高三数学12月联考试题 理 A 试题

2021届四校12月联考数学试题〔理科〕
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

(考试时间是是：120分钟，满分是：150分)
一．选择题：〔本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分.只有一项是哪一项符合题目要求的.〕 1．复数5
12i
z i +=，那么它的一共轭复数z 等于 〔 〕
A ．2-i
B ．2+i
C ．-2+i
D ．-2-i
2．平面向量a b 与夹角为2,(3,0),||2,|2|3
a b a b π
==+则= 〔 〕
A ．7
B
C
D ．3
3. 在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02
的形状是 〔 〕 A ．∠A 为直角的直角三角形 B ．∠B 为直角的直角三角形 C ．锐角三角形 D ． ∠C 为钝角的三角形
4．等比数列{
}
n a 中，12a =，且有2
4674a a a =，那么3a =( )
A ．1
B ．2
C ．14
D ． 1
2
5．给出下面结论： ① ;"023,:""023,:"2
2
<+-∈∀⌝≥+-∈∃x x R x p x x R x p 的否定为命题 ② 命题：x ∃∈R ,使得 sin cos 1.5x x +=
③ 假设¬p 是q 的必要条件，那么p 是¬q 的充分条件；
④“N M >〞是“N M a a log log >〞的充分不必要条件。

其中正确结论的个数为 〔 〕
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
l n m ,,表示不同直线, γβα,,表示三个不同平面,那么以下命题正确是 〔 〕
A.n m l n l m //,,则若⊥⊥
B. βααβ⊥⊥
则若,//,m m
C. βαγβγα//,,则若⊥⊥
D. βαγβγα//,//,,则若n m n m ==
7．假设⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤+>-=⎰0,3cos 062,0),4()(x xdx x x f x f x π，那么=)2012(f ( )
A. 1
B. 2
C.
34 D.3
5
8．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点〞，假如函数()g x x =，
()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=〔()x π
∈π2
，〕的“新驻点〞分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是： 〔 〕
A ．γβα<<
B ．βγα<<
C ．βαγ<<
D ．γαβ<<
第二卷〔非选择题一共110分〕
二、填空题：(本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分.) 9. 函数1
1lg(3)
y x x =
-+
-的定义域是
10．0x >，0y >，123x y +=
，那么11
x y
+的最小值是 ． 11．一个几何体的三视图及其尺寸如以下图所示，其中正〔主〕视图是直角三角形，侧〔左〕视图是
半圆，俯视图是等腰三角形，那么这个几何体的体积是 cm 3。

12. 右图是一程序框图，那么输出结果为 。

ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，假设︒=60A ，
b 、
c 分别是方程01172=+-x x 的两个根，那么a 等于______．
14．如图，一个树形图根据以下规律不断生长：
1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，
1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和 1个空心圆点．
那么第11行的实心圆点的个数是 ．
三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共80分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 15．〔此题满分是12分〕 函数()cos sin()2424x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫
=++-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

〔1〕求()f x 的最小正周期； 〔2〕假设将()f x 的图象向右平移
6
π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[]0π， 上
的最大值和最小值。

16．〔此题满分是12分〕
某工厂有A 、B 两种配件消费甲、乙两种产品，每消费一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每消费一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，假设消费一件甲产品获利2万元，消费一件乙产品获利3万元，问如何安排消费才能使利润最大？
17.〔此题满分是14分〕
设数列}{n a 的前项n 和为，11=a ，)(12*
1N n n S S n n ∈++=+， 〔1〕求数列}{n a 的通项公式；
............第1行 ............第2行 ............第3行 ............第4行 ............第5行 (6)
D
C
B
A
P
〔2〕假设n
n n a a n b -=+1，数列}{n b 的前项和为n T ，*
N n ∈证明：2<n T ．
18．〔此题满分是14分〕
如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA=AD=1,AB=2, 120PAB ∠=,90PBC ∠=.
(1)求证：平面PAD ⊥平面PAB ； (2)求三棱锥D －PAC 的体积；
(3)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值．
19．〔此题满分是14分〕
函数),(3)(23R b a x bx ax x f ⋅∈-+=，在点〔1，f(1))处的切线方程为y+2=0． (1) 求函数f(x 〕的解析式；
(2) 假设对于区间[一2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有c x f x f ≤-|)()(|21，务实 数c 的最小值；
〔3) 假设过点M(2,m)(m ≠2)，可作曲线y=f(x)的三条切线，务实数m 的取值范围.
20．〔此题满分是14分〕
：函数()x f 在()1,1-上有定义，121-=⎪⎭⎫
⎝⎛f ，且对()1,1x y ∀∈-、有()()⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++=+xy y x f y f x f 1． 〔1〕试判断函数()x f 的奇偶性； 〔2〕对于数列{}n x ，有1111
1
,,21n n n n n x x x x x x +++-=
=-试证明数列(){}n x f 成等比数列； 〔3〕求证：1
4
()()5
n
i i f x f =>∑
．
2021届四校12月联考数学试题答案〔理科〕
一. 选择题 BCAA CBCD
二|. 填空题 9. )3,2()2,1[ 10. 9+ 11.
3
2π
12．11
5
13. 4 14. 55
三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共80分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 15．〔此题满分是12分〕 解：〔1〕x x x f sin )2
sin(3)(++=
π
x x sin cos 3+= …………………………………………………2分
)cos 2
3sin 21(2x x +=
)3
sin(2π+
=x ． …………………………………………………4分
所以)(x f 的最小正周期为π2． ………………………………………6分 〔2〕 将)(x f 的图象向右平移
6
π个单位，得到函数)(x g 的图象，
∴⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+-=-=3)6
(sin 2)6
()(πππx x f x g )6
sin(2π+
=x ． …………………………………………………8分
[0,]x π∈时，]6
7,6[6π
ππ
∈+x ， …………………………………………………9分 ∴当2
6
ππ=
+
x ，即3
π=
x 时，sin()16
x π+
=，)(x g 获得最大值2． …………10分
当76
6x ππ+
=
，即x π=时，1
sin()62
x π+=-，)(x g 获得最小值1-．………12分 16.〔此题满分是12分〕
解：设甲、乙两种产品分别消费x 、y 件，工厂获得的利润为z 又条件可得二元一次不等式组：…………………………2分
2841641200
x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪
≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ …………5分 目的函数为y x z 32+= ………6分
把y x z 32+=变形为233z y x =-
+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3
z
的直线。

当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，当截距3z 最大时，z 获得最大值，由上图可以看出， 233
z
y x =-+ ，
当直线x=4与直线082=-+y x 的交点M 〔4，2〕时，截距3z 的值最大，最大值为14
3
，这时2x+3y=14.
所以，每天消费甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。

……………………12分 17.〔此题满分是14分〕
解：〔1〕∵121++=+n S S n n ，当2≥n 时
n S S n n +=-12,
两式相减得： 121+=+n n a a ………2分 ∴()1211+=++n n a a 即
21
1
1=+++n n a a ……………4分
又1121112==+=S a S S ， ∴32=a ∴
21
1
12=++a a ; ………6分 所以{}1n a +是公比为2的等比数列;∴n
n a 21=+ 即()*12N n a n
n ∈-=……………7分
〔2〕∵12-=n
n a ∴(
)()
n
n n n n n n
n n b 2
22121211=-=---=++ ……………9分 ∴n n n
T 223222132++++=
1322
21222121++-+++=n n n n n T ……………10分 ∴22
212)221212121(21132<--=-++++=-+n n n n n n
n T ……………14分
18.〔此题满分是14分〕 (1)证明：∵ABCD 为矩形
∴AD AB ⊥且//AD BC ……… 1分
P
A
B
C
D
E ∵BC PB ⊥ ∴DA PB ⊥且AB PB B = ……… 2分 ∴DA ⊥平面PAB ,又∵DA ⊂平面PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB ……… 4分 (2) ∵D PAC P DAC P ABC C PAB V V V V ----===……… 5分
由〔1〕知DA ⊥平面PAB ，且//AD BC ∴BC ⊥平面PAB ……… 7分 ∴111sin 332C PAB PAB V S BC PA AB PAB BC -∆=⋅=⋅⋅⋅∠
⋅11216=⨯⨯= 9分
〔3〕解法1：以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如
右图示，那么依题意可得(0,0,1)D ,(0,2,1)C
,1,0)2P - 可得35(,1)22CP =--, ……… 11分
平面ABCD 的单位法向量为(1,0,0)m =， 设直线PC 与平面ABCD 所成角为θ，
那么cos()2||||1m CP m
CP πθ⋅-===
⋅⨯
13分 ∴sin θ=PC 与平面ABCD 14分
解法2：由〔1〕知DA ⊥平面PAB ，∵AD ⊂面ABCD ∴平面ABCD⊥平面PAB, 在平面PAB 内， 过点P 作PE⊥AB，垂足为E ， 那么
PE⊥平面ABCD ，连结EC ，
那么∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成的角…… 11分 在Rt△PEA 中，∵∠PAE=60°，PA=1，
∴PE
=,又22
22cos1207PB PA AB PA AB =+-⋅= ∴
PC
==在Rt△PEC
中sin PE PC θ===即直线PC 与平面ABCD 14分
19. 〔此题满分是14分〕
解：(1)323)('2
-+=bx ax x f …………1分
根据题意，得⎩⎨⎧=-=,0)1(',2)1(f f 即⎩
⎨⎧=-+-=-+,323,
23b a b a 解得⎩⎨⎧==.0,1b a ………3分
∴f(x)=x 3
-3x ． ． ………………4分 (2)令f'(x)= 3x 2
-3=O ，即3x 2
-3=O ，解得x=±1．
∵f(-1)=2，f(1)=-2，∴当x ∈[-2，2]时，f(x)max =2，f(x)min =-2． 那么对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有
()()()()4||||min max 21=-≤-x f x f x f x f ,所以c ≥4．
所以c 的最小值为4． …………………8分
(3)∵点M 〔2，m)(m ≠2〕不在曲线y=f(x)上，∴设切点为(x 0，y 0)．那么03
003x x y -= 33)('200-=x x f ，∴切线的斜率为3320-x
那么2
333003
20
---=-x m x x x o ，即06622
030=++-m x x
因为过点M(2，m)〔m ≠2〕，可作曲线y=f(x)的三条切线， 所以方程06622
003
=++-m x x 有三个不同的实数解．
即函数g(x)= 2x 3-6x 2
+6+m 有三个不同的零点． 那么g'(x)=6x 2
-12x.令g'(x)=0，解得x=O 或者x=2．
()()⎩⎨
⎧<>∴,02,00g g 即⎩⎨⎧<+->+,
02,
06m m 解得-6<m<2. ……………………l4分 20．〔1〕解：在()()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=+xy y x f y f x f 1中，令,y x =-得()()()0f x f x f +-=
再令0,x y ==得()()()000f f f +=，∴()00f =
∴()()f x f x -=-，即函数()x f 为奇函数----------------------3分
〔2〕证明： 由1111n n n n n x x x x x +++-=
-得1
2
1
21n n n x x x ++=+ ∵
11221122||111n n n n x x x x ++++=<++ ∴12
1
2111n n n x x x ++-<=<+-------------5分 ∴()()()11111n n n n n n n x x f x f f x f x x x ++++⎛⎫
-==+-
⎪-⋅⎝
⎭----------------------------6分
∵函数()x f 为奇函数，∴ ()()()11n n n f x f x f x ++=-，()()12n n f x f x += ∵0n x ≠否那么与11
2
x =矛盾，∴()(0)0n f x f ≠= 〔或者()()()111112111211n n n n n n n n n x x x f x f f f x f x x x x ++++++++⎛⎫⎛⎫
+===+
⎪ ⎪++⋅⎝⎭⎝
⎭＝21()n f x +〕 ∴
()()11
2
n n f x f x +=，-----------------------------------------8分
∵()111,2f x f ⎛⎫
==-
⎪
⎝⎭
∴(){}n x f 是以－1为首项，12为公比的等比数列-------9分 〔3〕证明：又〔Ⅱ〕可得()1
1
2n n f x -=-
---------------------------------------10分 ∵
1
()n
i
i f x =∑＝()()()12
n
f x f x f x ++⋅⋅⋅+
21111
111222
22n n --⎛⎫=-+++⋅⋅⋅+=-+ ⎪⎝⎭----------------------------12分
1141122211522122f f f f ⎛⎫
+ ⎪⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
==+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎪
+⨯⎝⎭
-------------------------------13分 又∵*
n N ∈ ∴11222n --+>- ∴1
4
()()5n
i i f x f =>∑ ……………14分
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。