一类p-Laplace时滞方程的数值计算

一类p-Laplace时滞方程的数值计算
王林君;陈旭梅;刘敏献;荆辰未
【摘要】研究一类p-Laplace时滞方程边值问题的数值计算方法,这类方程在许多领域有着广泛的应用.使用积分插值法和线性插值公式,构造求解这类方程的差分格式,并时差分格式进行了误差分析.误差分析表明,当p=2或当p≥3时,差分方程逼近微分方程的截断误差为0(h2).针对具体方程进行了数值实验,结果说明所给出的数值计算方法是有效的.%The numerical method for a class of p-Laplace equations with delay, which were widely applied to many fields, is considered. A difference scheme for this kind of equations is constructed by the integral interpolation method and the linear interpolation formula. The error estimate was also investigated. The results demonstrated that when p =2 or p≥3 the truncation error was O(h2). Furthermore, the numerical experiment was also carried out to illustrate the efficiency of the scheme.
【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》
【年(卷),期】2012(029)006
【总页数】5页(P748-752)
【关键词】p-Laplace方程;时滞;差分格式;误差分析
【作者】王林君;陈旭梅;刘敏献;荆辰未
【作者单位】江苏大学理学院,镇江212013;江苏大学理学院,镇江212013;江苏大学理学院,镇江212013;江苏大学理学院,镇江212013
【正文语种】中文
【中图分类】O241.81
近年来，在研究常见的二阶常微分方程边值问题的同时，开始研究高阶微分方程的边值问题，其中最常见的是含p－Laplace算子的微分方程边值问题［1－3］。

同时，在方程中引进时滞，得到时滞微分方程边值问题［4］。

这类问题引起了人们的普遍重视，许多学者进行了相关的研究，得到了p－Laplace时滞方程在不同的边值条件下解的存在性［5－9］。

但是关于p－Laplace时滞方程数值计算方法的研究则比较少见。

因此，寻求一种简明有效的数值计算方法，对于解决实际问题具有重要的意义。

本文针对一类p－Laplace时滞方程构造适当的数值差分格式进行近似求解。

考虑如下方程
定义1 如果函数u(t）满足方程(1），(2），且u(t）＞0(0＜t＜1），则称u(t）为方程(1），(2）的正解。

引理1 设函数f和a满足假设(H1）～(H3），u(t）是方程(1），(2）的正解，则u'(t）≥0(0＜t≤1）。

证明根据假设(H1），(H2）及边值条件(2），可得
如果时滞量τ为步长h的整数倍，即τ=n0h，n0＞0。

当p≥2时，根据式(15）有
如果时滞量τ不是步长的整数倍，根据线性插值余项公式
因为式(19）的截断误差是O(h），式(20）的截断误差是O(h2），而式(21）的误差是O(h2），用这个线性插值并没有降低方程整体的逼近阶。

下面处理边值条件，直接使用数值微商公式可得
因此，对于边值条件可以补充的方程是
边值条件的截断误差为O(h）。

通过上述分析，得到下面的定理
定理1 逼近微分方程(1），(2）的差分方程为
注4 当p=2或当p≥3时，逼近微分方程(1）的截断误差能达到O(h2）。

但是逼近边值条件(2）的误差仍是O(h）。

为了求解方程(23），(24），取 h=0.01，把区间［0，1］分成100 等份。

然后
对方程(23），(24）进行差分，对时滞部分进行插值，得
计算得到方程(23），(24）的数值解。

为了考察求解方程(23），(24）的数值计算格式的误差阶，依次取倍数步长来计算。

用e表示相应的误差，定义
在图2中，画出了‖e‖和步长h之间的对数图形，用“*”表示相应的误差点。

取其中某个点，画出斜率为1的直线。

观察图2，计算出来的点大致分布在斜率为1的直线附近。

根据以上的数值实验，由数值结果表明通过这种差分格式计算方程(23），(24）
的误差阶是一阶。

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