北京市石景山区2019-2020学年中考数学五月模拟试卷含解析

北京市石景山区2019-2020学年中考数学五月模拟试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）
A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱
2．已知反比例函数y=
8
k
x
-
的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（）
A．k＞8 B．k≥8C．k≤8D．k＜8
3．如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC 于点E，则DE的长是( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4．已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁，经重新计算后，正确的平均数为a岁，中位数为b岁，则下列结论中正确的是（）
A．a＜13，b=13 B．a＜13，b＜13 C．a＞13，b＜13 D．a＞13，b=13
5．有一组数据：3，4，5，6，6，则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（）
A．4.8，6，6 B．5，5，5 C．4.8，6，5 D．5，6，6
6．已知二次函数y=-x2-4x-5，左、右平移该抛物线，顶点恰好落在正比例函数y=-x的图象上，则平移后的抛物线解析式为（）
A．y=-x2-4x-1 B．y=-x2-4x-2 C．y=-x2+2x-1 D．y=-x2+2x-2
7．下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）
A．y＝x2B．y＝x﹣1 C．
3
4
y x
=D．
1
y
x
=
8．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=1
3
CD，过点B作BF∥DE，与
AE的延长线交于点F，若AB=6，则BF的长为（）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．10
9． sin60o 的值等于（ ）
A ．12
B ．22
C ．3
D ．1
10．据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，请用科学记数法表示地球海洋面积面积约为多少平方千米( )
A ．73610⨯
B ．83.610⨯
C ．90.3610⨯
D ．93.610⨯
11．下列运算中，正确的是（ ）
A ．（a 3）2=a 5
B ．（﹣x ）2÷x=﹣x
C ．a 3（﹣a ）2=﹣a 5
D ．（﹣2x 2）3=﹣8x 6
12．若0＜m ＜2，则关于x 的一元二次方程﹣（x+m ）（x+3m ）＝3mx+37根的情况是（ ） A ．无实数根
B ．有两个正根
C ．有两个根，且都大于﹣3m
D ．有两个根，其中一根大于﹣m
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．为了求1+2+22+23+…+22016+22017的值，
可令S ＝1+2+22+23+…+22016+22017，
则2S ＝2+22+23+24+…+22017+22018，
因此2S ﹣S ＝22018﹣1，
所以1+22+23+…+22017＝22018﹣1．
请你仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52017的值是_____．
14．已知点P 在一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，且k ＜0，b ＞0）的图象上，将点P 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q ，点Q 也在该函数y=kx+b 的图象上．
（1）k 的值是 ；
（2）如图，该一次函数的图象分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，且与反比例函数y=图象交于C ，D
面积，若=，则b
的值是
．
15．计算：2cos60°
－38+(5－π)°=____________.
16．△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝_ ▲ ．
17．如图，点A、B、C 在⊙O 上，⊙O 半径为1cm，∠ACB=30°，则»AB的长是________．
18．据统计，今年无锡鼋头渚“樱花节”活动期间入园赏樱人数约803万人次，用科学记数法可表示为_____人次．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；
（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？
20．（6分）（1）解不等式组：
232
2112
323
x x
x
x
>-
⎧
⎪
-
⎨
≥-
⎪⎩
；
21．（6分）（1）计算：（﹣2）﹣2+1
2
cos60°﹣（3﹣2）0；
（2）化简：（a﹣1
a
）÷
221
a a
a
-+
．
22．（8分）给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3（k≠0），当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k 的值；当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值；由于k 的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：
①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
23．（8分）如图，已知∠AOB=45°，AB⊥OB，OB=1．
（1）利用尺规作图：过点M作直线MN∥OB交AB于点N（不写作法，保留作图痕迹）；
（1）若M为AO的中点，求AM的长．
24．（10分）△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠A＝60°，点D在AC上，连接BD作等边三角形BDE，连接OE．
如图1，求证：OE＝AD；如图2，
连接CE，求证：∠OCE＝∠ABD；如图3，在(2)的条件下，延长EO交⊙O于点G，在OG上取点F，
使OF＝2OE，延长BD到点M使BD＝DM，连接MF，若tan∠BMF 53
，OD＝3，求线段CE的长．
25．（10分）某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：
x(万元) 1 2 2.5 3 5
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：y B＝ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．
(1)求出y B与x的函数关系式；
(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；
(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？
26．（12分）先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣3．
27．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC 于点F，求证：AE＝AF．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．A
【解析】
【分析】
侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
【详解】
解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选A．
【点睛】
本题考查的是三棱柱的展开图，对三棱柱有充分的理解是解题的关键．．
2．A
本题考查反比例函数的图象和性质，由k-8＞0即可解得答案．【详解】
∵反比例函数y=
8
k
x
的图象位于第一、第三象限，
∴k-8＞0，
解得k＞8，
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
3．C
【解析】
【分析】
连接AE,根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE,在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长.
【详解】
连接AE，
∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，
由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG，
在△AFE和△ADE中，
∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF=DE，
设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.
在直角△ECG中，根据勾股定理，得：
(6−x)2+9=(x+3)2，
熟练掌握翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是本题的解题关键.
4．A
【解析】
试题解析：∵原来的平均数是13岁，
∴13×23=299（岁），
∴正确的平均数a=≈12.97＜13，
∵原来的中位数13岁，将14岁写成15岁，最中间的数还是13岁，
∴b=13；
故选A．
考点：1.平均数；2.中位数.
5．C
【解析】
【分析】
【详解】
解：在这一组数据中6是出现次数最多的，故众数是6；
而将这组数据从小到大的顺序排列3，4，5，6，6，处于中间位置的数是5，
平均数是：（3+4+5+6+6）÷5=4.8，
故选C．
【点睛】
本题考查众数；算术平均数；中位数．
6．D
【解析】
【分析】
把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数y=﹣x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，而平移时，顶点的纵坐标不变，即可求得函数解析式．
【详解】
解：∵y=﹣x1﹣4x﹣5=﹣（x+1）1﹣1，∴顶点坐标是（﹣1，﹣1）．
由题知：把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数y=﹣x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律，上下平移时，点的横坐标不变；左右平移时，点的纵坐标不变．同时考查了二次函数的性质，正比例函数y=﹣x的图象上点的坐标特征．7．D
【解析】
A、、∵y＝x2，∴对称轴x=0，当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x 的增大而减小，故此选项错误
B、k＞0，y随x增大而增大，故此选项错误
C、B、k＞0，y随x增大而增大，故此选项错误
D、y=1
x
（x＞0），反比例函数，k＞0，故在第一象限内y随x的增大而减小，故此选项正确
8．C
【解析】
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，
∴CD=1
2
AB=1．
又CE=1
3 CD，
∴CE=1，
∴ED=CE+CD=2．
又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线，
∴BF=2ED=3．
故选C．
9．C
【解析】
试题解析:根据特殊角的三角函数值,可知:
sin60
o
故选C.
10．B
【解析】
当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
详解：将360000000用科学记数法表示为：3.6×
1． 故选：B ．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
11．D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的除法、乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即可．
【详解】
∵（a 3）2=a 6，
∴选项A 不符合题意；
∵（-x ）2÷x=x ，
∴选项B 不符合题意；
∵a 3（-a ）2=a 5，
∴选项C 不符合题意；
∵（-2x 2）3=-8x 6，
∴选项D 符合题意．
故选D ．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的除法、乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，要熟练掌握．
12．A
【解析】
【分析】
先整理为一般形式，用含m 的式子表示出根的判别式△，再结合已知条件判断△的取值范围即可.
【详解】
方程整理为22x 7mx 3m 370+++=，
△()()
22249m 43m 3737m 4=-+=-，
∵0m 2<<，
∴△0<，
∴方程没有实数根，
故选A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．2018514
- 【解析】
【分析】
根据上面的方法，可以令S=1+5+52+53+…+52017，则5S=5+52+53+…+52012+52018，再相减算出S 的值即可.
【详解】
解：令S ＝1+5+52+53+ (52017)
则5S ＝5+52+53+…+52012+52018，
5S ﹣S ＝﹣1+52018，
4S ＝52018﹣1，
则S ＝2018514
-， 故答案为：2018514
-． 【点睛】
此题参照例子，采用类比的方法就可以解决，注意这里由于都是5的次方，所以要用5S 来达到抵消的目的.
14．（1）-2；（2）【解析】
【分析】
【详解】
(1)设点P 的坐标为(m ，n),则点Q 的坐标为(m−1，n+2)，
依题意得：
() 21n km b n k m b =+⎧⎨+=-+，。