山东省昌邑市第一中学人教版高中数学必修二课件：1.1.4 投影与直观图(共42张PPT)

一个正方形，可用一个平行四边形来 表示它.那么这个平行四边形有什么要求 呢？ y
x o
Y’
X’
O’
探究四
❖ 阅读教材，回答下列问题： ❖ （1）已知图形与直观图的坐标系有何区别？ ❖ （2）已知图形中的线段与轴平行关系在直观
图中是否改变？ ❖ （3）已知图形中与轴平行的线段长度在直观
图中是否改变？
❖ （3）在已知图形中与z轴平行的线段的长度 在直观图中是否改变？
空间几何体的直观图的画法：
1.画几何体的底面：
在已知图形中取互相的 x 轴、 y 轴，两轴相交于点 O ，画直观图时，
把它们画成对应的 x/ 轴、 y / 轴，两轴相交于点 O/ ，且使 x/O/ y/ =
，
已知图形中平行于 x 轴、 y 轴的线段，在直观图中平行于 x/ 轴、 y / 轴.
4成 图 .顺 次 连 接 A,B,C,D,并 加 以 整 理
去 掉 辅 助 线 ,将 被 遮 挡 住 的 部 分 改 为 虚 线 ,
就 可 得 到 长 方 体 的 直 观 图 .
D
A D
A
C B C
B
总结
1. 平行投影的性质;
2.斜二测画法步骤 (1)平面图形的斜二测画法, (2)简单几何体的斜二测画法；
并且A′B′＝A′C′=2，
那么△ABC面积是
.
3.利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形． 以上结论正确的是 .
❖ 4.下列说法中 ❖ ①正方形的平行投影一定是菱形； ❖ ②平行四边形的平行投影一定是平行四边形； ❖ ③三角形的平行投影一定是三角形；
A
O
Dx
B NC
F
E
A
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
你会画下列几何体的直观图吗？
D1 A1
C1
B1
A1
C1 A1 B1 B1
E1 D1
C1
D C
A
BA
C A
B B
E
D C
探究五
❖ 画空间几何体的直观图，和平面图形比较， 空间几何体多了一个“高”，阅读教材回答：
❖ （1）z轴在已知图形和直观图中位置是否改 变？
❖ （2）在已知图形中与z轴平行的线段在直观 图中平行关系是否改变？
轴 上 取 线 段 PQ,使 PQ=1.5 cm;分 别 过 点 M和 N作 y轴 的 平 行 线 ,过 点 P和 Q 作 x轴 的 平 行 线 ,设 它 们 的 交 点 分 别 为 A,B, C,D,四 边 形 ABCD就 是 长 方 形 的 底 面 ABCD
Z
y
D
QC
MO
Nx
APB
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 A B C D A B C D 的直观图
例2.画出高与底面边长相等的正三棱柱. 接上例:
例2.画出高与底面边长相等的正三棱柱. 接上例:
❖ 例3*. 一个水平放置的四边形的斜二测直观图
是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等
腰梯形，那么原四边形的面积是
.
D
C
D
C
S 2 2
A
B
A
B
变式练习：
如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，
❖ ④如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那 么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形 的平行投影的中位线.
❖ 其中，正确的个数是 .
❖ 5*.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所 示，已知A′C′=3，B′C′=2， 则AB边上的中线的实际长度为_________.
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 A B C D A B C D 的直观图
4成 图 .顺 次 连 接 A,B,C,D,并 加 以 整 理
去 掉 辅 助 线 ,将 被 遮 挡 住 的 部 分 改 为 虚 线 ,
就 可 得 到 长 方 体 的 直 观 图 .
Z
D
Cy
A D
B Q C
MO
Nx
AP B
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 A B C D A B C D 的直观图
行投影，线段与它的投影的大小关系为
.
❖ (2)铁丝倾斜于投射面，按如图所示投射线，指出其
平行投影，线段与它的投影的大小关系为
.
❖ (3)铁丝垂直于射影面(铁丝不一定要与投射面有公 共点)，按如图所示投射线，指出其平行投影.
探究二：
平行于投射面的正方形的平行投影是 什么？
❖ 平行于投射面的正方形在平行投影下的投 影形状完全不变，相当于把正方形在平行 光线下“平移”到了地面．
已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度
，
平行于 y 轴的线段，长度变为
.
2．画几何体的高：
在已知几何体中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z / 轴，
也垂直于 x/O/ y/ 平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中
仍平行于 z / 轴且长度
.
步骤： 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
O．画对应的x’，y’轴，两轴相交于点O’，使
∠x’O’y’=45°.
y
F
ME
y'
A
O
D
x
O'
x'
B
NC
2以O为中心,在X上取AD=AD，在y轴上取
MN=1MN.以点N为中心,画BC平行于x轴, 2
并且等于BC;再以M为中心,画EF平行于x轴,
并且等于EF.
y
F ME
A
O
Dx
y
F M E
A
O B N C
1.1.4投影与直观图
h'
h'
r' O'
l
rO
可以把空间图形画在平面内，使 得既富有立体感，又能表达出图形各 主要部分的位置关系和度量关系．
用来表示空间图形的平面图 形，叫做空间图形的直观图
如何画出一个空间图形 的直观图？
（1） 点的平行投影：已知 图形F，直线l与平面α相交， 过F上任一点M作直线l’平 行于l，交平面α于点M’，则 M’叫做点M在平面α内关于 直线l的平行投影.
小结：“横同，纵半4，5 0 平行性不变”
例1 画出水平放置的正三角形的直观图
A
A1
B
O
C
B1
C1
例1.画水平放置的正三角形的直观图.
画法如下:
第一步 在已知的正三角形ABC中,
取 A B 所 在 的 直 线 为 x 轴 ,取 对 称 轴 C O 为 y 轴 .
画 对 应 的 x ` 轴 、 y ` 轴 ,使 使 x ` O ` y ` 4 5 0 .
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o
点．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使
xO y=45o或 135o ，它确定的平面表示水平平面。
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画 成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
4．与投射面平行的平面图形，它的投影 与这个图形全等； 5．在同一直线或平行直线上，两条线段 平行投影长度的比等于这两条线段长度 的比。
1. 直线的平行投影可能是（ A ） （A）点 （B）线段 （C）射线 （D）曲线
2. 两条不平行的直线，其平行投影不可能 是（ D ） （A）两条平行线. （B）一点和一条直线 （C）两条相交直线 （D）两个点
1 画 轴 . 画 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 三 轴 交 于 点 O , 使 x O y = 4 5 o ,
x O z 9 0 o .
Z
y
O
x
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 A B C D A B C D 的直观图
2画 底 面 .以 O为 中 心 ,在 x轴 上 取 线 段 MN,使 MN=4 cm;在
3 画 侧 棱 . 过 A , B , C , D , 各 点 分 别 作 z 轴 的 平 行 线 , 并 在 这 些 平 行 线
上 分 别 截 取 2 c m 长 的 线 段 A A , B B , C C , D D .
Z
D
A D
MO
C y
BQ C
Nx
AP B
6.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 A B C D A B C D 的直观图
当投射线和投射面成适当的角度或改 变图形相对于投射面的位置时，一个空 间图形在投射面上的平行投影（平面图 形）可以形象地表示这个空间图形。像 这样用来表示空间图形的平面图形，叫 做空间图形的直观图。
依据平行投影的性质画直观图的方法， 国家规定了统一的标准，一种较为简单 的画图标准是斜二侧画法。
一个水平放置的正方形， 如何画出它的直观图呢？
探究二：
❖ 2．太阳光线（可看成平行的）照进窗户上， 在地面形成什么图形？
平行投影的性质：
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平 行投影都具有以下性质： 1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段; 2. 平行直线的平行投影是平行或重合的直线； 3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 平行且等长；
3.坐标系的选取是画直观图的关 键，选取不同的坐标系，画出的 直观图可能不一样.
家庭作业
❖ 亲自动手做一个正三棱锥、正四棱台、正六 棱柱、圆锥、圆柱、圆台.
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
（2）图形的平行投影：如果图形F上的所 有点在平面α内关于直线l的平行投影构成 图形F’，则F’叫做图形F在α内关于直线l 的平行投影，平面α叫做投射面，l叫做投 射线。
探究一：
❖ 问题:
❖ 1.如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个 不同位置:
❖ (1)铁丝平行于投射面;按如图所示投射线，指出其平
第 二 步 在 x`轴 上 取 O `A `O A ,O `B `O B ,O `C `1/2O C .
第三步 连结A`C`,B`C`,所得的三角形A`B`C`
就是正三角形ABC的直观图.
变式练习：画出水平放置的正六边形的直观图
(1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x
轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点
D x
B NC
3 连 接 A B , C D , E F , F A , 并 擦 去 辅 助 线 x 轴 和 y 轴 ,
便 获 得 正 六 边 形 A B C D E F 水 平 放 置 的 直 观 图 A B C D E F
y
F ME
A
O
Dx
B NC
y
F M E
A
O B N C
D x
y
F ME