2020-2021初中数学图形的相似分类汇编附答案

2020-2021初中数学图形的相似分类汇编附答案
一、选择题
1．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是（ ）
A ．1.5cm
B ．1.2cm
C ．1.8cm
D ．2cm
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
由图2知，点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒，
∵点P 的运动速度是每秒1cm ， ∴AC=3，BC=4．
∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°， ∴根据勾股定理得：AB=5．
如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则易得△ABC ∽△ACH ． ∴
CH AC BC AB =，即AC BC 3412
CH CH AB 55
⋅⨯=⇒==． ∴如图，点E （3，
12
5
），F （7，0）． 设直线EF 的解析式为y kx b =+，则
12
3k b {507k b
=+=+，
解得：3k 5
{21b 5
=-
=
．
∴直线EF 的解析式为321y x 55=-
+． ∴当x 5=时，()3216
PD y 5 1.2cm 5
55
==-⨯+==． 故选B ．
2．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( ) A ．2∶3 B ．4∶9
C
D ．3∶2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以
224
()39
ABC DEF S S ==V V ． 【详解】
因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方， 所以S △ABC ：S △DEF =（23）2=4
9
，故选B ． 【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．
3．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ） A ．1：2 B ．1：5
C ．1：100
D ．1：10
【答案】C 【解析】
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100． 故选：C ．
点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
4．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )
A ．
AD AE
AB EC = B ．
AG AE
GF BD
= C ．
OD AE
OC AC
= D ．
AG AC
AF EC
= 【答案】C 【解析】 【分析】
由//DE BC 可得到DEO V ∽CBO V ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质
进行判断即可． 【详解】
解：A.∵//DE BC ， ∴
AD AE
AB AC
= ,故不正确； B. ∵//DE BC ， ∴
AG AE
GF EC
= ,故不正确； C. ∵//DE BC ，
∴ADE V ∽ABC V ，DEO V ∽CBO V ,
DE AE BC AC ∴=，
DE OD
BC OC = ． OD AE
OC AC
∴
= ，故正确； D. ∵//DE BC ，
∴
AG AE
AF AC = ,故不正确； 故选C ． 【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为1
3
，点A ，B ，E 在x 轴上．若正方形ABCD 的边长为2，则点F 坐标为（ ）
A．（8，6）B．（9，6）C．
1
9,6
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．（10，6）
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO 的长，即可得出答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1
3
，
∴
1
3 BC OB
EF EO
==，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴1
36
BO
BO
=
+
，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（）
A．AD DE
DB BC
=B．
BF EF
BC AB
=C．
AE
EC FC
DE
=D．
EF BF
AB BC
=
【答案】C 【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE ∽△ABC ，可判断A 的正误；由△CEF ∽△CAB ，可判定B 错误；由△ADE ～△EFC ，可判定C 正确；由△CEF ∽△CAB ，可判定D 错误. 【详解】 解：如图所示：
∵DE ∥BC ，
∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ，
∴
DE AD AD
BC AB DB =≠， ∴答案A 错舍去； ∵EF ∥AB ，
∴△CEF ∽△CAB ，
CF EF BC A B B BF
C
=≠ ∴答案B 舍去
∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ， ∴∠ADE ＝∠CFE ， 又∵∠AED ＝∠C ， ∴△ADE ～△EFC ，
∴
AE DE
EC FC =，C 正确； 又∵EF ∥AB ，
∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ， ∴△CEF ∽△CAB ，
∴
EF CE FC BF
AB AC BC BC ==≠， ∴答案D 错舍去； 故选C ． 【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．
7．如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到A B C '''∆的位置．已知ABC ∆的面积为
16，阴影部分三角形的面积9．若1AA '=，则A D '等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．
32
【答案】B 【解析】 【分析】
由 S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9且 AD 为 BC 边的中线知 1922
A DE A EF S S '∆'∆=
=，182ABD
ABC S S ∆∆== ，根据△DA ′E ∽△DAB 知2
A DE ABD S A D AD S ∆∆'⎛⎫
=' ⎪⎝⎭
，据此求解可得． 【详解】
16ABC S ∆=Q 、9A EF S ∆'=，且AD 为BC 边的中线，
1922A DE A EF S S ∆∆''∴=
=，1
82
ABD ABC S S ∆∆==， Q 将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移得到A B C '''∆， //A E AB ∴'， DA E DAB '∴∆~∆，
则2
A DE ABD S A D AD S ∆∆'⎛⎫
=' ⎪⎝⎭，即22991816A D A D ⎛⎫== '⎪+⎝⎭
'， 解得3A D '=或3
7
A D '=-（舍）， 故选：
B ． 【点睛】
本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
8．如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，
∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，
∴△ADF∽△EBA，
∴图中共有相似三角形5对，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）
A 2
3
5
B
2
3
3
C
3
3
4
D
4
3
5
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
【详解】
如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴3
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CE=1
2
BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴DF DE BF AB
＝，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，3，∴AB=3，
∴
2
3 DF
BF
＝，
∴
2
5 DF
BD
＝，
∴DF=2243
3
555 BD=⨯=
故选D．
【点睛】
此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．
10．如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD的面积为8，则DOE
∆的面积是()
A ．2
B ．
32
C ．1
D ．
94
【答案】C 【解析】 【分析】
由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作△OED 和△AOD 的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解． 【详解】
解：如图，过A 、E 两点分别作AN ⊥BD 、EM ⊥BD ，垂足分别为M 、N ，则EM ∥AN ，
∴EM ：AN ＝BE ：AB ， ∵E 为AB 中点， ∴BE=
1
2AB ， ∴EM ＝
1
2
AN ， ∵平行四边形ABCD 的面积为8，
∴2×
1
2
×AN×BD ＝8， ∴AN×BD ＝8
∴S △OED ＝
12×OD×EM ＝12×12BD×1
2AN ＝18
AN×BD ＝1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：①面积比是边长比的平方比；②分别找到底和高的比．
11．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的
面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）
A ．20
B ．22.5
C ．25
D ．30
【答案】A 【解析】 【分析】
先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可． 【详解】
∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠ ∴C ABD BA ∽△△ ∵2AC AD = ∴4S ABD S CBA =V V ∴
4
3
S ACD S CBA =V V ∵ACD V 的面积为15
∴44
152033
S CBA S ACD ==⨯=V
V 故答案为：A ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
12．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．28cm
B ．26cm
C ．24cm
D ．22cm
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=
1
2
AC ，故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的14
【详解】
解：如图，
由平移的性质得，▱ABCD∽▱OECF，且AO=OC=1
2 AC
故四边形OECF的面积是▱ABCD面积1 4
即图中阴影部分的面积为4cm2．
故选：C
【点睛】
此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是应用相似多边形的性质解答问题.
13．如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换
【答案】B
【解析】
【分析】
根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【详解】
解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
14．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则DG
CF
（）
A ．23
B ．2
C ．3
D ．3 【答案】B
【解析】
【分析】
连接AC 和AF ，证明△DAG ∽△CAF 可得DG CF
的值． 【详解】
连接AC 和AF ，
则2AD AG AC AF == ∵∠DAG=45°-∠GAC ，∠CAF=45°-GAC ，
∴∠DAG=∠CAF ．
∴△DAG ∽△CAF ．
∴22
DG AD CF AC ==． 故答案为：B.
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．
15．如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ，设BPQ ∆，DKM ∆，CNH ∆的面积依次为1S 、2S 、3S ，若1320S S +=，则2S 的值为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】 由已知条件可以得到△BPQ ∽△DKM ∽△CNH ，然后得到△BPQ 与△DKM 的相似比为12，△BPQ 与△CNH 的相似比为
13
，由相似三角形的性质求出1S ，从而求出2S . 【详解】
解：∵矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，
∴AB=BD=CD ，AE ∥BF ∥DG ∥CH ，
∴四边形BEFD 、四边形DFGC 是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN ，
∴BE ∥DF ∥CG ，
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH ，
∴△ABQ ∽△ADM ，△ABQ ∽△ACH ， ∴
12AB BQ AD DM ==，13
BQ AB CH AC ==， ∴△BPQ ∽△DKM ∽△CNH ， ∵12BQ MD =，13
BQ CH =， ∴1214S S =，1319
S S =， ∴214S S =，319S S =，
∵1320S S +=，
∴12S =，
∴2148S S ==；
故选：B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到214S S =，319S S =，从而求出答案.
16．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
【答案】D
【解析】
【分析】 利用对应点的连线都经过同一点进行判断．
【详解】
如图，位似中心为点D ．
故选D ．
【点睛】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
17．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x =
的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x
=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
【答案】D
【解析】
【分析】
过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得
△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9
BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9
COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212
BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．
【详解】
解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴
∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°
∵90AOB ∠=︒
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE ∽△OBF ∽△AOD
又∵3AO BO =，2OC CA = ∴13OB OA =，2
3OC
OA = ∴21()9BOF
OAD S OB S OA ==V V ，24
()9
COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE
BOF
S S =V V
∵点B 在反比例函数2
y x =的图象上 ∴2
12BOF S ==V
∴4COE S =V ∴42k
=，解得k=±8
又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故选：D ．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．
18．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（）
A．AD AE
BD EC
=B．
AF DF
AE BE
=C．
AE AF
EC FE
=D．
DE AF
BC FE
=
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断.【详解】
∵DE//BC，∴AD AE
BD EC
=，故A正确；
∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF, ∴AF DF
AE BE
=，故B正确；
∵DF//BE，∴AD AF
BD FE
=，∵
AD AE
BD EC
=，∴
AE AF
EC FE
=，故C正确；
∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC,∴DE AD
BC AB
=，∵DF//BE，∴
AF AD
AE AB
=，∴
DE AF
BC AE
=，
故D错误.
故选D.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.
19．两个相似三角形的对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长相差40cm ，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A ．45cm ，85cm
B ．60cm ，100cm
C ．75cm ，115cm
D ．85cm ，125cm 【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．
【详解】
设小三角形的周长为xcm ，则大三角形的周长为（x+40）cm ， 由题意得，154023x x =+， 解得，x=75，
则x+40=115，
故选C ．
20．如图所示，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒ ，顶点,A B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x
=-<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（ ）
A 5
B 5
C 25
D 10
【答案】B
【解析】
【分析】
过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的
性质得到S △BDO =
52
，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=5OB OA =，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，
则∠BDO=∠ACO=90°，
∵顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x =>与(
)50y x x =-<的图象上， ∴S △BDO =52
，S △AOC =12， ∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠DBO=∠AOC ，
∴△BDO ∽△OCA ，
∴251522
BOD OAC S OB S OA ⎛⎫==÷= ⎪⎝⎭△△， ∴5OB OA
=， ∴tan ∠BAO=
5OB OA =. 故选B.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．。