备战2020中考：中考必须吃透的28个数学知识点

备战2020中考：中考必须吃透的28个数学知识点
一、相似三角形(7个考点)
考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：(1)理解相似形的概念；
(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。

考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。

注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。

考点3：相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。

考点4：相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用。

考点5：三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用。

考点6：向量的有关概念
考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算
二、锐角三角比(2个考点)
考点8：锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值。

考点9：解直角三角形及其应用考核要求：(1)理解解直角三角形的意义；(2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。

三、二次函数(4个考点)
考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：(1)通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念；(2)知道常值函数；(3)
知道函数的表示方法，知道符号的意义。

考点11：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：(1)掌握求函数解析式的方法；(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法。

注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原。

考点12：画二次函数的图像考核要求：(1)知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像(2)理解二次函数的图像，体会数形结合思想；(3)会画二次函数的大致图像。

考点13：二次函数的图像及其基本性质考核要求：(1)借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系；(2)会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质。

注意：(1)解题时要数形结合；(2)二次函数的平移要化成顶点式。

四、圆的相关概念(6个考点)
考点14：圆心角、弦、弦心距的概念考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断。

考点15：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明。

考点16：垂径定理及其推论垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一。

考点17：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映。

在圆与圆的位置关系中，常需要分类讨论求解。

考点18：正多边形的有关概念和基本性质考核要求：熟悉正多边形的有关概念(如半径、边心距、中心角、外角和)，并能熟练地运用正多边形的基本性质进行推理和计算，在正多边形的计算中，常常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化为直角三角形的计算问题。

考点19：画正三、四、六边形。

考核要求：能用基本作图工具，正确作出正三、四、六边形。

五、数据整理和概率统计(9个考点)
考点20：确定事件和随机事件考核要求：(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系；(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件。

考点21：事件发生的可能性大小，事件的概率考核要求：(1)知道各种事件发生的可能性大小不同，能判断一些随机事件发生的可能事件的大小并排出大小顺序；(2)知道概率的含义和表示符号，了解必然事件、不可能事件的概率和随机事件概率的取值范围；(3)理解随机事件发生的频率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频率估计事件的概率。

注意：(1)在给可能性的大小排序前可先用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性的大小；(2)事件的概率是确定的常数，而概率是不确定的，可是近似值，与试验的次数的多少有关，只有当试验次数足够大时才能更精确。

考点22：等可能试验中事件的概率问题及概率计算
考核要求(1)理解等可能试验的概念，会用等可能试验中事件概率计算公式来计算简单事件的概率；
(2)会用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率，会用区域面积之比解决简单的概率问题；(3)
形成对概率的初步认识，了解机会与风险、规则公平性与决策合理性等简单概率问题。

注意：(1)计算前要先确定是否为可能事件；(2)用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率过程中要将所有等可能情况考虑完整。

考点23：数据整理与统计图表考核要求：(1)知道数据整理分析的意义，知道普查和抽样调查这两种收集数据的方法及其区别；(2)结合有关代数、几何的内容，掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数据的方法，并能通过图表获取有关信息。

考点24：统计的含义考核要求：(1)知道统计的意义和一般研究过程；(2)认识个体、总体和样本的区别，了解样本估计总体的思想方法。

考点25：平均数、加权平均数的概念和计算考核要求：(1)理解平均数、加权平均数的概念；(2)掌握平均数、加权平均数的计算公式。

注意：在计算平均数、加权平均数时要防止数据漏抄、重抄、错抄等错误现象，提高运算准确率。

考点26：中位数、众数、方差、标准差的概念和计算考核要求：(1)知道中位数、众数、方差、标准差的概念；(2)会求一组数据的中位数、众数、方差、标准差，并能用于解决简单的统计问题。

注意：(1)当一组数据中出现极值时，中位数比平均数更能反映这组数据的平均水平；(2)求中位数之前必须先将数据排序。

考点27：频数、频率的意义，画频数分布直方图和频率分布直方图考核要求：(1)理解频数、频率的概念，掌握频数、频率和总量三者之间的关系式；(2)会画频数分布直方图和频率分布直方图，并能用于解决有关的实际问题。

解题时要注意：频数、频率能反映每个对象出现的频繁程度，但也存在差别：在同一个问题中，频数反映的是对象出现频繁程度的绝对数据，所有频数之和是试验的总次数；频率反映的是对象频繁出现的相对数据，所有的频率之和是1.
考点28：中位数、众数、方差、标准差、频数、频率的应用考核要求：(1)了解基本统计量(平均数、众数、中位数、方差、标准差、频数、频率)的意计算及其应用，并掌握其概念和计算方法；(2)正确理解样本数据的特征和数据的代表，能根据计算结果作出判断和预测；(3)能将多个图表结合起来，综合处理图表提供的数据，会利用各种统计量来进行推理和分析，研究解决有关的实际生活中问题，然后作出合理的解决。

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．请你估计一下，22222222222
(21)(31)(41)(991)(1001)
123499100-----∙∙±∙∙ 的值应该最接近于（ ）
A.1
B.
12
C.
1100
D.
1200
2．如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的内心，∠FOG ＝120”，绕点O 旋转∠FOG ，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD ＝OE ：②S △ODE ＝S △BDE ：③四边形ODBE 的面积始终等于
83
3
；④△BDE 周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
3．下列各因式分解正确的是（ ） A ．x 2+2x ﹣1＝（x ﹣1）2 B ．﹣x 2+（﹣2）2＝（x ﹣2）（x+2） C ．x 3﹣4x ＝x （x+2）（x ﹣2） D ．（x+1）2＝x 2+2x+1
4．化简21
1x x x x
-++的结果为（ ） A ．2x
B ．
1
x x
- C ．
1
x x
+ D ．
1
x x - 5．关于x 的方程233
4
ax a x +=-的解为1x =，则a =( )
A.1
B.3
C.-1
D.-3
6．小红要购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个a 元，白色珠子每个b 元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费（ ）
A.(3a+4b)元
B.(4a+3b)元
C.4(a+b)元
D.3(a+b)元
7．“十•一”黄金周期间，某风景区在7天假期中，共接待游客的人数（单位：万人）统计如下表： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数
1.2
2
2.5
2
1.2
2
0.6
其中众数和中位数分别是（ ）
A ．1.2，2
B ．2，2.5
C ．2，2
D ．1.2，2.5
8．在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为BD 上一点，且BE ＝2DE ．若△DEC 的面积为2，则△AOB 的面积为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．分解因式3a 2b ﹣6ab+3b 的结果是（ ） A ．3b （a 2
﹣2a ） B ．b （3a 2
﹣6a+1） C ．3（a 2b ﹣2ab ） D ．3b （a ﹣1）2
10．如图，在菱形
中，
，
，点是这个菱形内部或边上的一点，若以点，，为
顶点的三角形是等腰三角形，则，（，两点不重合）两点间的最短距离为（ ）
A.
B. C. D.
11．分式方程
1232
x x =-的解为（ ） A ．25x =-
B ．1x =-
C ．1x =
D ．25
x =
12．在一次数学竞赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的众数、中位数、方差分别是（ ） A ．5、3、4.6 B ．5、5、5.6
C ．5、3、5.6
D ．5、5、6.6
二、填空题
13．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是_____．
14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB=10，CD=8，则BE=_____．
15．如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y＝k
x
的图象过点A，则k＝（）
A．3 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣6
16．如图，DE∥BC，DE：BC＝3：4，那么AE：CE＝_____．
17．分解因式：8a3﹣2a＝_____．
18．如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1=46°，则∠2=______．
三、解答题
19．如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m 从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒(0＜t≤4)．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S1，在直线m的运动过程中，当t为
何值时，S1为△OAB面积的
5 16
？
20．某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y(千克)与销售单价x(元千克)
之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)如果该超市销售这种商品每天获得3900元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
(3)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
21．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处于灯塔P的距离
.
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（0，1），与反比例函数y＝k
x
（x＞0）
的图象交于B（m，2）．（1）求k和b的值；
（2）在双曲线y＝k
x
（x＞0）上是否存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形？若存在，求出点C坐标；
若不存在，请说明理由．
23．某特产店出售大米，一天可销售20袋，每袋可盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，决定采取降价措施，据统计发现，若每袋降价2元，平均每天可多售4袋．
（1）设每袋大米降价为x（x为偶数）元时，利润为y元，写出y与x的函数关系式．
（2）若每天盈利1200元，则每袋应降价多少元？
（3）每袋大米降价多少元时，商店可获最大利润？最大利润是多少？
24．解不等式组：
()
234
2
3
x x
x
x
⎧-≤-
⎪
⎨-
<
⎪⎩
，并求非负整数解．
25．（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）解不等式组：
3123
31
2
2
x x
x
x
+<+⎧
⎪
⎨-
>
⎪⎩
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C B D A C A D D A B 二、填空题
13．1 8
14．2
15．-3
16．3
17．2a（2a+1）（2a﹣1）18．157°
三、解答题
19．(1)A(4，0)，B(0，4)；(2)t＝7
3
或t＝3．
【解析】
【分析】
（1）由直线的解析式，分别让x、y为0，可求得A、B的坐标；
（2）由已知易求得三角形ABO的面积，然后用t表示出重合部分的面积，根据题意列出方程即可得到答案．
【详解】
（1）y＝﹣x+4，
令y=0，得x=4，令x=0，得y=4，
故A(4，0)，B(0，4)；
(2)S△ABO＝1
2
×4×4＝8，
当0＜t≤2时，S△MNP＝1
2
t2，
如图1由题意得1
2
t2＝8×
5
16
，
解得此时t＝5(不合题意舍去)，如图2，当2＜t≤4时，
S1＝S△ABO﹣S△OMN﹣2S△MAF，
即S 1＝8﹣12t 2﹣2×12(4﹣t)2＝5
16
×8， 解得t ＝
7
3
或t ＝3． 【点睛】
本题考查了一次函数的应用；在求解第二问时，要思考全面，分类讨论的应用是正确解答本题的关键． 20．(1)y ＝﹣x+180；(2)该商品的销售单价为50元；(3)销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润6000元． 【解析】 【分析】
（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得：（x −20）（−x ＋180）＝3900，即可求解；
（3）由题意得：w ＝（x −20）（−x ＋180）＝−（x −100）2＋6400，即可求解． 【详解】
解：(1)将点(30，150)、(80，100)代入一次函数表达式得：1503010080k b k b =+⎧⎨=+⎩
，
解得：1
180
k b =-⎧⎨
=⎩，
故函数的表达式为：y ＝﹣x+180； (2)由题意得：(x ﹣20)(﹣x+180)＝3900， 解得：x ＝50或150(舍去150)， 故：该商品的销售单价为50元；
(3)由题意得：w ＝(x ﹣20)(﹣x+180)＝﹣(x ﹣100)2+6400， ∵﹣1＜0，故当x ＜100时，W 随x 的增大而增大，而30≤x≤80， ∴当x ＝80时，W 由最大值，此时，w ＝6000，
故销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润6000元． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x ＝2b
a
-时取得． 21．406海里 【解析】 【分析】
过点P 作PC ⊥AB ，则在Rt △APC 中易得PC 的长，再在直角△BPC 中求出PB ． 【详解】
作PC ⊥AB 于C 点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45° AP=80（海里）．
在Rt△APC中，cos∠APC=PC PA
，
∴PC=PA•cos∠APC=403（海里）．
在Rt△PCB中，cos∠BPC=PC PB
，
∴PB＝
403
406
45
PC
cos BPC cos
∠︒
＝＝（海里）．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是406海里．
【点睛】
解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22．（1）k＝2，b＝1；（2）C（2，1）．
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入直线y=x+b中求出b，进而求出点B坐标，最后代入反比例函数解析式中，求出k；（2）先求出AB的长，再分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点C的坐标，判断即可得出结论．【详解】
（1）将A（0，1）代入y＝x+b中得，0+b＝1
∴b＝1
将B（m，2）代入y＝x+1中得，m+1＝2
∴m＝1
∴B（1，2）
将B（1，2）代入y＝k
x
中得，k＝1×2＝2
∴k＝2，b＝1；
（2）∵A（0，1），B（1，2），∴AB＝2，
由（1）知，b＝1，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
分情况讨论：
△ABC 是等腰直角三角形 ①当∠CAB ＝90°时，AC ＝AB ， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x+1， 设C （c ，﹣c+1）， ∴AC ＝222c c +=，
∴c ＝±1，
∴C 为（﹣1，2）或（1，0）， 将点C 代入2
y x
=
中判断出都不在双曲线上，． ②当∠ABC ＝90°时，同①的方法得，C 为（2，1）或（0，3）， 将点C 坐标代入2
y x
=
中得，判断出点C （2，1）在双曲线上， ③当∠ACB ＝90°时， ∵A （0，1），B （1，2）， 易知，C 为（1，1）或（0，2）， 将点C 坐标代入2
y x
=中判断出都不在双曲线上， ∴C （2，1）． 【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，等腰直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
23．（1）y=-2x 2
+60x+800（2）x=20（3）x=14或16时获利最大为1248元 【解析】 【分析】
（1）根据题意设出每天降价x 元以后，准确表示出每天大米的销售量，列出利润y 关于降价x 的函数关系式；
（2）根据题意列出关于x 的一元二次方程，通过解方程即可解决问题； （3）运用函数的性质即可解决． 【详解】
（1）当每袋大米降价为x （x 为偶数）元时，利润为y 元， 则每天可出售20+4×
2
x
=20+2x ； 由题意得：y=（40-x ）（20+2x ） =-2x 2+80x-20x+800 =-2x 2+60x+800；
（2）当y=1200时，-2（x-15）2+1250=1200， 整理得：（x-15）2=25，
解得x=10或20但为了尽快减少库存，所以只取x=20， 答：若每天盈利1200元，为了尽快减少库存，则应降价20元；
（3）∵y=-2（x-15）2+1250=1200，
解得x=15，
∵每袋降价2元，
则当x=14或16时获利最大为1248元．
【点睛】
题考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题；解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题．
24．不等式组的解集为﹣1＜x≤2，非负整数解是0，1，2．
【解析】
【分析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】
()23423x x x x ①②⎧-≤-⎪⎨-<⎪⎩
， 解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x ＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴不等式组的非负整数解是0，1，2．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
25．（1）1212,12x x =+=-；（2）﹣1＜x ＜2．
【解析】
【分析】
（1）运用配方法求解；（2）先求各不等式解集，再求公共解集.
【详解】
解：（1）∵x 2
﹣2x ﹣1＝0
∴x 2﹣2x ＝1
∴（x ﹣1）2＝2
∴x ﹣1＝±2，
解得，x 1＝1+2，x 2＝1﹣2； （2）31233122x x x x +<+⎧⎪⎨->⎪⎩
①② 由不等式①，得
x ＜2，
由不等式②，得
x＞﹣1，
故原不等式组的解集是﹣1＜x＜2．
【点睛】
考核知识点：解不等式组，一元二次方程.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．甲、乙两人将分别标有2,3,5,6四个数字的小球放入一个不透明的袋子里并搅匀,这些小球除数字外都相同,然后两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为x,再由乙猜这个小球上的数字,记为y.如果x,y 满足|x-y|≤2,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则两人“心领神会”的概率是( )
A ．12
B ．716
C ．58
D ．34
2．下列计算结果正确的是( )
A ．24=±4
B ．(-3m 2)·(-2m 3)=6m 6
C ．(-tan60°-3)-1=-
36 D ．(-a+2b)2=a 2-4b 2 3．已知二次函数y ＝x 2﹣6x+m 的最小值是1，那么m 的值等于（ ）
A ．10
B ．4
C ．5
D ．6
4．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的是（ ）
A ．∠1＝50°，∠2＝40°
B ．∠1＝40°，∠2＝50°
C ．∠1＝30°，∠2＝60°
D ．∠1＝∠2＝45°
5．已知点()1,3x ，()2,2x 是直线 2 1y x =-+上两点，则下列正确的是( )
A.120x x ->
B.120x x -<
C.12x x =
D.120x x +> 6．将抛物线y ＝x 2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为
（ ）
A.y ＝x 2+3x+6
B.y ＝x 2+3x
C.y ＝x 2﹣5x+10
D.y ＝x 2
﹣5x+4 7．如图，四边形ACBD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，点E 是DB 延长线上的一点，且∠DCE ＝90°，DC 与AB 交于点G ．当BA 平分∠DBC 时，BD DE
的值为（ ）
A ．12
B ．13
C ．-32
D ．32
8．下列说法，不正确的是（ ）
A ．A
B A
C CB -= B ．如果AB C
D =，那么AB CD =
C ．+a b b a +=r r r r
D ．若非零向量()0a k b k =≠r r g ，则//a b
9．下列事件属于必然事件的是（ ）
A ．乘车到十字路口，遇到红灯
B ．在装有4个红球，6个篮球的暗箱里，一次摸3个球，摸到篮球
C ．某学校有学生367人，至少有两人的生日相同
D ．明年沙糖桔的价格在每公斤6元以上
10．九(1)班有2名升旗手，九(2)班、九(3)班各1名，若从4人中随机抽取2人担任下周的升旗手，则抽取的2人恰巧都来自九(1)班的概率是( ) A.34 B.23 C.25 D.16
11．下列计算正确的是（ ）
A ．（b ﹣a ）（a+b ）＝a 2﹣b 2
B ．2212255x xy x y ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭
C ．（﹣2x 2）3＝﹣6x 3y 6
D ．（6x 3y 2）÷（3x ）＝2x 2y 2
12．如图是某市一天内的气温变化情况，则下列说法中错误的是( )
A ．这一天的最高气温是24C
B ．从2时至14时，气温在逐渐升高
C ．从14时至24时，气温在逐渐降低
D ．这一天的最高气温与最低气温的差为14C
二、填空题
13．4与9的比例中项是_____．
14．若2x ＝3，2y ＝5，则22x+y ＝_____．
15．如图，正方形ABCD 中，点,E F 分别在线段,BC CD 上运动，且满足045EAF ∠=，,AE AF 分别与BD 相交于点,M N ，下列说法中：①BE DF EF +=；②点A 到线段EF 的距离一定等于正方形的边长；③若1tan 2BAE ∠=，则1tan 3
DAF ∠=；④若2BE =，3DF =，则15AEF S ∆=．其中结论正确的是___________；（将正确的序号填写在横线上）
16．如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1．点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0），设点M 转过的路程为m （0＜m ＜1）．
（1）当m=14
时，n=_____； （2）随着点M 的转动，当m 从
13变化到23时，点N 相应移动的路径长为_____．
17．如图，//m n ，1115∠=︒，2100∠=︒，则3∠=______°；
18．抛掷一枚质地均匀的硬币，连续3次都是正面向上，则关于第4次抛掷结果，P （正面向上）___P （反面向上）．（填写“﹥”“﹤”或“=”）
三、解答题
19．今有鸡兔同笼，上有二十八头，下有七十八足．问鸡兔各几何？试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
20．核电站第3号反应堆发生了爆炸．为了抑制核辐射进一步扩散，东电公司决定向6号反应堆注水冷却，铀棒被放在底面积为100m 2、高为20m 的长方体水槽中的一个圆柱体桶内，如图1所示，向桶内注入流量一定的水，注满后，继续注水，直至注满水槽为止(假设圆柱体桶在水槽中的位置始终不改变)． 水槽中水面上升的高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系如图2所示(铀棒的体积忽略不计)．
(1)若圆柱体的体积为Vm 3，则将水槽中的水注入至与圆柱体等高时所需水量是多少？(用含V 的式子表示)；
(2)求圆柱体的底面积；
(3)若圆柱体的高为9m ，求注水的速度及注满水槽所用的时间．
21．如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC ＝0.6米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB ＝75°，支架AF 的长为2.5米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD ＝1.4米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE ＝60°，求篮框D 到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，
sin75°≈0.9，．tan75°≈3.7，3≈1.7，2≈1.4）
22．(1)解方程：x2+x＝8．
(2)解不等式组：
5316
5
14
2
x x
x
x
≤+
⎧
⎪
⎨-
<+
⎪⎩
．
23．如图直线y1=-x+4，y2=3
4
x+b都与双曲线y=
k
x
交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两
点
（1）求k的值；
（2）直接写出当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，求此时点P的坐标．
24．如图，△ABC内接于⊙O，BC为直径，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于D和E，P为CB延长线上一点，PB＝5，PA＝10，且∠DAP＝∠ADP．
（1）求证：PA与⊙O相切；
（2）求sin∠BAP的值；
（3）求AD•AE的值．
25．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．
（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；
（2）求证：BD＝AB+AE．
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C A D B A A B C D D D
二、填空题
13．±6
14．
15．①②③④
16．-1 23 3
17．145
18．＝
三、解答题
19．鸡有17只，兔有11只．【解析】
【分析】
设鸡有x只，兔有y只，根据鸡和兔共有28只头和78条腿，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
设鸡有x只，兔有y只，
依题意，得：
28 2478 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
17
11 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：鸡有17只，兔有11只．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．(1)5V；(2)圆柱体的底面积为20m2；(3) 注水速度为10m3/s，注满水的时间为200s．
【解析】
【分析】
（1）由函数图象及已知可计算出将水槽中的水注入至与圆柱体等高时所需水量为90V÷18．
（2）当注水18s时，圆柱体刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是hm，这时水的体积为100h，
据100h＝90×
1
18
Sh，求出S；
（3）由已知其速度为Sh
18
，再由10t＝100×20，求出时间t．
【详解】
(1)90V÷18＝5V．
(2)设圆柱体的底面积为Sm2，高为hm．
100h＝90×
1
18
Sh，S＝20，即圆柱体的底面积为20m2
(3)若h＝9，则注水速度为Sh
18
＝
1
18
×20×9＝10m3/s
所以，10t＝100×20，得t＝200(s)
即注满水的时间为200s．
【点睛】
此题考查的是一次函数的应用，关键是由已知和函数图象，列算式求解．21．篮框D到地面的距离是2.9米．
【解析】
【分析】
延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．【详解】
解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝,AB BC
∴AB ＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.22，
∴GM ＝AB ＝2.22，
在Rt △AGF 中，∵∠FAG ＝∠FHE ＝60°，sin ∠FAG ＝,FG AF
∴sin60°＝3,2.52
FG = ∴FG ＝2.125，
∴DM ＝FG+GM ﹣DF≈2.9米．
答：篮框D 到地面的距离是2.9米．
【点睛】
考查解直角三角形的应用，构造直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键.
22．(1)x ＝
1332-±；(2)﹣1＜x≤8． 【解析】
【分析】
（1）利用根的判别式即可解答
（2）分别求出不等式的解集，即可解答
【详解】
(1)整理得：x 2+x ﹣8＝0，
∵a ＝1、b ＝1、c ＝﹣8，
∴b 2﹣4ac ＝12﹣4×1×(﹣8)＝1+32＝33＞0，
则x ＝-1332
± ； (2)解不等式组：53165142
x x x x ≤+⎧⎪⎨-+⎪⎩①＜② ， 解不等式①得：x≤8，
解不等式②得：x ＞﹣1，
∴原不等式组的解集是﹣1＜x≤8．
【点睛】
此题考查解一元二次方程和不等式组的解，解题关键在于掌握运算法则
23．（1）k=3；（2）x＞1；（3）P（-2
3
，0）或（
5
3
，0）．
【解析】【分析】
（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=k
x
，可求得k的值；
（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的的解集为x＞1；
（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则CP=1
3
BC=
7
3
，或BP=CP=
1
3
BC=
7
3
，
即可得到OP=3-7
3
=
2
3
，或OP=4-
7
3
=
5
3
，进而得出点P的坐标．
【详解】
解：（1）把A（1，m）代入y1=-x+4，可得m=-1+4=3，∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=k
x
，可得k=1×3=3，
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的解集为：x＞1；
（3）y1=-x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=3
4
x+b，可得3=
3
4
×1+b，
∴b=9
4
，
∴y2=3
4
x+
9
4
，
令y=0，则x=-3，即C（-3，0），
∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成1：2两部分，
∴CP=1
3
BC=
7
3
，或BP=
1
3
BC=
7
3
，
∴OP=3-7
3
=
2
3
，或OP=4-
7
3
=
5
3
，
∴P（-2
3
，0）或（
5
3
，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式
联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
24．（1）详见解析；（2）
55；（3）90. 【解析】
【分析】
（1）连接OA ，由三角形的外角性质和角平分线得出∠PAB ＝∠C ，由等腰三角形的性质得出∠OAC ＝∠C ＝∠PAB ，由圆周角定理得出∠BAC ＝90°，证出∠OAP ＝90°，即AP ⊥OA ，即可得出PA 与⊙O 相切；
（2）证明△PAB ∽△PCA ，得出1,2AB PB AC PA == 得出1555
AB BC ==，即可得出结果； （3）连接CE ，由切割线定理求出PC ＝20，得出BC ＝PC ﹣PB ＝15，求出
535,5
AB BC ==265AC AB ==，再证明△ACE ∽△ADB ，得出AE AC AB AD =，即可得出结果． 【详解】
（1）证明：连接OA ，如图1所示：
∵AE 平分∠BAC ，
∴∠BAD ＝∠CAD ，
∵∠DAP ＝∠BAD+∠PAB ，∠ADP ＝∠CAD+∠C ，∠DAP ＝∠ADP ，
∴∠PAB ＝∠C ，
∵OA ＝OC ，
∴∠OAC ＝∠C ＝∠PAB ，
∵BC 为直径，
∴∠BAC ＝90°，即∠OAC+∠OAB ＝90°，
∴∠PAB+∠OAB ＝90°，即∠OAP ＝90°，
∴AP ⊥OA ，
∴PA 与⊙O 相切；
（2）解：∵∠P ＝∠P ，∠PAB ＝∠C ，
∴△PAB ∽△PCA ， ∴1,2
AB PB AC PA == ∵∠CAB ＝90°， ∴15,55
AB BC == ∴sin ∠BAP ＝sin ∠C ＝
55； （3）解：连接CE ，如图2所示：
∵PA 与⊙O 相切，
∴PA 2＝PB×PC，即102＝5×PC，
∴PC ＝20，
∴BC ＝PC ﹣PB ＝15，
∵5,5
AB BC = ∴535,5AB BC ==265AC AB ==， ∵AE 是∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
∵∠E ＝∠ABD ，
∴△ACE ∽△ADB ， ∴AE AC AB AD
= ∴356590AD AE AB AC ⋅=⋅=⨯=．
【点睛】
本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定与性质、切割线定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键．
25．（1）27BC =；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）延长AH 、BC 相交于点M ，可证明△MCH ∽△MBA ，得出MH=AH ，BM=2BC ；由∠DOH=∠AOB=60°，∠ODH=∠OBA=60°，∠OHD=∠OAB=60°，可得△DOH 是等边三角形，AE=OA-OE=OA-OD=2，得点E 是OA 的中点，根据“三线合一”可得BE 的长度、BE ⊥OA ，根据勾股定理求出BM 的长，而BC=
12
BM ； （2）AB=OB ，由（1）知，AE=OE=OD ，可证BD=OB+OD=AB+AE ．
【详解】
解：延长AH 、BC 相交于点M ，。