广东高二高中数学期中考试带答案解析

广东高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品的数量之比为，现用分层抽样的的方法抽出样本容量为的样本，样本中A型产品有16件，那么（）
A．100B．80C．60D．20
2.海南岛购物免税在十一期间异常火爆，现对某商场10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至11时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为（）
A．12万元B．10万元C．8万元D．6万元
3.如下图是年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（）
A．84,，84B．84，85C．85，84D．85,85
4.某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为，则=（）
A．19B．9C．4D．3
5.直线与圆相交于、两点，则弦的长等于（）
A．B．C．D．
6.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点﹐球面上有两个点，的坐标分别为，，则
（）
A．B．C．D．
7.抛2颗骰子，则向上点数不同的概率为（）
A．B．C．D．
8.圆关于直线对称的圆的方程为（）
A．B．
C．D．
9.直线截圆所得劣弧长为（）
A．B．C．D．
10.一组数据的平均数是2，方差是4，若将这组每个数据都加上10构成一组新数据，则这组新数据的平均数和标准差分别是（）
A．12，2B．12，12C．8，2D．8，12
11.设在区间上随机地取值，则方程有实根的概率是（）
A．B．C．D．
12.两圆的位置关系是（）
A．外离B．外切C．相交D．内切
二、填空题
1.某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为6的样本，已知座位号分别为6，14，30，38，46的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是．
2.以点为圆心且与直线相切的圆的方程是 ______
3.若直线经过圆的圆心，则的最小值为________________
三、解答题
1.对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：
上述数据的统计分析中，一部分计算见如右图所示的程序框图（其中是这8个数据的平均数），则输出的的值是________
2.（本小题满分12分）
已知△的内角所对的边分别为且．
（1）若, 求的值;
（2）若△的面积求的值．
3.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
4.（本小题满分12分）
某校从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图，估计本次数学成绩的平均数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求恰好有人分数在的概率．
5.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为平行四边形，
，底面．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
6.（本小题满分12分）
某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据：
（1）画出散点图并指出与之间是正相关还是负相关；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
其中（）
（3）记忆力为14的同学的判断力约为多少？
7.（本小题满分10分）
已知圆的圆心在轴上，且圆与直线相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）若线段为圆的直径，点为直线上的动点，求的最小值．
广东高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品的数量之比为，现用分层抽样的的方法抽出样本容量为的样本，样本中A型产品有16件，那么（）
A．100B．80C．60D．20
【答案】B
【解析】．故B正确．
【考点】分层抽样．
2.海南岛购物免税在十一期间异常火爆，现对某商场10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至11时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为（）
A．12万元B．10万元C．8万元D．6万元
【解析】该商场10月2日9时至14时的总销售额为万元,
所以11时至12时的销售额为万元．故C正确．
【考点】频率分布直方图．
3.如下图是年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（）
A．84,，84B．84，85C．85，84D．85,85
【答案】B
【解析】剩余的数据从小到大排列为84,84,85,86,87．其中84出现2次其余各数均出现1次,所以众数为84．5个数据中位于中间的为85,所以中位数为85．故B正确．
【考点】众数,中位数．
4.某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为，则=（）
A．19B．9C．4D．3
【答案】C
【解析】根据框图的循环结构依次为: ; ;
,跳出循环,输出,解得．故C正确．
【考点】算法．
5.直线与圆相交于、两点，则弦的长等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由圆的方程可知圆心,半径．
圆心到直线的距离为．
因为,．故A正确．
【考点】直线与圆的相交弦．
6.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点﹐球面上有两个点，的坐标分别为，，则（）
A．B．C．D．
【解析】．故D正确．
【考点】空间两点间距离．
7.抛2颗骰子，则向上点数不同的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】抛两颗骰子向上点数相同的概率为,则向上点数不同的概率为．故D正确．
【考点】古典概型概率．
8.圆关于直线对称的圆的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由圆的方程可知圆心,半径．
点关于直线的对称点为．
所以所求圆的圆心为,半径仍为1,所以所求圆的方程为．故B正确．
【考点】点关于直线的对称点问题．
9.直线截圆所得劣弧长为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由圆的方程可知圆心为,半径．
圆心到直线即的距离．
劣弧所对的圆心角为．可得,
．所以所求劣弧长为．故D正确．
【考点】1直线与圆相交弦;2弧长公式．
10.一组数据的平均数是2，方差是4，若将这组每个数据都加上10构成一组新数据，则这组新数据的平均数和标准差分别是（）
A．12，2B．12，12C．8，2D．8，12
【答案】A
【解析】设原来这组数据的总和为,
则可得,解得,即原来这组数据的平均数为12．
设原来这组数据为,
则新数据的方差为,
原来这组数据的方差为,
则标准差为2．
【考点】平均数,方差．
11.设在区间上随机地取值，则方程有实根的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若方程有实根,
则,即,解得或．
则所求概率．故C正确．
【考点】几何概型概率．
12.两圆的位置关系是（）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】D
【解析】圆的圆心为,半径;
圆的圆心为,半径．
两圆心距．所以两圆内切．
【考点】两圆的位置关系．
二、填空题
1.某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为6的样本，已知座位号分别为6，14，30，38，46的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是．
【答案】22
【解析】分段间隔为,因为,所以在座位号14和30间还应有一个座位号应为．【考点】系统抽样．
2.以点为圆心且与直线相切的圆的方程是 ______
【答案】
【解析】圆心到直线的距离．
因为直线与圆相切,所以所求圆的半径．
则所求圆的方程为．
【考点】1圆的方程;2直线与圆的位置关系．
3.若直线经过圆的圆心，则的最小值为________________
【答案】9
【解析】将圆的方程变形为,可知圆心为,半径为．
直线过圆心．即．
,
,当且仅当即时取等号．
【考点】1圆的对称性;2基本不等式．
三、解答题
1.对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：
上述数据的统计分析中，一部分计算见如右图所示的程序框图（其中是这8个数据的平均数），则输出的的值是________
【答案】7
【解析】,
输出
【考点】1算法;2方差．
2.（本小题满分12分）
已知△的内角所对的边分别为且．
（1）若, 求的值;
（2）若△的面积求的值．
【答案】（1）;（2）,．
【解析】（1）根据同角三角函数基本关系式由可得的值,再由正弦定理可得．（2）由（1）值的值,根据三角形面积公式可得的值．再由余弦定理可得的值．
试题解析：解（1）∵，∴
依正弦定理有
（2）
得
∴
∴
【考点】1同角三角函数基本关系式;2正弦定理, 余弦定理．
3.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）;（2）．
【解析】（1）根据公式可求得．（2）将变形,用裂项相消法求数列的和．
试题解析：解：（1）当时，
当时，
又也适合上式
∴
（2）
∴
【考点】1公式法求通项公式;2裂项相消求数列的和．
4.（本小题满分12分）
某校从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图，估计本次数学成绩的平均数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求恰好有人分数在的概率．
【答案】（1）详见解析; （2）71; （3）．
【解析】（1）频率分布直方图中每个小矩形的面积表示该组的频率,由频率和为1可得分数在内的频率,从而可得小矩形的高．（2）频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和即为所求的平均值．（3）根据可求得与内各抽取的人数．将从5人中抽取2人所包含的基本事件一一例举,再将恰有1人分数在内所包含的基本事件一一例举,根据古典概型概率公式即可求得所求概率．
试题解析：解（1）分数在内的频率为
∴分数在对应矩形的高为
补全这个频率分布直方图如图
（2）本次数学成绩的平均数为
分
（3）内抽取人，记为
内抽取人，记为
从5人中任取2人共有10结果：
记恰好有1人分数在，则包含6种结果：
∴
【考点】1频率分布直方图;2古典概型概率．
5.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为平行四边形，
，底面．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）详见解析; （2）．
【解析】（1）在中用余弦定理可得的长,再根据勾股定理可证得,由底面可得．根据线面垂直的定义可证得平面,从而可得．（2）根据可求得所求．
试题解析：（1）证明：∵底面，底面,∴
在中，
，∴
又，∴
又，∴平面
又平面，∴
（2）解：由（1）知：，∴，且
在中，
∵底面，∴为三棱锥的高，且
∴
∴三棱锥的体积为
【考点】1余弦定理;2线面垂直;棱锥的体积．
6.（本小题满分12分）
某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据：
（1）画出散点图并指出与之间是正相关还是负相关；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
其中（）
（3）记忆力为14的同学的判断力约为多少？
【答案】（1）详见解析; （2）;（3）记忆力为14的同学的判断力约为．
【解析】（1）直接在坐标系中描点即可．
（2）先求样本各平均数,再根据公式求,从而可得所求回归直线方程．
（3）将代入记忆力为14的同学的判断力约为即可得所求．
试题解析：解：（1）与的散点图如图：
如图可知与是正相关
（2）法一：
∴
∴
∴
∴关于的线性回归方程
法二：
∴
∴
∴关于的线性回归方程
（3）当时，
∴记忆力为14的同学的判断力约为
【考点】线性回归方程．
7.（本小题满分10分）
已知圆的圆心在轴上，且圆与直线相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）若线段为圆的直径，点为直线上的动点，求的最小值．
【答案】（1）;（2）7．
【解析】（1）可设出圆的方程,将且点坐标代入,再根据直线与圆相切可得圆心与切点连线与直线垂直,或圆心到直线的距离等于半径即可求得所设系数,从而可得圆的方程．（2）将根据向量的加减法法则分解变形,从而可
得．整理可得,将问题转化为求的最小值,即圆心到直线的最小距离问题．
试题解析：解（1）法一:设圆心的坐标为，则，得
∴，半径
∴圆的方程为
法二: 设圆的方程为，则圆心为，半径为
依题意有：（或，）…2分
解得：
∴圆的方程为
（2）∵线段为圆的直径，∴
∴
的最小值就是点到直线的距离
即
∴的最小值为
【考点】1圆的方程;2向量的加减法,数量积公式;3点到线的距离;4转化思想．。