新北师大版第7章第5节空间向量与向量运算课件(80张)

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3．(多选题)下列各组向量中，是平行向量的是( ) A．a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4) B．c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0) C．e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0) D．g＝(－2，3，5)，h＝(16，－24，40) ABC 对于 A，有 b＝－2a，所以 a 与 b 是平行向量； 对于 B，有 d＝－3c，所以 c 与 d 是平行向量； 对于 C，f 是零向量，与 e 是平行向量； 对于 D，不满足 g＝λh，所以 g 与 h 不是平行向量．
向量总是_共__面_的
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4.空间向量的线性运算及运算律 (1)线性运算：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向 量运算，如下：O→C ＝O→A ＋O→B ＝a＋b，B→A ＝O→A －O→B ＝a－b；O→P ＝ λa(λ∈R). (2)空间向量加法的运算律 ①加法交换律：a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
2．空间向量的概念 (1)定义：在空间中，我们把具有_大__小_和方__向__的量叫作空间向量． (2)长度或模：空间向量的大__小__叫作空间向量的长度或模． (3)表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示．表示向量 a 的 有向线段的长度也叫作向量 a 的长度或模，用|a|表示．②字母表示法：用 字母 a，b，c，…表示．
＋45
→ OB
＋25
→ (OC
－O→B
)
＝15
→ OA
＋25
→ OB
＋25
→ OC
，
∵15 ＋25 ＋25 ＝1，
∴M，A，B，C 四点共面．
即点 M∈平面 ABC.
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探究·核心考点
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考点一 空间向量的线性运算
1.(2022·四川省绵阳南山中学模拟)如图，设O→A ＝
a，O→B ＝b，O→C ＝c，若A→N ＝N→B ，B→M ＝2M→C ，
基本定理”).
共面向 任意给定两个不共线的向量 a，b，若存在实数 x，y，使得向量
量定理 c＝xa＋yb.则向量 c 与 a，b 为共面向量．
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定理
语言描述
空间向 如果向量 a，b，c 是空间三个不__共__面__的向量，p 是空间任意一个
量基本 向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得 定理 p＝__x_a_＋__y_b_＋__zc__．
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第七章 立体几何初步、立体几何与空间向量 第五节 空间向量与向量运算
内
夯探课实究时·主核精干心练知考识点
容
索
引
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【考试要求】 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及 其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运 算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数 量积判断向量的共线与垂直．
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3．空间向量的有关概念
名称
定义
自由向量
与向量的起点无关
零向量
模为_0_的向量
单位向量
模为 1 的向量
相等向量
方向相__同__且模相__等__的向量
表示法
0 |a|＝1 或|A→B |＝1 a＝b 或A→B ＝C→D
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名称
定义
相反向量
方向_相__反_且模 _相__等_的向量
当表示向量的两条有向线段所在的直线
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9．空间向量的坐标运算 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)
向量和 a＋b＝___(_x_1＋__x_2_，__y_1＋__y_2_，__z_1＋__z_2_) ____ 向量差 a－b＝___(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2，__z_1_－__z2_)_________ 数量积 a·b＝_____x_1x_2_＋__y_1_y2_＋__z_1_z2___________
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6.空间两向量的夹角及取值范围 (1)两个向量夹角的定义：如图，已知两个非零向量 a，b，在空间中任 取一点 O，作O→A ＝a，O→B ＝b，则∠__A__O_B_叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a， b〉．
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(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝0 时，向量 a 与 b 方向相同；当〈a，b〉＝π__时，向量 a 与 b 方向相反，所以若 a∥b，则〈a， b〉＝_0_或__π__；当〈a，b〉＝π2 时，向量 a，b 互相垂__直__，记作a_⊥__b_．
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2．如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AC 与 BD 的交点为 M.设A→1B1＝a，A→1D1＝b，A→1A＝c，则
下列向量中与B→1M相等的向量是( )
A．－12 a＋12 b＋c
B．12 a＋12 b＋c
C．12 a－12 b＋c
D．－12 a－12 b＋c
答案 A
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(4)空间两点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 |AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2 . 特 殊 情 况 ， 空 间 任 意 一 点 P(x0 ， y0 ， z0) 与 原 点 的 距 离 |OP| ＝ x20 ＋y20 ＋z20 .
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夹角公式
cos
〈
a
，
b
〉
＝
a·b |a||b|
＝
x1x2＋y1y2＋z1z2 x21 ＋y21 ＋z21 x22 ＋y22 ＋z22
(a≠0，b≠0).
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[常用结论]
1．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
→ (1)PA
＝λP→B
(λ∈R).
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5．已知 A，B，C 三点不共线，点 O 为平面 ABC 外任意一点，若点 M
满足O→M
＝15
→ OA
＋45
→ OB
＋25
→ BC
，则点
M________________(填“∈”
或“∉”)平面 ABC.
答案 ∈
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解析
∵O→M
＝15
→ OA
＋45
→ OB
＋25
→ BC
＝15
→ OA
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(4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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[对点查验]
1．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间
向量的基底的一组向量是( )
A．{a，a＋b，a－b}
B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b}
_平__行_或_重__合_时，称这两个向量互为共线 共线向量
向量或_平__行_向量
规定：零向量与任意向量_平_行__
表示法 －a
a∥b 0∥a
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名称
定义
表示法
当表示向量 a 的有向线段所在直线
平__行__于__平面 α 或_在_平面 α 内时，就说向
a∥α
共面向量 量 a 平行于平面 α
平行于同一平面的向量，叫作共面向量．空间中，任意两个
数乘向量 λa＝______(λ_x_1_，__λ__y_1，__λ__z_1_) ________，λ∈R
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a∥b ⇔ ∃ λ ∈ R ， 使 得 a ＝ λb ⇔ ∃ λ ∈ R ， 使 得
向量平行 x1＝λx2，
(共线)
y1＝λy2，
z1＝λz2.
垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
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8．空间向量投影 (1)向量 b 在向量 a 方向上的投影向量 如图，已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O， 作O→A ＝a，O→B ＝b，过点 B 作直线 OA 的垂线，垂足为 点 B1，称向量O→B1为向量 b 在向量 a 方向上的投影向量，则O→B1＝|b|cos 〈a， b〉·|aa| .
(3)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；其中 λ∈R，
μ∈R.
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5．关于空间向量的有关定理
定理
语言描述
两个空间向量 a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数 λ 共线向
使_a_＝__λ_b_．把这个定理称为共线向量基本定理(也称“一维向量 量定理
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7．空间两向量的数量积及运算律 (1) 空 间 向 量 数 量 积 定 义 ： 已 知 两 个 空__间__ 向 量 a ， b ， 把 ___|_a_||b_|_c_o_s_〈__a_，__b_〉____叫作向量 a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝ ___|_a_||b_|_c_o_s_〈__a_，__b_〉____．零向量与任意向量的数量积为_0_，即 0·a＝_0_． (2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b ＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
D．{a＋b，a－b，a＋2b}
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C 对于 A，因为(a＋b)＋(a－b)＝2a，所以 a，a＋b，a－b 共面，不 能构成基底，排除 A，对于 B，因为(a＋b)－(a－b)＝2b，所以 b，a＋b，a －b 共面，不能构成基底，排除 B，对于 D，a＋2b＝32 (a＋b)－12 (a－b)， 所以 a＋b，a－b，a＋2b 共面，不能构成基底，排除 D，对于 C，若 c，a ＋b，a－b 共面，则 c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a＋(λ－μ)b，则 a，b，c 共面，与a，b，c 为空间向量的一组基底相矛盾，故 c，a＋b，a－b 可以 构成空间向量的一组基底，故选 C.
则M→N ＝( )
A．12 a＋16 b－23 c
B．－12 a－16 b＋23 c
C．12 a－16 b－13 c
D．－12 a＋16 b＋13 c
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A
由题意得M→N
＝M→B
＋B→N
＝23
→ CB
＋12
→ BA
＝23
→ (OB
－O→C
)＋
1 2
→ (OA
－O→B
)＝12
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(2)向量 b 在向量 a 方向上的投影数量 称___|_b_|c_o_s_〈__a_，__b_〉__为投影向量 OB1 的数量，简称为向量 b 在向量 a 方向上的投影数量．结合空间向量数量积的定义可知，向量 b 在向量 a 方 向上的投影数量为|b|cos 〈a，b〉＝a|a·b| .
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4．与向量(－3，－4，5)共线的单位向量是______________________．
答案
3102，2 52，－
2
2
和－3102，－2 5 2，
2
2
解析 因为与向量 a 共线的单位向量是±|aa| ，
又因为向量(－3，－4，5)的模为 （－3）2＋（－4）2＋52 ＝5 2 ，
所以与向量(－3，－4，5)共线的单位向量是±512 (－3，－4，5)＝±102 (－3，－4，5).
→ (3)PM
∥A→B
(或P→A
∥M→B
或P→B
∥A→M
).
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[思考辨析] 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于非零向量 b，若 a·b＝b·c，则 a＝c.( ) (2)在空间直角坐标系中，在 Oyz 平面上的点的坐标一定是(0，b， c).( ) (3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.( )
(2)对空间任一点 O，O→P ＝O→A ＋tA→B (t∈R).
(3)对空间任一点 O，O→P ＝xO→A ＋yO→B (x＋y＝1).
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2．证明空间四点共面的方法
对空间四点 P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下
列结论成立来证明共面：
→ (1)MPຫໍສະໝຸດ ＝xM→A＋yM→B
.
(2)对空间任一点 O，O→P ＝xO→M ＋yO→A ＋zO→B (x＋y＋z＝1).
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夯实·主干知识
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1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的概念 过空间任意一点 O，作三条两两垂直的直线，并 以点 O 为原点在三条直线上分别建立数轴：x 轴，y 轴 和 z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系 O－xyz.
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(2)相关概念 ①坐标原点：_O_；②坐标轴：_x_轴(横轴)、_y_轴(纵轴)、_z_轴(竖轴)； ③坐标平面：通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为__x_O_y__平 面、__y_O_z__平面、__xO__z__平面． (3)点的坐标表示 空间直角坐标系中任意一点 P 的位置，可用一个三__元__有__序__数__组__唯一来 刻画．三元有序数组(x，y，z)叫作点 P 在空间直角坐标系中点的坐标，记 作 P(x，y，z)，其中，x 叫作点 P 的横坐标，y 叫作点 P 的纵坐标，z 叫作 点 P 的竖坐标．