北师大版数学高二课件 第四章定积分 章末复习提升

所求的体积是上半椭圆绕x轴旋转一周所得旋转体的体积，
即
V＝a π·ba22(a2－x2)dx －a
＝(πb2x－3πab22x3)a－a
＝(πb2a－π3ab22a3)－(－πb2a＋3πab22a3)＝43πab2.
∴所求旋转体的体积为43πab2.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3
求曲线y＝a
x
(e a
解析答案
(2)9 x(1＋ x)dx. 4
解
9
x(1＋
x)dx ＝9(
x＋x)dx
4
4
＝(23x x＋12x2)94
＝(23×9×3＋12×92)－(23×4×2＋12×42)
＝2671.
反思与感悟
解析答案
π
跟踪训练 2 计算 2 1－sin 2xdx. 0
解析答案
题型三 用定积分求旋转体的体积 例 3 求椭圆ax22＋by22＝1(ab≠0)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解 如图所示，上半椭圆的方程 y＝ba a2－x2，x∈[－a，a]，
x
e a
) 和直线x＝0，x＝a，y＝0围成的图形(如
2
图)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
解
因为[a2
2xe a ＋2x＋(来自a22x2xe a )]′＝e a
2x
＋2＋e a
，
所以
V＝π0ay2dx＝π0aa42(
e
2x a
＋2＋
e
2x a
)dx
＝π4a2[a2
2x
e a ＋2x－a2
2x
ea
a
第四章 定积分
章末复习提升
学习 目标
1.理解定积分的概念. 2.掌握微积分基本定理，并会进行简单的计算. 3.掌握定积分在求解不规则图形面积中的应用.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一 定积分及其性质
1.定积分的定义
对于函数f(x)，在每个小区间 [xi－1，xi]上任取一点 δi，S′＝f(δ1)Δx1＋
A.e＋1e
B.2e
C.2e
D.e－1e
1
解析 01(ex＋e－x)dx＝(ex－e－x)0
＝(e1－e－1)－(e0－e0)＝e－1e.
1234
解析答案
1234
2.由曲线y＝1 与直线x＝1，x＝2，y＝1所围成的封闭图形的面积为_1_－__l_n_2__. x
解析 由图像(图略)可知，由曲线 y＝1x与直线 x＝1，x＝2，y＝1 所围成的
2.用定积分求曲边图形的面积的一般步骤 (1)画出大致图像，由图像确定所求面积是哪一部分； (2)解由曲线方程联立的方程组得交点的坐标，由此确定被积函数以及积分 的上、下限； (3)把所求的面积用定积分表示出来； (4)根据微积分基本定理求出面积.
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本课结束
所以有4 -4
16－x2dx＝π×2 42＝8π.
重点突破
解析答案
(2)5 25－x2dx. 0
解 被积函数对应的曲线是圆心在原点，半径为5的四分之一的圆周， 由定积分的几何意义知此定积分的值等于四分之一圆的面积，
所以有5 0
25－x2dx＝π×4 52＝245π.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 比较3 0
所得旋转体的体积.
解 如图所示，由曲线y＝2x2，直线x＝0，x＝1
与x轴所围成的平面图形为图中阴影部分，
则所求旋转体的体积 V＝π1(2x2)2dx＝4π1x4dx
0
0
＝4π×15x510 ＝45π.
解析答案
课堂小结
1.求定积分的常用技巧 (1)先化简，再求积分. (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”， 分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号才能积分.
性质 2：bkf(x)dx＝kbf(x)dx(k 为常数)；
a
a
性质 3：b[f1(x)±f2(x)]dx＝bf1(x)dx±bf2(x)dx；
a
a
a
性质 4：bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b).
a
a
c
知识点二 微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有b f(x)dx＝
a
F(b)－F(a). 这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿-莱布尼兹公式. 知识点三 定积分的简单应用
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题型探究
题型一 利用定积分的几何意义求解面积问题 例1 利用定积分的几何意义求下列定积分.
(1)4 16－x2dx； -4
解 被积函数对应的曲线是圆心在原点，半径为4的半圆周， 由定积分的几何意义知此定积分的值等于半圆的面积，
封闭图形的面积为12(1－1x)dx＝(x－ln
2
x) 1
＝1－ln 2.
解析答案
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3.
π
(x＋sin x)dx＝___0___.
－π
解析
π
(x＋sin x)dx
－π
＝(x22－cos
π
x)
－π
＝(π22－cos
－π2 π)－[ 2 －cos(－π)]＝0，故填
0.
解析答案
1234
4.求由曲线y＝2x2，直线x＝0，x＝1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周
] 0
＝π4a2[a2(e2－e－2)＋2a] ＝π8a3(e2－e－2)＋π2a3.
解析答案
易错易混 因对定积分求面积问题弄不清致误 例 4 求曲线 y＝sin x 与直线 y＝－π2，x＝54π，y＝0 所围图形的面积.
防范措施
解析答案
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当堂检测
1.1(ex＋e－x)dx 等于( D ) 0
5－95x2dx
与3 0
3－31x2dx 的大小.
解析答案
题型二 计算定积分 例2 求下列函数的定积分.
(1)12(x＋1x)2dx； 解 12(x＋1x)2dx＝12(x2＋2＋x12)dx
＝12x2dx＋122dx＋12x12dx ＝13x321
2
＋2x 1
＋(－1x)21
＝13×(23－13)＋2×(2－1)－(12－1)＝269.
f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn的值也趋于该常数A，我们称A是函数y
＝f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作
b
f(x)dx，即
b
f(x)dx＝A.其中∫叫作
a
a
积分号，a叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数.
2.定积分的几何意义 给定一个在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)，当f(x)≥0时，bf(x)dx表示的是y
a
＝f(x)与x＝a，x＝b和x轴所围成的曲边梯形的面积.
3.定积分的物理意义
给定一个在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)，在f(x)表示速度关于时间x的函 数时，b f(x)dx表示的是物体从x＝a到x＝b时所走过的路程.
a
4.定积分的性质 由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：
性质 1：b1dx＝b－a； a