2020-2021初中数学图形的相似全集汇编附答案解析(1)

2020-2021初中数学图形的相似全集汇编附答案解析(1)
一、选择题
1．如图，以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点E ，交AD 边于点F ，则FE EC
＝（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．38
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE 、OF 、OC ，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF ＝∠FOE ，证明△EOF ∽△ECO ，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】
解：连接OE 、OF 、OC ．
∵AD 、CF 、CB 都与⊙O 相切，
∴CE ＝CB ；OE ⊥CF ； FO 平分∠AFC ，CO 平分∠BCF ．
∵AF ∥BC ，
∴∠AFC+∠BCF ＝180°，
∴∠OFC+∠OCF ＝90°，
∵∠OFC+∠FOE ＝90°，
∴∠OCF ＝∠FOE ， ∴△EOF ∽△ECO ，
∴=OE EF EC OE
，即OE 2＝EF•EC ． 设正方形边长为a ，则OE ＝
12a ，CE ＝a ． ∴EF ＝
14a ． ∴EF EC ＝14
． 故选：C ．
【点睛】
本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.
2．如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交弦BC 于点E ，4CD =，2DE =，则AE 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C
【解析】
【分析】 根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD ，证明△DCE ∽△DAC ，根据相似三角形的性质求出AD ，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：∵AD 平分∠BAC ，
∴∠CAD=∠BAD ，
由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD ，
∴∠CAD=∠DCB ，又∠D=∠D ，
∴△DCE ∽△DAC ， ∴DE DC DC DA =，即244AD
=， 解得，AD=8，
∴AE=AD -DE=8-2=6，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( )
A ．2∶3
B ．4∶9
C 23
D ．3∶2
【答案】B
【解析】
【分析】 根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224
()39
ABC DEF S S ==V V ． 【详解】 因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，
所以S △ABC ：S △DEF =（
23）2=49
，故选B ． 【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．
4．如图，在ABC ∆中，点D E F 、、分别在边AB AC BC 、、上，
// ,//DE BC DF AC ，则下列结论一定正确的是( )
A ．
DE CE BF AE
= B ．AE CE CF BF = C ．AD AB CF AC
= D ．DF AD AC AB = 【答案】B
【解析】
【分析】 根据平行线分线段成比例定理，可得B 正确．
【详解】
解：//DE BC Q ，//DF AC ， ∴AE AD CE BD =，BF BD CF AD
=， ∴
AE CF CE BF =， 故B 选项正确，选项A 、C 、D 错误，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．
5．如图，正方形OABC 的边长为6，D 为AB 中点，OB 交CD 于点Q ，Q 是y ＝k x
上一点，k 的值是（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．24
【答案】C
【解析】
【分析】 延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值．
【详解】
解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，
OABC Q 是正方形，
6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，
D Q 是AB 的中点，
12
BD AB ∴=， //BD OC Q ， OCQ BDQ ∴∆∆∽，
∴12
BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，
OFQ OAB ∴∆∆∽，
∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ，
2643QF ∴=⨯=，2643
OF =⨯=， (4,4)Q ∴，
Q 点Q 在反比例函数的图象上，
4416k ∴=⨯=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．
6．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列结论正确的是（ ）
A ．AD DE D
B BC
= B ．BF EF BC AB = C ．AE EC FC DE = D ．EF BF AB BC
= 【答案】C
【解析】
【分析】 根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE ∽△ABC ，可判断A 的正误；由△CEF ∽△CAB ，可判定B 错误；由△ADE ～△EFC ，可判定C 正确；由△CEF ∽△CAB ，可判定D 错误.
【详解】
解：如图所示：
∵DE ∥BC ，
∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，
∴△ADE ∽△ABC ，
∴
DE AD AD BC AB DB
=≠， ∴答案A 错舍去；
∵EF ∥AB ，
∴△CEF ∽△CAB ， CF EF BC A B B BF C =≠ ∴答案B 舍去
∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ， ∴∠ADE ＝∠CFE ，
又∵∠AED ＝∠C ，
∴△ADE ～△EFC ，
∴
AE DE EC FC
=，C 正确； 又∵EF ∥AB ， ∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，
∴△CEF ∽△CAB ，
∴
EF CE FC BF AB AC BC BC
==≠， ∴答案D 错舍去；
故选C ．
【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．
7．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，AF 与DE 相交于点O ，则AO DO
=（ ）．
A ．13
B 25
C ．23
D ．12
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件易证△ADE ≌△BAF ，从而进一步得△AOD ∽△EAD ．运用相似三角形的性质即可求解．
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形
∴AE=BF ，AD=AB ，∠EAD=∠B=90︒
∴△ADE ≌△BAF
∴∠ADE=∠BAF ，∠AED=∠BFA
∵∠DAO+∠FAB=90︒，∠FAB+∠BFA=90︒，
∴∠DAO=∠BFA ，
∴∠DAO=∠AED
∴△AOD ∽△EAD ∴12
AO AE DO AD == 故选：D 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
8．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，2CD =，1BD =，则AD 的长是（ ）
A ．1.
B 2
C ．2
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 由在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B ，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD ∽△CBD ，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】
∵在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB ，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B ，
∴△ACD ∽△CBD ，
∴=AD CD CD BD
， ∵CD=2，BD=1， ∴
2=21AD ， ∴AD=4.
故选D.
此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于证得△ACD∽△CBD.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）
A．3
2
B．
9
2
C．
33
D．33
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∵AC=3，AB=6，∴AD=3
2
．故选A．
考点：相似三角形的判定与性质．
10．矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数y
k
x
(x＞0)上，OA＝2，AB
＝4，则k的值为（）
A．4 B．6 C．32
5
D．
42
5
【答案】C
【分析】
根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB ，根据勾股定理得到OB 22OA AB =+=25，过C 作CD ⊥x 轴于D ，根据相似三角形的性质得到CD 855
=，OD 45=， 求得C (8545，)于是得到结论． 【详解】
解：∵四边形ABCO 是矩形，
∴∠A ＝∠AOC ＝90°，OC ＝AB ，
∵OA ＝2，AB ＝4，
∴过C 作CD ⊥x 轴于D ，
∴∠CDO ＝∠A ＝90°，∠COD+∠COB ＝∠COB+∠AOB ＝90°，
∴∠COD ＝∠AOB ，
∴△AOB ∽△DOC ，
∴
OB AB OA OC CD OD ==， ∴25424CD OD
==， ∴CD 85=
，OD 45=， ∴C(45，85)， ∴k 325
=
， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）
A ．20
B ．22.5
C ．25
D ．30 【答案】A
【解析】
【分析】
先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可．
【详解】
∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠
∴C ABD BA ∽△△
∵2AC AD =
∴4S ABD S CBA =V V ∴43S ACD S CBA =V V ∵ACD V 的面积为15
∴44152033
S CBA S ACD ==⨯=V
V 故答案为：A ．
【点睛】 本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
12．（2016山西省）宽与长的比是512
-（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ：以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A ．矩形ABFE
B ．矩形EFCD
C ．矩形EFGH
D ．矩形DCGH
【答案】D
【解析】
【分析】 先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF 的长，再根据DF=GF 求得CG 的长，最后根据CG 与CD 的比值为黄金比，判断矩形DCGH 为黄金矩形．
【详解】
解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF 中，22125DF =+=
5FG ∴=
51CG ∴=-
51CG CD -∴= ∴矩形DCGH 为黄金矩形
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是51-的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH 也为黄金矩形．
13．如图，△ABC 中，∠BAC ＝45°，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，当点C 1、B 1、C 三点共线时，旋转角为α，连接BB 1，交AC 于点D ．下列结论：①△AC 1C 为等腰三角形；②△AB 1D ∽△BCD ；③α＝75°；④CA ＝CB 1，其中正确的是（ ）
A ．①③④
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】 将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，得到△ABC ≌△AB 1C 1，根据全等三角形的性质得到AC 1=AC ，于是得到△AC 1C 为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C 1=∠ACC 1=30°，由三角形的内角和得到∠C 1AC=120°，得到∠B 1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB 1B=30°=∠ACB ，于是得到△AB 1D ∽△BCD ；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C 1AB 1=∠BAC=45°，推出∠B 1AC=∠AB 1C ，于是得到CA=CB 1；故④正确．
【详解】
解：∵将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，
∴△ABC ≌△AB 1C 1，
∴AC 1＝AC ，
∴△AC 1C 为等腰三角形；故①正确；
∴AC 1＝AC ，
∴∠C1＝∠ACC1＝30°，
∴∠C1AC＝120°，
∴∠B1AB＝120°，
∵AB1＝AB，
∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，
∵∠ADB1＝∠BDC，
∴△AB1D∽△BCD；故②正确；
∵旋转角为α，
∴α＝120°，故③错误；
∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°，
∴∠B1AC＝75°，
∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，
∴∠AB1C＝75°，
∴∠B1AC＝∠AB1C，
∴CA＝CB1；故④正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
14．如图，正方形ABDC中，AB＝6，E在CD上，DE＝2，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于G，连AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S∆FCG＝3，其中正确的有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用折叠性质和HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG，从而判断①；设BG=FG=x，则CG=6-x，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC为等腰三角形，由此推
出
180
2
FGC
FCG
-∠
∠=
o
，由①可得
180
2
FGC
AGB
-∠
∠=
o
,从而判断③；过点F作
FM⊥CE，用平行线分线段成比例定理求得FM的长，然后求得△ECF和△EGC的面积，从而求出△FCG的面积，判断④．
【详解】
解：在正方形ABCD 中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°
又∵AG=AG
∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；
由Rt △ABG ≌Rt △AFG
∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4
∴在Rt △EGC 中，222
(6)4(2)x x -+=+
解得：x=3
∴BG ＝3，CG=6-3=3
∴BG ＝CG ，故②正确；
又BG ＝CG ， ∴1802FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG
∴1802FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB
∴AG ∥CF ，故③正确； 过点F 作FM ⊥CE ，
∴FM ∥CG
∴△EFM ∽△EGC
∴FM EF GC EG =即235
FM = 解得65FM =
∴S ∆FCG ＝116344 3.6225
ECG ECF S S -=
⨯⨯-⨯⨯=V V ，故④错误 正确的共3个
故选：C ．
【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
15．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2
y x =
的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x
=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
【答案】D
【解析】 【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9
BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212
BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．
【详解】
解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴
∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°
∵90AOB ∠=︒
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE ∽△OBF ∽△AOD 又∵3AO BO =，2OC CA =
∴
13
OB OA =，23OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOF
S S =V V ∵点B 在反比例函数2y x
=的图象上
∴212
BOF S ==V ∴4COE S =V
∴42
k =，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故选：D ．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．
16．如图，已知△ABC ，D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中，不能确定△ADE ∽△ACB 的是（ ）
A ．∠AED ＝∠B
B ．∠BDE +∠
C ＝180° C ．A
D •BC ＝AC •DE
D ．AD •AB ＝A
E •AC
【答案】C
【解析】
【分析】 A 、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
B ：根据题意可得到∠ADE=∠
C ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
C 、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
D 、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】
解：A 、由∠AED=∠B ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；
B、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
C、由AD•BC=AC•DE，得不能判断△ADE∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角
对应相等的两个三角形相似.
D、由AD•AB=AE•AC得，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）；
有两组角对应相等的两个三角形相似．
17．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（）
A．AD AE
BD EC
=B．
AF DF
AE BE
=C．
AE AF
EC FE
=D．
DE AF
BC FE
=
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断.【详解】
∵DE//BC，∴AD AE
BD EC
=，故A正确；
∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF, ∴AF DF
AE BE
=，故B正确；
∵DF//BE，∴AD AF
BD FE
=，∵
AD AE
BD EC
=，∴
AE AF
EC FE
=，故C正确；
∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC,∴DE AD
BC AB
=，∵DF//BE，∴
AF AD
AE AB
=，∴
DE AF
BC AE
=，
故D错误.
故选D.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.
18．两个相似三角形的对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长相差40cm ，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A ．45cm ，85cm
B ．60cm ，100cm
C ．75cm ，115cm
D ．85cm ，125cm 【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．
【详解】
设小三角形的周长为xcm ，则大三角形的周长为（x+40）cm ， 由题意得，15
4023
x x =+， 解得，x=75，
则x+40=115，
故选C ．
19．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,AB AC 的中点，ADE ∆和四边形BCED 的面积分别记为12,S S ，那么12
S S 的值为（ ）
A ．12
B ．14
C ．13
D ．23
【答案】C 【解析】
【分析】
根据已知可得到△ADE ∽△ABC ，从而可求得其面积比，则不难求得12
S S 的值． 【详解】
∵,D E 分别是边,AB AC 的中点，
∴DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ，
∴DE ：BC=1：2，
所以它们的面积比是1：4，
所以1211=413
S S =-， 故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
20．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =上，若点A 在反比例函数k y x
=上，则k 的值为( )
A ．12
B ．12-
C ．14
D ．14
- 【答案】B
【解析】
【分析】
通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫-
⎪⎝
⎭，然后由点的坐标即可求得答案．
【详解】
解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：
∵点B 在反比例函数2y x =
上 ∴设2,B x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
∴OE x =，2BE x
=
∵90AOB ∠=︒ ∴90AOD BOD ∠+∠=︒
∴90BOE AOF ∠+∠=︒
∵BE x ⊥，AF x ⊥
∴90BEO OFA ∠=∠=︒
∴90OAF AOF ∠+∠=︒
∴BOE OAF ∠=∠
∴BOE OAF V V ∽
∵2OB OA = ∴12
OF AF OA BE OE BO === ∴121122OF BE x x =⋅
=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
∵点A 在反比例函数k y x
=上 ∴12x k x
=- ∴12k =-
． 故选：B
【点睛】
本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．。