数列总结复习与题型分类讲义(学生版)

数列总结复习与题型分类
一、 考点回顾
1．数列的概念，数列的通项公式与递推关系式，等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质。

2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

(2)通项公式法：
①若1(1)()n k a a n d a n k d =+-=+-，则{}n a 为等差数列； ②若，则{}n a 为等比数列； ③中项公式法：验证都成立。

3．在等差数列{}n a 中,有关S n 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当10a >,d<0时，满足
的项数m 使得m S 取最大值. (2)当10a <,d>0时，满足的项数m 使得m S 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

4．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累积法、归纳猜想证明法等。

5．数列的综合应用：
⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。

⑵数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。

6．注意事项：
⑴证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明11-+-=-n n n n a a a a 或1
1-+=n n n n a a a a 而得。

⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。

⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

⑷注意一些特殊数列的求和方法。

⑸注意n s 与n a 之间关系的转化。

如： n a =,,11--n n s s s 21≥=n n ，n a =∑=--+n k k k a a a 2
11)(． ７．知识网络
111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解
的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩
等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 二、 经典例题剖析
1、定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等
比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数： ①2()f x x =； ②()2x f x =；
③()f x = ④()ln ||f x x =.
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ）
A ．① ②
B ．③ ④
C ．① ③
D ．② ④
2、已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078
a a a a +=+（ ）
A.1+
B. 1
C. 3+
D 3-
变式训练：《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为 升
3、设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{215+}，[215+],2
15+（ ） A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是（ ）
A.289
B.1024
C.1225
D.1378
5、已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8.
（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}n a 的前n 项和.
6、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b 。

(I) 求数列{}n b 的通项公式；
(II) 数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是等比数列。

7、已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a （单位：m 2），其中有部分旧住房需要拆除。

当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b （单位：m 2）的旧住房。

（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？（计算时取1.15=1.6）
8、已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55, a 2+a 7＝16. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式：
（Ⅱ）若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝＝)(2...222n 33221为正整数n b b b b n +++，求数列{b n }的前n 项和S n
9、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=λ，a n+1=43
2-+n a n ,b n =(－1)n (a n －3n+21)，其中λ为实数，n 为正整数。

（I ）证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列； （II ）证明：当18{}n b λ≠-时，数列是等比数列；。