北京市各区一模二模试题分类汇编之概率论与数理统计 理科

2017年北京市各区一模二模试题分类汇编 概率论与数理统计
1.(2017年东城一模理科) 近年来共享单车在我国主要城市发展迅速．目前市场上有多种类型的共享单车，有关部门对其中三种共享单车方式（M 方式、Y 方式、F 方式）进行统计（统计对象年龄在1555 岁），相关数据如表1，表2所示．
三种共享单车方式人群年龄比例（表1） 不同性别选择共享单车种类情况统计（表2）
（Ⅰ）根据表1估算出使用Y 共享单车方式人群的平均年龄；（Ⅱ）若从统计对象中随机选
取男女各一人，试估计男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率；（Ⅲ）现有一个年龄在2535 岁之间的共享单车用户，那么他使用Y 方式出行的概率最大，使用F 方式出行的概率最小，试问此结论是否正确？（只需写出结论）
2.(2017年西城一模理科)在测试中，客观题难度的计算公式为i
i R P N
=
，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5
道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设i P '为第i 题的实测难度，请用i P 和i P '设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
3.(2017年海淀一模理科)据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠8-10万吨邮轮的深水港.通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区.这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约0.4亿美元.
有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.下表记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：
月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X 为瓜达尔港未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X 的数学期望（不需要计算过程）.
4.(2017年朝阳一模理科)某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员
工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小．（只需写出结论）
5.(2017年东城二模理科)小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.
（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）
6.(2017年西城二模理科)某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，
[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：
定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：
（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．
7. (2017年海淀二模理科)为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.
上图中，已知课程,,,,A B C D E 为人文类课程，课程,,F G H 为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组M ”).(Ⅰ)在“组M ”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？(Ⅱ)为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M ”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F 或课程H 的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G 的同学参加，费用为每人2000元.(ⅰ)设随机变量X 表示选出的4名同学中选择课程G 的人数，求随机变量X 的分布列；(ⅱ)设随机变量Y 表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y 的期望.
8. (2017年朝阳二模理科)从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量
X 的分布列和数学期望EX ．
a 身高(cm)
1.解：（Ⅰ）5a =．由表1知使用Y 共享单车方式人群的平均年龄的估计值为：
Y 方式：2020%3055%+4020%+505%=31?创?.
答：Y 共享单车方式人群的平均年龄约为31岁.……………5分 （Ⅱ）设事件i A 为“男性选择i 种共享单车”，1,2,3i =， 设事件i B 为“女性选择i 种共享单车”，1,2,3i =，
设事件E 为“男性使用单车种类数大于女性使用单车种类数”.
由题意知，213132E A B A B A B = . 因此213132()()()()P E P A B P A B P A B =++0.58=. 答：男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为0.58.……11分 （Ⅲ）此结论不正确.……………………………13分
2. 解：（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为
4
0.220
=．[2分] 所以，估计240人中有2400.248⨯=人实测答对第5题．[3分]
（Ⅱ）X 的可能取值是0，1，2．[4分]216220C 12(0)19C P X ===；11
164
220
C C 32(1)95C P X ===；
242
C 3
(2)95
C P X ===
．[7分]X 的分布列为： 1232338
01219959595
EX =⨯
+⨯+⨯=
．[10分] （Ⅲ）将抽样的20名学生中第i 题的实测难度，作为240名学生第i 题的实测难度．
定义统计量222
11221[()()()]n n S P P P P P P n
'''=-+-++- ，其中i P
为第i 题的预估难度．规定：若0.05S <，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．[11分]
222221
[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5
S =-+-+-+-+-0.012=．[12分]
因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]
注：本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断．如“预估难度与实测难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的平均值”等，学生只要言之合理即可．
3.解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资340亿，占总投资460亿的50%以
上，所占比重大，
（Ⅱ）设事件A ：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨. ---------------1分 根据上面提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：
56，49，59，54，54，57，59，58，58，56，55，56， 其中超过55百万吨的月份有8个，所以，82()123
P A ==； （Ⅲ）X 的数学期望8EX =.
4.解：（Ⅰ）抽取的5人中男员工的人数为5
27345
⨯=， 女员工的人数为
5
18245
⨯=．…………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．所以，随机变量X
的所有可能取值为1, 2, 3．根据题意，12323
53
(1)10
C C P X C ⋅===， 2132356(2)10C C P X C ⋅===，30
323
51
(3)10
C C P X C ⋅===．随机变量X 的分布列是：
数学期望361189123101010105
EX =⨯
+⨯+⨯==．
（Ⅲ）22
12s s =．…=…………13分 5.解：设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”（1,2,,9i = ）. 根据题意，1
()9
i P A =
，且()i j A A i j =乒
. …………1分
（Ⅰ）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”， 则47B A A = . …………2分 所以47472
()()()()9
P B P A A P A P A ==+=
. …………5分 （Ⅱ）由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2， …………6分
4784781
(0)()()()()3P X P A A A P A P A P A ===++= ，…………7分
356935694
(1)()()()()()9P X P A A A A P A P A P A P A ===+++= ，………8分
12122
(2)()()()9
P X P A A P A P A ===+=
． …9分 所以X 的分布列为
故X 的期望1428
0123999
EX =?
??．…………………11分 （Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…………13分 6.解：（Ⅰ）由对A 餐厅评分的频率分布直方图，得
对A 餐厅“满意度指数”为0的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，[ 2分] 所以，对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数为1000.220⨯=． [ 3分] （Ⅱ）设“对A 餐厅评价‘满意度指数’比对B 餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C ． 记“对A 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1A ；“对A 餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件2A ；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件0B ；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1B ．所以1(A )(0.020.02)100.4P =+⨯=，2(A )0.4P =，[ 5分] 由用频率估计概率得：0235(B )0.1100P ++=
=，11540
(B )0.55100
P +==． [ 7分] 因为事件A i 与B j 相互独立，其中1,2i =，0,1j =．
所以102021(C)(A B A B A B )P P =++102021(A )(B )(A )(B )(A )(B )P P P P P P =++
0.40.10.40.10.40.550.3=⨯+⨯+⨯=． [10分]
所以该学生对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3． （Ⅲ）如果从学生对A ，B 两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看： A 餐厅“满意度指数”X 的分布列为：
B 餐厅“满意度指数”Y 的分布列为：
因为()00.210.420.4 1.2E X =⨯+⨯+⨯=；()00.110.5520.35 1.25E Y =⨯+⨯+⨯=， 所以()()E X E Y <，会选择B 餐厅用餐. 注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可． 7.
8.解：（Ⅰ）根据题意得：(0.00520.02020.040)101a ⨯++⨯+⨯=．解得 0.010a = （Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则
1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=172.5
所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm ． …………7分
（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm 以上的概率约为14
． 由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3． 所以0
3
31
327(0)()()44
64P X C ==⋅=
；11
231327(1)()()4464
P X C ==⋅=； 2213139(2)()()4464P X C ==⋅=
；33
03131(3)()()4464
P X C ==⋅=．
随机变量X的分布列为
因为X~
1
(3)
4
B，，所以3
44
EX=⨯=．…………………………………13分。