高考数学讲义向量.板块一.向量的概念与线性运算.教师版

⑴ 向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．
有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小和方向，又有作用点的向量．有些量只有大小和方向，而无特定的位置．例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小．
⑵ 向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量.
的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：AB u u u r
，注意起点在前，
终点在后．
⑶ 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量． 可根据右图的正六边形，或根据下题平行四边形讲解相等向量．
P
O
C
已知E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 边AB 、DC 、BC 、AD 的中点，O 为
对角线AC 与BD 的交点，分别写图中与DF u u u r ，BH u u u r
，AO u u u r 相等的向量．
O H G F
D C
A
解：DF FC GO OH AE EB =====u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r BH HC AG GD ===u u u r u u u r u u u r u u u r AO OC =u u u r u u u r
⑷ 向量共线或平行：通过有向线段AB u u u r 的直线，叫做向量AB u u u r
的基线．如果向量的基线
板块一.向量的概念
与线性运算
B
互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a r 平行于向量b r ，记作a r ∥b r
．
说明：共线向量的方向相同或相反， 注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．
⑸ 零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0r
．零向量的方向不确定，零向量与任意向量
平行．
⑹ 用向量表示点的位置：任给一定点O 和向量a r
，过点O 作有向线段OA a =u u u r r ，则点A
相对于点O 位
置被向量a r 所唯一确定，这时向量OA u u u r
又常叫做点A 相对于点O 的位置向量．
3AB AC ⋅=u u u r u u u r
．
1. 向量的加法：
a+b
a
b
b
a
a
b
b a
b a a+b C
C
O
B
a+b b+c
c
b
a
a+b+c
⑴ 向量加法的三角形法则：
已知向量,a b r r ，在平面上任取一点A ，作AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，再作向量AC u u u r ，则向量AC
u u u r
叫做a r 和b r 的和（或和向量），记作a b +r r
，即a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r ． ⑵ 向量求和的平行四边形法则：
① 已知两个不共线的向量a r ，b r
，作AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则A ，B ，D 三点不共线，
以AB u u u r ，AD u u u r
为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC a b =+u u u r r r ，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则． ② 向量的运算性质：
向量加法的交换律：a b b a +=+r r r r
向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r
关于0r
：00a a a +=+=r r r r r ⑶ 向量求和的多边形法则：
已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
2. 向量的减法：
d
c
b
a
a+b+c+d
b
a
c
d
a-b
b
a
B A
O
⑴ 相反向量：与向量a r 方向相反且等长的向量叫做a r
的相反向量，记作a -r ． 零向量的相反向量仍是零向量．
⑵ 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终
点为始点，被减
向量的终点为终点的向量．
推论：一个向量BA u u u r
等于它的终点相对于点O 的位置向量OA u u u r 减去它的始点相对于点
O 的位置向量 OB u u u r
，或简记“终点向量减始点向量”．
⑶ 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量 3. 数乘向量：
定义：实数λ和向量a r 的乘积是一个向量，记作a λr ，且a λr 的长a a λλ=r r
<教师备案> 判断正误：已知λμ∈R ，．
①()a b a b λλλ+=+r r r r ；（√） ②()a a a λμλμ+=+r r r ；（√）
③()()a a λμλμ=r r ；（√） ④()()a b a b λμλμ+=++r r r r ．（×）
4. 向量共线的条件
⑴ 平行向量基本定理：如果a b λ=r r ，则a r ∥b r ；反之，如果a r ∥b r ，且0b ≠r r
，则一定存
在唯一的一个实数λ，使a b λ=r r
．
⑵ 单位向量：给定一个非零向量a r ，与a r 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a r
的单
位向量．如果a r 的单位向量记作0a u u r ，由数乘向量的定义可知0a a a =r r u u r 或0a
a a
=r
u u r r ．
题型一： 向量及与向量相关的基本概念
【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由：
（1）共线向量一定在同一条直线上。

（ ） （2）所有的单位向量都相等。

（
）
典例分析
（3）向量a b →→与共线，b c →→与共线，则a c →→
与共线。

（ ）
（4）向量a b →
→
与共线，则//a b →
→
（ ） （5）向量//AB CD →
→
，则//AB CD 。

（ ） （6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。

（
）
【考点】向量及与向量相关的基本概念 【难度】2星
【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）错。

因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线
平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上。

（2）错。

单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意义。

（3）错。

注意到零向量与任意向量共线，当→
b 为零向量时，它不成立。

（想一想：你能举出反例吗？又若0b →
→
≠时，此结论成立吗？） （4）对。

因共线向量又叫平行向量。

（5）错。

平行向量与平行直线是两个不同概念，AB 、CD 也可能是同一条直线上。

（6）错。

平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反。

【答案】（1）错。

（2）错。

（3）错。

（4）对。

（5）错。

（6）错。

【例2】 给出命题
⑴零向量的长度为零，方向是任意的. ⑵若a r
，b r
都是单位向量，则a r
＝b r
.
⑶向量AB u u u r 与向量BA u u u r
相等.
⑷若非零向量AB u u u r
与CD u u u r 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线.
以上命题中，正确命题序号是（ ）
A ．⑴
B ．⑵
C ．⑴⑶
D ．⑴⑷
【考点】向量及与向量相关的基本概念 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无 【答案】A .
【例3】 如图，在正方形ABCD 中，下列描述中正确的是（ ）
A ．A
B B
C =u u u r u u u r B ．AB C
D =u u u r u u u r
C ．2AC AB =u u u r u u u r
D ．AB BC AB BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r
D
C
B A
【考点】向量及与向量相关的基本概念 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 2009年，北京海淀，期末试卷
【答案】D ．
【例4】 下列命题正确的是（ ）
A.a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r
也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a r
与b r
不共线，则a r
与b r
都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行
【考点】向量及与向量相关的基本概念 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由
向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以
否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a r 与b r
不都是非零向量，即a r 与b r 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a r 与b r 共线，
不符合已知条件，所以有a r 与b r
都是非零向量，所以应选C.
【答案】C.
【例5】 设0a u u r 为单位向量，①若a r 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅r r u u r
；②若a r 与0a u u r 平行，
则0a a a =⋅r r u u r ；③若a r 与0a u u r 平行且1a =r
，则0a a =r u u r ．上述命题中，假命题个数是
（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【考点】向量及与向量相关的基本概念 【难度】2星
【题型】选择
【关键词】无
【解析】 向量是既有大小又有方向的量，a r 与0a a r u u r
模相同，但方向不一定相同，故①是
假命题；若a r 与0a u u r 平行，则a r
与0a u u r 方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时0a a a =-r r u u r
，故②、③也是假命题．综上所述，答案选D ．
B
O
C
A
【答案】D
【例6】 下列命题中正确的有：
( )
⑴四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB DC =u u u r u u u r
；
⑵向量AB u u u r 与BA u u u r
是两平行向量；
⑶向量AB u u u r
与CD u u u r 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上；
⑷单位向量不一定都相等；
⑸a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r
也共线；
⑹平行向量的方向一定相同；
【考点】向量及与向量相关的基本概念 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 ⑴错误；四边形ABCD 是平行四边形AB DC ⇒=u u u r u u u r ，但AB DC =u u u r u u u r
时，这四点可能
在一条线上，故反过来不正确； ⑵正确；根据平行向量的定义；
⑶错误；向量与起点无关，故共线向量只能说明直线AB 与CD 平行或重合； ⑷正确；向量的长度与向量的方向是独立的，模相同的向量不一定共线； ⑸错误；b r
可以为零向量，此时a r
与c r
不一定共线；若b r
非零，则可得出a r
与c r
共线；
⑹错误；平行向量的方向可以相同或相反．
【答案】⑵⑷
【例7】 判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若a b =r r
，则a b =r r
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ρρ=，c b ρρ=，则c a ρ
ρ=； (7)若b a ρρ//，c b ρρ//，则c a ρρ//
(8)若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A
(9) b a ρρ=的充要条件是||||b a ρρ=且b a ρ
ρ//；
【考点】向量及与向量相关的基本概念 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 (1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不
正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若0=b ，则不共线的向量c a ,也有0//a ρ
，c //0。

(8) 不正确, 如图
,AB CD BC DA =≠u u u r u u u r u u u r u u u r （9）不正确，当b a ρρ//，且方向相反时，即使||||b a ρρ=，
也不能得到b a ρ
ρ=；
【答案】(1) 不正确，(2) 不正确，(3) 不正确，(4) 不正确，(5)正确，（6）正确，（7）
不正确，(8) 不正确, （9）不正确。

【例8】 在四边形ABCD 中，“AB
→＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
【考点】向量及与向量相关的基本概念 【难度】2星
【题型】选择
【关键词】无
【解析】 2AB DC =u u u r u u u r
⇒ 四边形ABCD 为梯形，但反之不成立.选A
【答案】A
【例9】 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量AB u u u r
与CD u u u r 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB CD =u u u r
u u u r
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
【考点】向量及与向量相关的基本概念 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 ①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向
量AB 、AC 在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.⑥不正确.如图AC u u u r 与BC u u u r
共线，虽起点不同，但其终点却相同.
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
【答案】①不正确，②不正确，③不正确， ④、⑤正确.
【例10】 平面向量a r ，b r
共线的充要条件是（ ）
A ．a r ，b r 方向相同
B ．a r ，b r 两向量中至少有一个为零向量
C ．λ∃∈R ，b a λ=r r
D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r
【考点】向量及与向量相关的基本概念 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 A 中平行向量可以方向相反，C 中忽略了a r
为零向量的情况，B 显然错误．
【答案】D
【例11】 给出下列命题：
①若a b =r r
，则a b =r r ；
②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB DC =u u u r u u u r
是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；
③若a b =r
r
，b c =r r ，则a c =r r
；
④a b =r r 的充要条件是a b =r r
且a b r r ∥；
⑤若a b r r ∥，b c r r ∥，则a c r r ∥；
其中正确的序号是 ．
【考点】向量及与向量相关的基本概念 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；
②正确；∵AB DC =u u u r u u u r ，∴||||AB DC =u u u r u u u r 且AB DC u u u r u u u r ∥，
又A B C D ，，，是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边
形ABCD 为平行四边形，则AB DC u u u r u u u r ∥且||||AB DC =u u u r u u u r ，因此，AB DC =u u u r u u u r
．
③正确；∵a b =r r ，∴a r ，b r
的长度相等且方向相同；
又b c =r r ，∴b c r r ，
的长度相等且方向相同，∴a r ，c r
的长度相等且方向相同，故a c =r r ．
④不正确；当a b r r ∥且方向相反时，即使a b =r r ，也不能得到a b =r r ，故a b =r r
且a b r r ∥不是a b =r r
的充要条件，而是必要不充分条件；
⑤不正确；考虑0b =r r
这种特殊情况；
综上所述，正确命题的序号是②③．
【答案】②③
题型二: 向量的加、减法
【例12】 化简()()AB CD AC BD ---u u u r u u u r u u u r u u u r
【考点】向量的加、减法 【难度】1星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 解法一（统一成加法）
()()AB CD AC BD ---u u u r u u u r u u u r u u u r =AB CD AC BD AB DC CA BD --+=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =0AB BD DC CA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r
解法二（利用OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r
） ()()AB CD AC BD ---u u u r u u u r u u u r u u u r =AB CD AC BD --+u u u r u u u r u u u r u u u r
=()AB AC CD BD --+u u u r u u u r u u u r u u u r
=0CB CD BD DB BD -+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r
解法三（利用AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r
）
设O 是平面内任意一点，则()()AB CD AC BD ---u u u r u u u r u u u r u u u r =AB CD AC BD --+u u u r u u u r u u u r u u u r
=()()()()OB OA OD OC OC OA OD OB -----+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =0OB OA OD OC OC OA OD OB --+-++-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r
掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律．
【答案】0r
【例13】 化简下列各式：
⑴ 7()8()a b a b +--r r r r ；⑵ 12(2)(432)6
a b c a b c +---+r r r r r r
【考点】向量的加、减法 【难度】1星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 ⑴原式(78)(78)15a b a b =-++=-+r r r r
⑵ 原式24972(42)(23)3323a b c a b c ⎛
⎫=-+++--=+- ⎪⎝
⎭r r r r r r
【答案】⑴15a b -+r r ⑵497323
a b c +-r r r
【例14】 若32m n a +=u r r r ，3m n b -=u r r r ，其中a r ，b r 是已知向量，求m u r ，n r
.
【考点】向量的加、减法 【难度】1星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 记32m n a +=u r r r ① 3m n b -=u r r r
②
3×②得393m n b -=u r r r
③
①－③得113n a b =-r r r . ∴131111
n a b =-r r r
④
将④代入②有：3231111
m b n a b =+=+u r r r r r
【答案】131111n a b =-r r r ，321111
m a b =+u r r r
【例15】 设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r
，则（ ）
A ．0PA P
B +=u u u r u u u r r B ．0P
C PA +=u u u r u u u r r
C ．0PB PC +=u u u r u u u r r
D ．0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r
【考点】向量的加、减法 【难度】1星 【题型】选择
【关键词】2009年，山东，高考理
【解析】
【答案】A
【例16】 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）
D
C
B
A
A ．A
B D
C =u u u r u u u r B ．A
D AB AC +=u u u r u u u r u u u r
C ．AB A
D BD -=u u u r u u u r u u u r
D ．0AD CB +=u u u r u u u r r
【考点】向量的加、减法 【难度】1星 【题型】选择
【关键词】2006年，上海，高考
【解析】
【答案】C
【例17】 D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =u u u r （ ）
A ．12BC BA -u u u r u u u r
B ．12B
C BA --u u u r u u u r C ．12BC BA -+u u u r u u u r
D ．12
BC BA +u u u r u u u r .
【考点】向量的加、减法 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】2006年，广东，高考
【解析】
【答案】C
【例18】 根据图示填空：
m e d
c
b a E D
A
⑴ a b +=r r ；⑵ e b d ++=r r u r
．
【考点】向量的加、减法 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】
【答案】⑴ c r
；⑵ m -u r
【例19】 已知O A B ，，是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r r
，
则OC =u u u r
( )
A ．2OA O
B -u u u r u u u r B ．2OA OB -+u u u r u u u r
C ．2133OA OB -u u u r u u u r
D ．1233
OA OB -+u u u
r u u u r
【考点】向量的加、减法 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】2008年，辽宁，高考
【解析】 由题意可知A 为BC 中点，∴()
12
OA OC OB =+u u u r u u u r u u u r
，∴2OC OA OB =-u u u r u u u r u u u r
【答案】A ．
【例20】 设D ，E ，F ，分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且
2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r 则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与BC u u u r
( )
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
【考点】向量的加、减法
【难度】2星
【题型】选择
【关键词】2008年，湖南，高考
【解析】 由上题可知2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，2133BE BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，2133
CF CB CA =+u u u r u u u r u u u r
则121333
AD BE CF BC BC BC ++=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
由定比分点的向量式得:212,1233
AC AB AD AC AB +==++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
12,33BE BC BA =+u u u r u u u r u u u r 12,33CF CA CB =+u u u r u u u r u u u r
以上三式相加得
1,3
AD BE CF BC ++=-u u u r u u u r u u u r u u u
r 所以选A.
【答案】A
【例21】 如图，D ，E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）
A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r
B ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r
C ．0A
D C
E C
F +-=u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r
F
E
D
C
B
A
【考点】向量的加、减法 【难度】2星
【题型】选择
【关键词】2009年湖南高考
【解析】
【答案】A
【例22】 如图所示，E F 、是四边形ABCD 的对角线AC BD 、的中点，已知
,AB a CD c ==u u u r r u u u r r ，求向量EF u u u r ．
【考点】向量的加、减法 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 11()22EF AF AE AB AD AC =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111()()222
AB AD AC a c =+-=+u u u r u u u r u u u r r r
【答案】()
12
EF a c =+u u u r r r
【例23】 如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，3CA a =u u u r r ，2CB b =u u u r r ，求CD u u u r
，
CE u u u r
．
【考点】向量的加、减法 【难度】2星
【题型】解答
【关键词】无
【解析】 32AB AC CB a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r
，
因D 、E 为AB u u u r
的两个三等分点， 故1233
AD AB a b DE ==-+=u u u r u u u r r r u u u r ，
2323
CD CA AD a a b a b =+=-+=+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，
2242333
CE CD DE a b a b a b =+=+-+=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r
【答案】2CD a b =+u u u r r r ，43
CE a b =+u u u r r r
【例24】 已知任意四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，求证：
1()2
EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ．
B
D
E
F
E C
B
【考点】向量的加、减法 【难度】2星
【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】EF ED DC CF EA AB BF =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
∴1()2
EF ED DC CF EA AB BF =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
又∵,E F 分别是,AD BC 的中点
∴0,0ED EA FC FB +=+=u u u r u u u r r u u u r u u u r r
所以1()2
EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r
，命题得证．
【例25】 若||||OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r 则向量,OA OB u u u r u u u r
的关系是（ ）
A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．不确定 【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星
【题型】选择
【关键词】无
【解析】
||||OA OB OA OB +-u u u r u u u r u u u r u u u r
与分别表示平行四边形的两条对角线，它们相等，即说明四边形ABCD 为矩形。

故选C
【答案】C
【例26】 若非零向量a r ，b r 满足a b b -=r r r
，则（ ）
A ．22b a b >-r r r
B ．22b a b <-r r r
C ．22a a b >-r r r
D ．22a a b <-r r r
【考点】向量的加、减法 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】2007年，浙江，高考
【解析】 若两向量共线，则由于a r ，b r 是非零向量，且a b b -=r r r
，则必有2a b =r r ；代入
可知A ，C 满足；若两向量不共线，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则BA a b =-u u u r r r ，有BA OB =u u u r u u u r
，
延长OB 至C ，使BC OB =，则2CA a b =-u u u r r r
．由OB BC AB ==知，90OAC ∠=︒，
于是22OC b a b AC =>-=r r r
．
而2OA 与AC 的大小无法确定，故选A ．
b -a
a
a -2b
C
O
【答案】A ；
【例27】 在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r
，则PBC ∆与
ABC ∆的面积之比是( )
A ．1
B ．1
C ．2
D ．34
【考点】向量的加、减法
【难度】3星
【题型】选择
【关键词】2008年，广州市，高考模拟
【解析】 由PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ,得PA PB BA PC +++=0u u u r u u u r u u u r u u u r
,
即2PC AP =u u u r
u u u r
,所以点P 是CA 边上的第二个三等分点,如图所示. 故
2
3PBC ABC S BC PC S BC AC ∆∆⋅==⋅． 三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．
【答案】C
题型三: 向量数乘运算及其几何意义
B
C
A
P
【例28】 已知a 、b 是两个不共线的向量，若它们起点相同，a 、
2
1
b 、t （a +b ）三向量的终点在一直线上，则实数t=_________.
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 如图, ∵a 、
2
1
b 、t （a +b ）三向量的终点在一直线上, ∴存在实数λ使:t （a r +b r
）—12b r =λ（a r —12
b r
） 得()1
12
2
t a t b λλ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
r r
a
t (a +b )
b
又∵a r 、b r
不共线，
∴0t λ-=且11
022t λ--=
解得t=1
3
【答案】1
3
【例29】 设a r ，b r ，c r 为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知a b +r r 与c r 共线，且b c
+r r 与a r
共线，则b a c ++=r r r ．
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 设a b tc +=r r r ，① b c ma +=r r r ，② 将1()c a b t
=+r r r
代入②得：(1)(1)t b tm a +=-r r
且a r 与b r 不共线，因此1010tm t -=⎧⎨+=⎩，解得：1
1t m =-⎧⎨=-⎩
，∴0a b c ++=r r r r ．
【答案】0r
【例30】 已知,a b r r 是不共线的向量，25AB a b =+u u u r r r ，8BC a b =-+u u u r r r
，3()CD a b =-u u u r r r ，则
A B D 、、C 、四点中共线的三点是___________
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 25813AC AB BC a b a b a b =+=+-+=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ，
133()4102AD AC CD a b a b a b AB =+=++-=+=u u u r u u u r u u u r r r r r r r u u u r
，故,,A B D 三点共线．
【答案】共线
【例31】 设,a b r r 是不共线的两个向量，已知22(2)AB ka k b =+-u u u r r r ，
BC a b =+u u u r r r ，2CD a b =-u u u r r r
，若A B D 、、三点共线，求k 的值．
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
2BD BC CD a b =+=-u u u r u u u r u u u r r r
，∵A B D 、、三点共线， ∴向量,AB BD u u u r u u u r 共线，即存在实数λ，使得AB BD λ=u u u r u u u r
，
∴22(2)(2)ka k b a b λ+-=-r r r r ，得2
2()(2)k a k b λλ-=-+r r ． 又,a b r r
不共线，故220,k k λλ-+==，解得1k =或2k =-．
【答案】1k =或2k =-
【例32】 设12,e e u r u u r
是不共线的向量，已知向量1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r ，若
A B D 、、三点共线，求k 的值．
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 由A B D 、、三点共线知存在λ，使得AB BD λ=u u u r u u u r
124BD CD CB e e =-=-u u u r u u u r u u u r u r u u r ，∴12122(4)e ke e e λ+=-u r u u r u r u u r 又12,e e u r u u r
不共线，故2,48k k λλ==-⇒=-．
【答案】-8
【例33】 已知A 、B 、C 、P 为平面内四点，求证：A 、B 、C 三点在一条直线上的充要
条件是存在一对实数m 、n ，使PC mPA nPB =+u u u r u u u r u u u r
，且1m n +=．
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】充分性，由PC mPA nPB =+u u u r u u u r u u u r
， m ＋n=1， 得
()
PA AC mPA n PA AB +=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()m n PA nAB PA nAB =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r
， ∴AC nAB =u u u r u u u r ．
∴A 、B 、C 三点共线．
必要性:由A 、B 、C 三点共线知，存在常数λ，使得AC AB λ=u u u r u u u r
， 即()
AP PC AP PB λ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r ． ()()11PC AP PB PA PB λλλλ=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
m=1－λ，n=λ，m ＋n=1，
PC mPA nPB =+u u u r u u u r u u u r ．
【例34】 已知向量11210,,,2l R a l l b l λλ≠∈=+=r r r r r r r ，若向量a r
和b r 共线，则下列关系一
定成立的是（ ）
A 、0=λ
B 、02ρρ=l
C 、12 // l l r r
D 、02ρρ=l 或0=λ
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 提示：考虑情况要充分。

【答案】D
【例35】 D 、E 、F 分别是ABC △的BC 、CA 、AB 上的中点，且BC a =u u u r r ， CA b =u u u r r
，给
出下列命题，其中正确命题的个数是（ ）
①12AD a b =--u u u r r r
②12
BE a b =+u u u r r r
③1122
CF a b =-+u u u r r r
④0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 提示：结合图形及向量加减法的几何意义，易得4个命题均是正确命题。

【答案】D
【例36】 已知：2221113(),,2 BC CD AB e e e e e e =+=-=+u u u r u r r u u u r u r r u u u r u r r
，则下列关系一定成立的是
（ ）
A 、A ，
B ，
C 三点共线 B 、A ，B ，
D 三点共线 C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 2AC CD =u u u r u u u r
，所以C ，A ，D 三点共线
【答案】C
【例37】 如图，在∆ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交
于点G ，则下列各等式中不正确的是（ ）
G
F
E
D
C B
A
A ．23BG BE =u u u r u u u r
B ．2CG GF =u u u r u u u r
C ．12DG AG =u u u r u u u r
D ．121332
DA FC BC +=u u u
r u u u r u u u r
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】C ．
【例38】 如图，已知,,3AB a AC b BD DC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，用,a b r r 表示AD u u u r ，则AD =u u u r
（ ）
A ．34a b +r r
B ．1344a b +r r
C ．1144a b +r r
D ．3144
a b +r r
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 33()44AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1344
a b +r r
【答案】B
【例39】 已知2
12(1)a te k e =+-r u r u u r ，12(21)3b t e e =+-r u r u u r ，且//，试求t 关于k 的函数。

【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 ∵//a b r r ，则 ()()
23211t t k -=+-
∴2
2112k t k -=+
【答案】2
2
112k t k -=+
【例40】 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
O
D
C
B
A
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】3星
【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】已知：（如图所示）AC 、BD 是四边形ABCD 的两条对角线，且AC 与BD 互相
平分．
求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：如图所示， 设AC BD O =I ．
由已知得，A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线，且AO OC =，DO OB =．
如图所示，AO OC =u u u r u u u r ，DO OB =u u u r u u u r ，
所以AB AO OB OC DO DC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以AB CD ∥或AB 与CD 共线，且AB CD =， 又在四边形ABCD 中，AB 与CD 不共线， 所以AB CD =∥，
所以，四边形ABCD 是平行四边形．
【例41】 向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

已知四边形ABCD ，
AC 与BD 交于O ，AO OC =，DO OB =，求证：ABCD 是平行四边形。

【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】如图：∵OC DO OB AO AB +=+=DC ,
又由已知 ,AO OC DO OB ==u u u r u u u r u u u r u u u r
∴AB DC =u u u r u u u r
，故AB 与DC 平行且相等，所以ABCD 是平行四边形。

C
A
【例42】 已知ABCD □的两条对角线AC 与BD 交E ，O 是任意一点．
求证：OA u u u r +OB u u u r +OC u u u r +OD u u u r =4OE u u u r
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】方法一
∵E 是对角线AC 和BD 的交点
∴AE u u u r =EC u u u
r =CE -u u u r BE u u u r =ED u u u r =DE -u u u r
∴在OAE ∆中，OA u u u r +AE u u u r =OE u u u
r
同理：OB u u u r +BE u u u r =OE u u u r ，OC u u u r +CE u u u r =OE u u u r ，OD u u u r +DE u u u r =OE u u u
r
E
A
B
C
O
以上各式相加，得：OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r =4OE u u u r
方法二
∵E 是对角线AC 和BD 的交点
∴在OAC ∆中，1()2OE OA OC =+u u u r u u u r u u u r ①，在OBD ∆中，1()2OE OB OD =+u u u r u u u r u u u r
②
∴①+②得：12()2
OE OA OB OC OD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
∴OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r =4OE u u u r
【例43】 如图所示，1A ，2A ，3A ，…，8A 是O e 的8个等分点，以1A ，2A ，…，8A 及O
这9个点中任意两个为起始点和终点的向量中，2个？
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
A 8O
1
A 2
A 3
A 4
5
A 6
A
【解析】 以1A ，2A ，3A ，…，8A 及O 为顶点的O e 内接正方形有两个：一个是1A 3A 5A 7A ，
另一个是2A 4A 6A 8A ，符合题决的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向22倍的向量共有42216⨯⨯=个．
【答案】16
【例44】 已知五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、CD 、BC 、DE 的中点，
K 、H 分别是MN 和PQ 的中点，求证：KH 平行且等于1
4
AE .
E
D C
B
A M
N
P Q K H
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】3星
【题型】解答
【关键词】无
【解析】 选用基底可结合问题的具体特点而定，本题选OA ，OB ，OC ，OD ，OE 保证
了条件应用能够合理简便，若选用两个不共线向量为基底则有一定难度，用向量解题时，向量起点的任意为解题提供了起点选择的任意性和多样性，本题中
也可选用图中相关如MN 与PQ 的交点作为所有向量的起点.
【答案】合理的选用基底向量表示KH u u u u r 和AE u u u r
后比较
取平面内一点O ，则
1()2OH OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r 111()()222OB OC OD OE ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦
u u u
r u u u r u u u r u u u r
1()4
OB OC OD OE =+++u u u
r u u u r u u u r u u u r ， 1()2OK OM ON =+u u u r u u u u r u u u r 111()()222OA OB OC OD ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦
u u u
r u u u r u u u r u u u r
1()4OA OB OC OD =+++u u u
r u u u r u u u r u u u r ， 所以11()44KH OH OK OE OA AE =-=-=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
即KH 平行且等于1
4
AE
【例45】 如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 、CD 的中点，BE 、BF 与对
角线AC 分别交于点R 和点T ．求证AR RT TC ==．(向量法)
T R
F E D C
B
A
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】3星
【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】由已知，有向量AR AC u u u r u u u r ∥，0AC ≠u u u r
，
∴AR AC λ=u u u r u u u r
,λ∈R , 即()AR AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r
.①
又∵E 是AD 的中点，ER EB u u u r u u u r ∥，0EB ≠u u u
r ，
∴1()()2
ER kEB k AB AE k AB AD k ==-=-∈R u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，.
在AER ∆中，有11()22
AR AE ER AD k AB AD =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
A
B D E F R
T
即12
k AR k AB AD -=-u u u r u u u r u u u r
. ②
∵AB u u u r 与AD u u u r
不共线，由①②得
12
k k λ
λ=⎧⎪
⎨-=⎪⎩，解这个方程组，得13k λ== 把1
3
λ=代回①式，得1()3AR AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，13AR AC =u u u r u u u r ，
∴1
3
AR AC =，等价写法13AR AC =u u u r u u u r
同理可证13CT CA =u u u r u u u r ，即1
3
CT CA =.
∴AR RT TC ==.
【例46】 四边形ABCD 中，E ，F ，M ，N 分别为BC ，AD ，BD ，AC 的中点，O 为
MN 的中点，试用向量的方法证明：O 也是EF 的中点．
F
E
O M
N
D
B
A
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】3星
【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】设DA a =u u u r r ，DB β=u u u r u r ，DC =u u u r γr ，
由于F 是AD 的中点，所以12DF α=u u u r u r ，同理12
DM β=u u u u r u r
，
因为E 是BC 的中点，11()()22
DE DB DC βγ=+=+u u u r u u u r u u u r u r r
同理11()()22
DN DA DC αγ=+=+u u u r u u u r u u u r u r r
再由O 是MN 中点得到1111()()2222DO DM DN βαγ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦
u u u r u u u u r u u u r u
r u r r
即1()4DO αβγ=++u u u r u r u r r
于是11()42FO DO DF αβγα=-=++-u u u r u u u r u u u r u r u r r u r 1()4
βγα=+-u r r u r
11()22FE DE DF βγα=-=+-u u u r u u u r u u u r u r r u r 1()2
βγα=+-u r r u r
∴12FO FE =u u u r u u u r
即FO u u u r 与FE u u u r 平行，且F ，O ，E 三点共线，1
2
FO FE =，也即O 是FE 的中点
【例47】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长
线与CD 交于点F ．若AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AF =u u u r
( )
60︒
45︒
E
D
B
C
A
A ．1142a b +r r
B ．2133
a b +r r
C ．1124a b +r r
D ．1233
a b +r r
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】2008年，广东，高考
【解析】 法一：由E 为OD 的中点可知
1
3
DE DF EB AB ==， ∴13AF AD DF AD DC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
设AD m =u u u r u r ，AB n =u u u r r ，∴m n a m n b
⎧+=⎪⎨-=⎪⎩u r r r
u r r r ，
解得：11221122
m a b n a b
⎧=+⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩u
r r r r r r ，∴121333AF m n a b =+=+u u u r u r r r r
法二：由于1
2DF FC =，则121333
AF AC AD AD AB
=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，将m u r ，n r 代入即可． 【答案】B ．
【例48】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r
， 则
x = ， y = ．
O
F E D
C
B
A
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】3星
【题型】填空
【关键词】2009年，湖南，高考
【解析】 设6BC DE ==3AC AB ==32
BD ， 过D 作AB 垂线，与AB 延长线交于点H ，在Rt BDH ∆中，45DBH ∠=︒，
∴32BH DH ==，∵AD AH HD =+u u u r u u u u r u u u r ，又3
33213AH AB AB ⎛= ⎝⎭u u u u r u u u r u u u r ，3
323
HD AC AC ==u u u r u u u r u u r ．
【答案】31+
3
【例49】 若等边ABC ∆的边长为23，平面内一点M 满足1263
CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r
，则
MA =u u u r ，MB =u u u r
．
（用CB u u u r ，CA u u u r 向量表示） E
C
B
M
【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】3星
【题型】填空
【关键词】2009年天津高考改编）
【解析】 如图，则MA ME EA =+u u u r u u u r u u u r ，即1163
MA ME EA CB CA =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r
2536
MB MF FB CA CB =+=-+u u u r u u u u r u u u r u u
u r u u u r ．
【答案】1163MA CB CA =-+u u u r u u u r u u u r ，2536
MB CA CB =-+u u u r u u
u r u u u r
【例50】 如图，在△OAB 中，14OC OA =u u u r u u u r ，12
OD OB =u u u r u u u r
，AD 与BC 交于M 点，设OA a =u u u r r ，
OB b =u u u r r ，（1）试用a r 和b r 表示向量OM u u u u r （2）在线段AC 上取一点E ，线段BD
上取一点F ，使EF 过M 点，设OE OA λ=u u u r u u u r
，OF OB μ=u u u r u u u r 。

求证：
13177λμ
+=。

【考点】向量数乘运算及其几何意义 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）设OM ma nb =+u u u u r r r
，则(1)AM OM OA ma nb a m a =-=+-=-u u u u r u u u u r u u u r r r r r +b r ，
1122
AD OD OA OB OA a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，
∵A 、M 、D 三点共线， ∴AM AD u u u u r u u u r
与共线， ∴
111
2m n
-=-
∴21m n +=……① 而14
CM OM OC ma nb a =-=+-u u u u r u u u u r u u u r r r r
，
CB OB OC =-u u u r u u u r u u u r =1144
b a a b -=-+r r r r
，
∵C 、M 、B 三点共线，
∴CM CB u u u u r u u u r
与共线
∴1
414m -
-=1n ∴41m n +=……② 联立①、②解得17m =，n =3
7，故1377
OM a b =+u u u u r r r 。

（2）证明：∵13137777EM OM OE a b OA a b a λλ=-=+-=+-u u u u r u u u u r u u u r r r u u u r r r r =（1
7-λ）37
a b +r r ，
EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r
=OB OA a b μλλμ-=-+u u u r u u u r r r ∵EF EM u u u r u u u u r
与共线， ∴17λλ
--=37μ
∴17μ-3
()7λμλ=-
13
77
μλλμ+= ∴13177λμ
+=。

【答案】（1）1377OM a b =+u u u u r r r
（2）∵13137777EM OM OE a b OA a b a λλ=-=+-=+-u u u u r u u u u r u u u r r r u u u r r r r =（1
7-λ）37
a b +r r ，
EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r
=OB OA a b μλλμ-=-+u u u r u u u r r r ∵EF EM u u u r u u u u r
与共线，
∴17λλ
--=37μ
∴17μ-3
()7λμλ=-
13
77
μλλμ+= ∴
13177λμ
+=。