2-3-1双曲线及其标准方程(课件)-高二上学期数学人教A版选修2-1

x2 a2
y2 b2
1a 0, b 0
因为2a=6，2c=10所以a=3c=5所以把b2=52-
32=16.因此，双曲线的标准方程为
x2 y2 1 9 16
例2 已知A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s， 且声速 为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
分析:首先根据题意，判断轨迹的形状由声速及A，B两处听到爆炸声 的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值这样，爆炸点在 以AB为焦点的双曲线上。因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点 应在靠近B处的双曲线的一支上。
质和结果。
用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲 线（conic sections)。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严 格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：
1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果 为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退 化为一条直线。
1(a
0)
5 2
思考？南京市2021－2022学年度第一学期
期中调研测试 高 二 数 学 2021.11
4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C
x2 a2
y2 b2
1
(a＞0，b＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点(2，1)
．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知A，B是双曲线C上关于原点对称的两点 ，垂直于AB的直线l与双曲线C有且仅有一个公共 点P．当点P位于第一象限，且△PAB被x轴分割为 面积比为3：2的两部分时，求直线AB的方程．
此时双曲线的方程是
-
y2 a2
x2 b2
1a 0, b 0
这个方程也是双曲线的标准方程。
3.例题选讲：
例1已知双曲线两个焦点分别为F1(-5，0)， F2(5，0)，双曲线上一点P到F1. F2距离差的绝对 值等于6，求双曲线的标准方程
解:因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准
方程为
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果 为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶 点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点 ，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶 点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面 的对顶圆锥面与平面的交线）。
四、课堂练习与探究讨论
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在x轴上，a=4，b=3;
(2)焦点在轴上，经过点(-2，-3)。(15，2)
(3)焦点为(0，-6)，(0，6)、且经过点(2，-5)
2.求b使得:双曲线
x2 y2 1，x 0 24
的焦点相同.
x2 y2 与1，椭x 圆0
解:如图建立直角坐标系x.0y，使A.B两点在x轴上，并且坐标原点O与 线段AB的中点重合。
设爆炸点P的坐标为(x,y)则
|PAl-|PB=340x2=680,
即2a=680a=340.
|AB|=800. 所以 2c=800.c=400, b2=44400. 因为|PA|-|PB|=340x2=680>0，所以x>0.因
2bBiblioteka 3.已知方程 x2 y2 1，x 0
2b
值范围。
表示双曲线，求b的取
五、核心素养归纳： 逻辑推理、数学运算
七、作业：习题B组
2.3.1 双曲线及其标准方程
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线， 并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切 割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去 截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平 面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物 线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把 椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线 叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几 何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性
我们把平面内与两个定点 F1F2
的距离之差的绝对值等于常 数 | F1F2 | 的点的轨迹叫做双曲 线，这两个定点叫做双曲线 的 ，两个焦点的距离叫 做双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标
都满足方程
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0②，以方程②的解(x、y)
1.：（自编）双曲线
(10，0)
x2 y2 1，x 0的焦点坐标是_________．
60 40
2.
：
（自编）双曲线
x2
y2
1，x
的渐近线方程为_________.
0
60 40
x y ，x 0
3. 若双曲3线 2
的离心率为 ，则a=_________.
答案：4
x2 a2
y2 4
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点 ，结果为两条相交直线。
椭
圆
双 曲
线
抛 物 线
一、问题引入
举 出
12..研观究察函图数中图实像物：形x状y=，1
生 感受双曲线美
活
中
的
抛
物
线
二、新知讲授 1.双曲线的定义 思考？
与两个定点距离之差为非零 常数的点的轨迹是什么？
通过拉链模型给出双曲 线定义：
为坐标的点到双曲线的两个焦点F1(-c,0),F2(c，0)
的距离之差的绝对值为2a、即以方程②的解为坐
标的点都在双曲线上。由曲线与方程的关系可知
，方程②是双曲线的方程，我们把它叫做双曲线
的标准方程。它表示焦点在x轴上，焦点分别是
F1(-c，0) F2(c，0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，如图 所 示 ，双曲线的 焦点分别是F(0，c)，F(0、c), a，b的意义同上，这时双曲 线的标准方程是什么?
此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为
x2 y2 1，x 0 115600 44400
利用两个不同的观测点AB测得同一点P发 出信号的时间差，可以确定点P所在双曲线 的方程。如果再增设一个观测点C利用BC( 或AC)两处测得的点P发出的信号的时间差 ，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两 个方程组成的方程组。就能确定点 P的准确 位置。这是双曲线的一个重要应用。