高三数学上学期一诊模拟考试试题 理 试题

南山中学2021届高三数学上学期一诊模拟考试试题理
创作人：历恰面日期：2020年1月1日
本套试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕。

满分是150分。

考试时间是是为120分钟，考生答题时，须将答案写在答题卡上，在套本套试卷、草稿纸上答题无效。

第一卷〔选择题一共60分〕
一、选择题:本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
1.集合, ,那么A B〔〕
A.(0,2)
B.[0,2]
C.{0,2}
D.{0,1,2}
，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么以下选项里面一定成立的是〔〕
>ac B.c(b-a)<2<ab2 D.ac(a-c)>0
3.以下命题正确的选项是〔〕
A.命题“p q〞为假命题，那么命题p与命题q都是假命题；
B.命题“假设x=y，那么sinx=siny〞的逆否命题为真命题；
C.假设x0使得函数f(x)的导函数f’(x0)=0，那么x0为函数f(x)的极值点；
D. 命题“x0∈R，使得〞的否认是：“，均有〞.
4.向量满足，且，那么与的夹角为〔〕
A. B. C. D.
5.，那么〔〕
A. B. C. D. -
>1，，那么使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是〔〕
A. B. C. D.
7.为等差数列，，99，以Sn 表示的前n项和，那么使得Sn 到达最大值的n是〔〕
8.假设函数的局部图象如右图所示,为了得到的图象，只需将函数y= f(x)的图象〔〕
A.向左平行挪动个单位长度
B.向左平行挪动个单位长度
C.向右平行挪动个单位长度
D.向右平行挪动个单位长度
9.设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件y= f(x+1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)=
，那么的大小关系是〔〕
>b>>c>>a>>b>a
10.设函数 ,那么使得f(x) f(2x-1)成立的x的取值范围是〔〕
A. B. C. D.
11.函数f(x)= ，假设|f(x)| 恒成立，那么a的取值范围是〔〕
A.[-2,0]
B.[-4,0]
C.[-2,1]
D.[-4,1]
12.在△ABC中，O为外心，，且，那么
〔〕
A. B. C. D.
第二卷〔非选择题一共90分〕
考前须知：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域答题.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.
13.假设x，y满足约束条件那么z=3x-4y的最大值为 .
14.如右图所示，在△ABC中，AB=AC=2,BC=,点D在BC边上，∠ADC=45
那么AD= .
15.设函数在x=1处获得极值0那么a+b= .
16.假设函数f(x) 〔e为自然对数的底数〕的图象上存在两点 M 、N，使得
∠MON=90〔其中O为坐标原点〕，且MN中点恰好在y 轴上，那么实数a 的取值范围是 .
三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明.证明过程或者演算步骤.
17.〔本小题满分是12分〕向量，，假设，且函数f(x)的图象关于直线x对称.
〔Ⅰ〕求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；
〔Ⅱ〕求函数f(x)在上的值域.
18.〔本小题满分是12分〕数列{a n}满足a1=1，a n+1=2S n+1，其中S 为{a n}的前n项和，. 〔Ⅰ〕求a n.
〔Ⅱ〕假设数列{b n}满足，{b n}的前n项和为T n，且对任意的正整数n都有T n<m，求m的最小值.
19.〔本小题满分是12分〕在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积S满足
〔Ⅰ〕求角A的值；
〔Ⅱ〕假设△ABC可以盖住的最大圆面积为，求的最小值.
20.〔本小题满分是12分〕
函数.
〔Ⅰ〕当a=2时，求曲线在点处的切线方程；
〔Ⅱ〕求f(x)的单调区间.
21．〔本小题满分是12分〕函数
〔Ⅰ〕求在x上的最值；
〔Ⅱ〕假设，当有两个极值点时，总有
，〔e为自然对数的底数〕求此时实数t的值.
请考生在第22、23题中任选一题答题.注意：只能做所选定的题目.假如多做，那么按所做的第一题计分,答题时请需要用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(本小题满分是10分〕选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l过定点且与直线OP垂直．以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
〔Ⅰ〕求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
〔Ⅱ〕设直线l与曲线C交于AB两点，求的值．
23.〔本小题满分是10分〕选修4-5：不等式选讲
函数．
〔Ⅰ〕假设的最小值为4，求a 的值；
〔Ⅱ〕当x[2，4]时，f(x)<x恒成立，求a的取值范围．
南山中学2021级第一次诊断考试模拟试题
数学〔理工类〕参考答案
一、选择题:
D A B D A C B B C A B A
二、填空题：
15.79-
16.1
(0,]2e
三、解答题： 17.解：〔Ⅰ〕
()2sin 2cos f x a b x θ=⋅=2sin )x x θθ=+， ……………2分
∵函数()f x 的图象关于直线6
x π
=对称，∴26
2
k π
π
θπ⨯+=+
，k Z ∈，
∴6
k π
θπ=+，k Z ∈，又2
π
θ<
，∴6
π
θ=
. ……………………3分
∴())6
f x x π
=
+. ……………………4分
∵函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]22
k k ππ
ππ++，k Z ∈.
令32[2,2]622x k k πππππ+∈++，∴2[,]63
x k k ππππ∈++. ……………………5分
∴()f x 的单调递减区间为2[,]63
k k ππ
ππ++，k Z ∈. ……………………6分
〔Ⅱ〕∵[,]43x ππ∈-，∴52[,]646
x πππ
+∈-.……………………8分
∴sin(2)[6
x π
+
∈，∴()f x 在[,]43
x ππ
∈-上的值域为
[2
-
……………………12分 〔Ⅰ〕1121,21,(2)n n n n a S a S n +-=+=+≥
两式相减得112,3n n n n n a a a a a ++-== ……………………3分 注意到12111,2133a a S a ==+== ……………………4分
于是11,3n n n a a -∀≥=，所以1
3n n a -=. ……………………6分
〔Ⅱ〕1111
()(2)22
n b n n n n =
=-++ ……………………7分
111111(1)23242
n T n n =-+-+-+…+ ……………………9分
11113(1)22124
n n =+--<++ ……………………11分 所以m 的最小值为3
4
……………………12分
19.解：〔Ⅰ〕在ABC ∆中由余弦定理有2222cos b c a bc A +-= ……………………1分
2221
)cos 422
S b c a A bcsinA =
+-== ……………………4分
tan A =(0,)A π∈，.3
A π=
……………………6分
〔Ⅱ〕由余弦定理，可知222.a b c bc =+-由题意，可知ABC ∆的内切圆半径为1. ……………………7分
ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,可得b c a +-= (9)
分
222(4()12b c b c bc b c bc +-=+-⇒=+≥≥或者4
3
bc ≤
〔舍〕 ………11分
[)1
6,,2
AB AC bc ⋅=∈+∞当且仅当b c =时，AB AC ⋅的最小值为
6. ……………………12分
20.解：〔I 〕当2a =时，
21
()ln(1),()2 1.1f x x x x f x x x
'=++-=
+-+ ……………………2分 由于3
(1)ln 2,(1),2
f f '==
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3
ln 2(1)2
y x -=-，即
322ln 230.x y -+-= ……………………………………………………
……4分
〔Ⅱ〕()f x 的定义域为(1,),-+∞2(1)'()1ax a x
f x x
+-=+，
当0a =时，()1x
f x x
'=-
+因此在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，
'()0f x <；
所以()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞；……………………6分 当0a ≠时令'()0,f x =解得1210,a
x x a
-==
且21x x >， 当01a <<时，()f x 在2(1,0),(,)x -+∞上单调递增，在2(0,)x 单调递减；……………………8分
当1a >时，121x x >>-，()f x 在2(1,),(0,)x -+∞上单调递增，在2(,0)x 单调递减；………10分
当1a =时，()f x 在(1,)-+∞单调递增. ……………………………………………………12分
21.解：〔Ⅰ〕()2(21)1,x f x x x e '=+-+因为1
[,1]2
x ∈，所以2210,x x +->所以
()0,
f x '>
所以()f x 在1[,1]2
上单调递增，……………………2分
所以当12x =时，1
2min 1111
()()(1),2422
f x f e ==-+=
当1x =时，()()max 1 1.f x f == ……………………4分 〔Ⅱ〕2()(1),x
g x x a e =--那么2()(21).x g x x x a e '=+--
根据题意，得方程2210x x a +--=有两个不同的实根1212,()x x x x <， 所以0,∆>即2a >-且122,x x +=-所以121x x <-<.
由221()(2)(1)x
e g x t x e ⋅≤++，可得2
22
21(1)(2)(1),x x e x a e
t x e --≤++
又2
221212,2,x a x x x --=-+=- …………………………………6分
所以上式化为222[2(1)]0x x
x e e t e ⋅-+≥对任意的21x >-恒成立. ……………………7分
〔i 〕当2x =0时，不等式222[2(1)]0x x
x e e t e ⋅-+≥恒成立，;t R ∈……………………8分
〔ii 〕当2(1,0)x ∈-时，2
2
2(1)0x x e e t e ⋅-+≤恒成立，即2
22.1
x x e e t e ⋅≥+
令函数22
2221
()2(1),11
x x x e e h x e e e ⋅==-++显然，()2h x 是R 上的增函数， 所以当2(1,0)x ∈-时，2()(0),h x h e <=所以.t e ≥……………………10分
〔iii 〕当2(0,)x ∈+∞时，2
2
2(1)0x x e e t e ⋅-+≥恒成立，即2
22.1
x x e e t e ⋅≤+
由〔ii 〕得，2(0,)x ∈+∞时，2()(0)h x h e ⋅=，所以.t e ≤……………………11分 综上所述t e =. ……………………12分
22.解：〔Ⅰ〕曲线C 的直角坐标方程为2
2y x =………………………………2分
直线l
的参数方程为1212
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)．………………………………4分 〔Ⅱ〕设A B 、对应的参数分别为12t t 、………………………………5分
将直线l 与曲线C
的方程联立得240t -+=*“”………………………………6分
那么12
t t 、是*“”
的二根那么1212
4t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩8分 故
12
t t 、同正
∴
1212121111||||||||4
t t PA PB t t t t ++=+===10分 23.解：〔Ⅰ〕()f x 的最小值为4
∴()3|3|f x x a x a =-+--≥………………………………1分 ∴|3|4a -=………………………………2分
解得7a =或者1-．………………………………4分
〔Ⅱ〕①34x ≤≤时，()f x x <恒成立等价于||3x a -<恒成立………………………………
5分
即33a x a -<<+在34x ≤≤时恒成立………………………………6分
即33
34a a -<⎧⎨
+>⎩
解得16a <<………………………………7分
②23x <≤时，()f x x <恒成立等价于||23x a x -<-恒成立………………………………8分
即333x a a x >-+⎧⎪+⎨>⎪⎩在23x <≤时恒成立必有323
23
a a -+<⎧⎪+⎨<⎪⎩ 解得13a <<………………………………9分
综上，a 的范围是(13)，．………………………………10分。