一元二次方程 压轴题训练

专题02 一元二次方程 压轴题训练
一、选择题（本大题共10题）
1.（2019宝山实验10月20）若a 是不等于b 的任意实数，则方程
2()()0a b x c b x c a -+-+-=总有一个根等于（ ）
A. 1；
B. -1
C. 0；
D. 2.
【答案】B ；【解析】解：∵a b ¹，∴此方程为一元二次方程，当x=-1时，方程左边=()()(1)a b c b c a -+-´-+-恒为0，故x=-1是原方程的一个根，故答案选B.
2.（2019上外附10月6）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，则x 满足的方程是（
）A.250(1)182x +=；
B. 25050(1)50(1)182x x ++++=；
C. 50(12)182x +=；
D. 5050(1)50(12)182x x ++++=.【答案】B ；
【解析】解：∵某农机厂四月份生产零件50万个，又五、六月份平均每月的增长率为x ，∴五月份生产零件50(1)x +个，六月份生产零件250(1)x +个，故第二季度一共生产零件182个，即25050(1)50(1)182x x ++++=，故答案选B.
3.（青浦实验2019期中6）同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x 人参加聚会，列方程为（
）A. x(x-1)=45; B. x(x-1)=452; C. 12x(x-1)=45; D. x(x+1)=45【答案】C;
【解析】解:由题意，每人都要握手的次数是（x-1）次，x 人一共握手x(x-1)次，这其中有一半是重复计数的，故列方程得：12
x （x ﹣1）=45．故选C ．4.（长宁西延安2019期中19）等腰△ABC 的一边长为4,另外两边的长是关于x 的方程x 2−10x+m=0的两个实数根,则m 的值是( )
A. 24；
B. 25；
C. 26；
D. 24或25.【答案】D;
【解析】解:方程x 2-10x+m=0的有两个实数根，则△=100-4m≥0，得m≤25，当底边长为4时，另两边相等时，x 1+x 2=10，∴另两边的长都是为5，则m=x 1x 2=25；当腰长为4时，
另两边中至少有一个是4，则4一定是方程x 2-10x+m=0的根，代入得：16-40+m=0解得m=24．∴m 的值为24或25．故选D ．
5.（松江区2019期中20）将关于x 的一元二次方程02=++q px x 变形为q px x --=2，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知012=--x x ，可用“降次法”求得134--x x 的值是（
）A . 2；
B. 1；
C. 0；
D. 无法确定.【答案】B ;
【解析】解：根据题意，得21x x =+，代入431x x --，化简得4
31x x --=2(1)31x x +--=2x x -=1x x +-=1.
6.（川中南2019期中6）已知关于x 的方程2(1)210m x x ++-=有两个实数根，那么m 的取值范围是（ ）A.2m ³-； B. 21m m ³-¹-且； C. 2m >-； D. 21m m >-¹-且.
【答案】B;
【解析】解：∵关于x 的方程2(1)210m x x ++-=有两个实数根，∴100m +¹ìíD ³î
，即得144(1)0m m ¹-ìí++³î
，∴21m m ³-¹-且，故答案选B.7.（华理附2019期中19）下列方程中，无实数解的是（
）A.093x -x 4
12=+; B.02-5x -3x 2=; C.092y -y 2=+; D.y y -162=）（.【答案】C ；
【解析】解：A 、194904
D =-´´=，故方程有两个相等实数根，不符合题意；B 、2543(2)490D =-´´-=>，方程有两个不相等实数根，故B 不符合题意；C 、
44190D =-´´<，方程没有实数根，故C 符合题意；D 20+=的判别式
14(250D =-=>，方程有两个不相等实数根，故D 不符合题意；因此答案选C.
8.（松江区2019期中20）等腰ABC D 的一边长为4，另外两边的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两个实数根，则等腰三角形底边的值是（
）
A. 4；
B. 25;
C. 4或6；
D.24或25.【答案】C ；
【解析】解：若等腰ABC D 的底边长为4，则两腰的长为方程的两个相等的实数根，故10040m D =-=，则m=25，所以方程的两个相等的实数根为125x x ==，符合题意，此时等腰三角形底边为4；若等腰ABC D 的腰长为4，则x=4是方程的一根，故16400m -+=，得m=24, 此时方程的两根为4x =或6x =，符合题意，故等腰三角形的底边长为6；综上述，等腰三角形的底边的值为4或6；故答案选C.
9.（上海四中2021期末5）已知Rt ABC D 的三边为a 、b 、c ，90B Ð=°，则关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++=的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根；
B.有两个不相等的实数根；
C. 没有实数根；
D.无法确定.
【答案】A ；
【解析】解：∵Rt ABC D 的三边为a 、b 、c ，90B Ð=°，∴222
b a
c =+，关于x 的方程可变形为：2()2()0a b x cx a b +---=，故244()()c a b a b D =++-=2224()c a b +-=0，故方程有两个相等的实数根，故答案选A.
10.（2019新竹园10月21）对于一元二次方程(),002
¹=++a c bx ax 下列说法：①当c a b +=时，则方程02=++c bx ax 一定有一根为1-=x ；②若
0002=++<>c bx ax bc ab ，则方程，一定有两个不相等的实数根；③若c 是方程02=++c bx ax 的一个根，则一定有01c =++b a ；④若c a b 32+=，则方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根。

其中正确的是（
）A.①②
B.①③
C.①②④
D.②③④【答案】C ；
【解析】解：当x=-1时，0a b c -+=，即b a c =+，故①正确；若00ab bc ><，，则0ac <，故240b ac D =->，所以方程一定有两个不相等的实数根，故②正确；若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有2c 0a bc c ++=，则c 10a b ++=或c=0，故③不正确；当23b a c =+时，
224(23)4b ac a c ac D =-=+-=22498a c ac ++=224()5a c c ++>0,故方程有两个不
相等的实数根，故④正确；故答案选C.
二、填空题（本大题共12题）
11.（2020松江九亭10月14）关于x 的方程2
20x x a -+=有实数根，化简
|2|a -= .
【答案】1-；【解析】解：∵关于x 的方程2
20x x a -+=有实数根，∴440a -³即1a £，∴
20a ->，10a -£|2|a -=|1|(2)a a ---=12a a --+= -1.
12.（2019宝山实验10月15）已知关于x 的方程22
(23)20a x a x a +++=的一个实数根为2，则a= ，方程的另一个实数根是 .【答案】-2或-3; -2时为2，-3时为1；
【解析】解：将x=2代入方程得2
4(23)220a a a +++=，得a=-2或-3；当a=-2时，2440x x -+=，得122x x ==，故方程另一根为x=2；当a=-3时，2320x x -+=，得12x x ==或，故方程另一根为1x =.
13.（2019大同10月18）关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有实数根，且其中一个根是另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”. 如果关于x 的一元二次方程
2(2)20x m x m +--=是“倍根方程”，那么m 的值为 .
【答案】-4或-1；【解析】解：因为由2(2)20x m x m +--=，左边因式分解得：(2)()0x x m -+=，得122,x x m ==-，由倍根关系可得m= -4或-1.
14.（2019华理附10月17）现定义运算“☆”，对于任意实数a 、b ，都有
a ☆b=25a a
b -+，如3☆6=23536-´+，若x ☆12=6，则实数x 的值是 .
【答案】2或3；
【解析】解：根据题意，得x ☆12=25126x x -+=，即2560x x -+=，得23x x ==或.
15.（2019上外附10月19）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求
得两个根为3+和3-，则
234b c a += .
【答案】6；
【解析】解：对于甲：设(3)(6)0k x x --=，化简得29180kx kx k -+=；对于乙，
设(330p x x --+=，化简得26120px px p --=，由题意及上述两个方程，可得甲与乙的两个方程中常量只是符号相反，∴18k=12p ，∴32
p k =，∴234b c a +=2(9)318342
k k k -+´´=6.16.（徐汇龙华2019期中14）已知a ，b ，c 是等腰三角形ABC 的三条边，其中a=2,如果b ，c 是关于x 的一元二次方程260x x m -+=的两个根，则m 是_________.
【答案】9;
【解析】解：方程x 2－6x +m =0，由根与系数的关系得到：x 1+x 2=6，
当a 为腰长时，则x 2－6x +m =0的一个根为2，∴方程的另一根为4，∵2+2=4，∴不能组成等腰三角形；当a 为底边时，x 2－6x +m =0有两个相等的实数根，故△=36－4m =0，解得：m =9，方程x 2－6x +9=0的两根为x 1=x 2=3，∵3+3>2，∴能组成等腰三角形.综上所述，m 的值是9．故答案是：9．
17.（松江区2019期中15）对于实数m 、n ，定义一种运算“*”为：m mn n m +=*．如果关于x 的方程1)*(*-=x a x 有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a 的值是 ．【答案】1；
【解析】解：根据题意得：*a x ax a =+，推出*(*)()1x a x x ax a x =++=-，即得2(1)10ax a x +++=有两个相等的实数根，则2(1)40a a D =+-=，得2(1)0a -=，所以a=1.
18.（浦东四署2019期中18）定义符号min {a , b }的含义为：当a b ³时，min {a , b }=b ；当a b <时，min {a , b }=a. 如：min {1，- 2}= -2，min {-3，-2}= -3，则方程min {x , -x }=21x -的解是 .
【答案】；
【解析】解：根据题中定义，得2211
x x x x x x x x ³-<-ììíí-=-=-îî或，整理得22001010x x x x x x ³<ììíí+-=--=îî或
，解得x x x x ³ììïïíí=ïïîî
x x ==.19.（华理附2019期中15）关于x 的方程2(1)230k x kx k -+++=有两个不相等的实
数根，则k 的取值范围是 .【答案】312
k k <¹且；【解析】解：∵关于x 的方程2(1)230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根，∴
21044(1)(3)0k k k k -¹ìíD =--+>î，解得132
k k ¹ìïí<ïî即312k k <¹且.20.（崇明部分校2019期中18）如果b=c-a ，那么关于x 的方程2240ax bx c +-=一定有的那个根是 .【答案】2；
【解析】解：∵b=c-a ，∴方程2240ax bx c +-=变形为2
2()40ax c a x c +--=，方程左边因式分解变为：(2)(2)0ax c x +-=，故此方程一定有的那个根是2x =. （或者将x=2代入方程的左边=4444()a b c a b c +-=+-，∵b=c-a ，故4()a b c +-=0，故x=2一定是方程的根）.
21.（金山区2019期中17）定义：如果(0,1,0)b a n a a n =>¹>，那么b 叫做以a 为底n 的对数，记作log a b n =. 例如：因为4216=，所以2log 164=. 如果log 162x =，那么x= .
【答案】4；【解析】解：根据题中给出的对数定义，若log 162x =，则2
16x =，∵x>0且x ≠1，所以x=4.
22.（2019新竹园10月15）若方程()024*******=++++++b ab a x a x 有实根，则a b = .
【答案】12
-；【解析】解：∵方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，∴24(1)a D =+- 224(3442)0a ab b +++³，即22224410a a ab b -+++£，即221a a -++22440a ab b ++£，得22(1)(2)0a a b -++£，又∵
22(1)(2)0a a b -++³，∴22(1)(2)0a a b -++=，∴10,20a a b -=+=即a=1，b=12-，∴12
b a =-.三、解答题（本大题共4题）
23.（2019宝山实验10月27）已知一元二次方程2
0ax bx c ++=的两根为m 、n, 求2(1)(1)0a x b x c -+-+=的根.
【答案】121,1x m x n =+=+；
【解析】解：令t=x-1，则方程变形为2
0at bt c ++=，根据已知一元二次方程20ax bx c ++=的两根为m 、n, ∴t=m 或t=n ，∴x-1=m 或x-1=n ，故得
121,1
x m x n =+=+24.（2019建平南校10月25）求证：无论k 取何值时，关于x 的一元二次方程222470x x k k -+++=都没有实数根.
【答案与解析】解：关于x 的一元二次方程的判别式2
44(47)k k D =-++=241624k k ---=24(44)8k k -++-=24(2)8k -+-，∵24(2)0k -+£，故无论k 取何值时，2
4(2)80k -+-<恒成立，故关于x 的一元二次方程222470x x k k -+++=都没有实数根.
25.（徐教院附2019期中28）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号a b c d 的意义是a b ad bc c d
=-(1)按照这个规定请你计算5678的值。