN ，即
3
MN M 3
x N +=。

∴
33MN x
2
+=。

∴
22
ABC BFM
11113333y S S AB AC BF MN 6x x x 18222224∆∆++=-=⋅-⋅=⨯-⋅=-+。

③当623-＜x≤6时，如答图3所示， 由BF=x ，则AF=AB-BF=6－x ， 设
AC
与EF
交
于
点
M
，
则
()
AM AF tan6036x =⋅︒=-，
∴
()()2
AFM
113y S AF AM 6x 36x x 63x 183222
∆==⋅=-⋅-=-+。

综上所述，y 与x 的函数解析式为：
()()
222314x 80x 2433y 182<x 6234363x 183623<x 62⎧+++≤≤⎪⎪⎪+⎪=+≤-⎨⎪⎪-+-≤⎪⎪⎩。

9. （2013年广东珠海9分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点P 为AC 边上的一点，将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转（点P 对应点P′），当AP 旋转至AP′⊥AB 时，点B 、P 、P′恰好在同一直线上，此时作P′E ⊥AC 于点E ．
（1）求证：∠CBP=∠ABP ；
（2）求证：AE=CP ；
（3）当CP 3PE 2
=，BP′=55时，求线段AB 的长．
【答案】解：（1）证明：∵AP′是AP 旋转得到，∴AP=AP′。

∴∠APP′=∠AP′P 。

∵∠C=90°，AP′⊥AB ，∴∠CBP+∠BPC=90°，
∠ABP+∠AP′P=90°。

又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等）。

∴∠CBP=∠ABP 。

（2）证明：如图，过点P 作PD ⊥AB 于D ，
∵∠CBP=∠ABP ，∠C=90°，
∴CP=DP 。

∵P′E ⊥AC ，∴∠EAP′+∠AP′E=90°。

又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E 。

在△APD 和△P′AE 中，
∵0PAD AP E ADP P EA 90
AP AP ∠=∠'⎧⎪∠=∠'=⎨⎪='⎩
， ∴△APD ≌△P′AE （AAS ）。

∴AE=DP 。

∴AE=CP 。

（3）∵CP 3PE 2=，∴设CP=3k ，PE=2k ，则AE=CP=3k ，AP′=AP=3k+2k=5k 。

在Rt △AEP′中，()()22P E 5k 3k 4k '=-=，
∵∠C=90°，P′E ⊥AC ，∴∠CBP+∠BPC=90°，
∠EP′P+∠P′PE=90°。

∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠P′PE 。

又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′。

∴AB P A P E PE '='。

即AB P A 4k 2k '=。

∴1P A AB 2
'=。

在Rt △ABP′中，222AB P A BP +'='，即()2221AB AB 554+=。

解得AB=10。