高中数学 集合专项训练含答案

高中数学 集合专项训练含答案
一、单选题
1．已知集合{|A x y ==，{}0B x x =>，则A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x ≤
B ．{|1}x x ≥-
C ．{}|3x x >
D ．{}|0x x >
2．设集合{}25A x x =-<<，1
62B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）
A ．122x x ⎧⎫
-<≤-⎨⎬⎩⎭
B ．{}26x x -<≤
C ．1|52x x ⎧⎫
-≤<⎨⎬⎩⎭
D ．{}|56x x <≤
3．已知集合{}
{}2
,,,,M y y x x x N y y x x y ==-∈==∈∈R R R ，则M
N =（ ）
A ．∅
B ．{(0,0),(2,2)}
C ．}{0,2
D ．1
[,)4
-+∞
4．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，{}3,4B =，则集合{}4=（ ） A ．
()U
A B
B ．()(
)U U
A B
C ．()U A B ⋂
D ．()
U A B
5．已知0a >且1a ≠，若集合{}{}
22
,log ||a M x x x N x x x =<=<，且N M ⊆﹐则实数a 的
取值范围是（ ） A ．()1e 0,11,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．()1e
0,1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．()
12e 0,11,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．()
12e 0,1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
6．设集合{}2
|230A x x x =+-<，集合{|B y y ==，则A B =（ ）
A ．()1,1-
B ．()0,1
C ．[)0,1
D ．()1,+∞
7．已知集合{}1A x x =>，()(){}
150B x x x =+-≤，则A B =（ ） A ．(]1,5- B ．(]1,5 C ．[]1,5- D ．[]1,5 8．满足条件{M ⋃永安，漳平}{=德化，漳平，永安}的集合M 的个数是（ ） A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
9．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设{}24A x x =-<<，{}723B x x =-<<，则
()Z A B =（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 10．已知集合2{|30}A x x x =-≥，集合{1
234}B =，，，，则A B =（ ） A ．{01
234}，，，， B ．{1
23}，， C ．[0,4]
D ．[1,3]
11．设集合{}10M x x =-<，{}12,N y y x x M ==-∈，则M N =（ ）
A ．∅
B ．(,1)-∞-
C ．(,1)-∞
D ．(1,1)-
12．设全集U =R ，集合(){}ln 1|M x y x ==-，2{|4}N x y x ==-，则下面Venn 图中阴影部分表示的集合是（ ）
A ．()1,2
B ．(]1,2
C ．(2,)+∞
D ．[2,)+∞
13．从集合{1,2,3}U =的非空子集中随机选择两个不同的集合A ，B ，则{1}A B ⋂=的概率
为（ ） A ．
421
B ．542
C ．17
D ．
556
14．已知集合A ={1，2，3，4，5}，集合B ={1，2}，若集合C 满足：B C A ⊆，则集合C 的个数为（ ） A ．6个
B ．7个
C ．8个
D ．9个
15．全集{}0,1,2, 3,4U =----，{}{}0,1,2,0, 3, 4M N =--=--， 则(
)U
M N =
（ ） A ．{}0
B ．{}3,4--
C ．{}1,2--
D ．∅
二、填空题
16．已知集合{}
2
|210A x ax x =+-=，若集合A 中只有一个元素，则实数a 的取值的集合
是______
17．已知集合A 与B 的关系如下图，则图中所示的阴影部分用集合表示为________．（要求用集合A 与B 的符号关系表示）
18．已知{}12A x x =-<≤，{}20B x x =-≤<，A B =________________.
19．已知集合{}{}0,1,2,1P Q x
x ==∣，则P Q 的非空真子集的个数为__________. 20．已知集合{}N 4sin ,02A x x θθπ=∈<≤≤，若集合A 中至少有3个元素，则实数θ取值范围为________
21．若将抛掷一枚硬币所出现的结果“正面（朝上）”与“反面（朝上）”，分别记为H 、T ，相应的抛掷两枚硬币的样本空间为{},,,HH HT TH TT Ω=，则与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间的子集为______．
22．已知全集{}1,2,345U =，
，，集合{}123A =，，，则A =_____________． 23．设集合21|,|32A x m x m B x n x n ⎧⎫⎧⎫
=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，且,A B 都是集合{}|01x x ≤≤的子
集，如果把b a -叫作集合{}|≤≤x a x b 的“长度”，那么集合A B 的“长度”的最小值是___________.
24．当x A ∈时，若有1x A -∉且1x A +∉，则称x 是集合A 的一个“孤元”，由A 的所有孤元组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合{}1,2,3M =的孤星集是M '，集合{}1,3,4P =的孤星集是P '，则M P ''⋂=______.
25．若集合{}
1A x x a =-≤，{}
2
540B x x x =-+>，A B =∅，则实数a 的取值范围是
______．
三、解答题
26．已知:20,:40p x q ax ->->其中R a ∈.
(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
27．设全集为R ，集合{}|37A x x =≤<，{(2)(10)0}B x
x x =--<∣． (1)求A B ； (2)求
()A B ⋃R
．
28．已知集合{}1A x a x a =≤≤+，{}
2
280B x x x =--≤.
(1)若A B B ⋃=，求a 的取值范围； (2)若A B =∅，求a 的取值范围.
29．设函数()()2
1,R f x ax a x =-∈的不动点（满足()f x x =）、稳定点（满足
()()f f x x =）的集合分别为A 、B ．若A B =≠∅，求实数a 的取值范围．
30．为了安全和方便，把一批数据分成若干部分储存在6个服务器里，要求其中任意两个服务器发生意外数据受损时，从其余4个服务器中仍然能够提取信息恢复数据．邀你设计既节省储存空间又满足上述要求的数据储存方案．完成后可进一步探究更一般的情形．
【参考答案】
一、单选题 1．B 【解析】 【分析】
由分式不等式求得集合A ，再根据并集的原则求解即可. 【详解】
对于集合A ，满足1033x
x x +⎧≥⎪
-⎨⎪≠⎩，即()()3103x x x ⎧-+≤⎨≠⎩，
解得13x -≤<，即{}13A x x =-≤<， 又{}0B x x =>，所以{}1A B x x ⋃=≥-， 故选：B 2．C 【解析】 【分析】
直接由交集得概念求解即可.
【详解】
由题意知：A B =1|52x x ⎧⎫
-≤<⎨⎬⎩⎭
.
故选：C. 3．D 【解析】 【分析】
根据二次函数、一次函数的性质求出其值域，然后由交集定义可得. 【详解】
因为2
2111()244y x x x =-=--≥-，所以1{|}4
M y y =≥-
易知N =R ，所以1{|}4M y N y ≥=-，即1
[,)4
-+∞
故选：D 4．C 【解析】 【分析】
利用交集，并集和补集运算法则进行计算，选出正确答案. 【详解】
{}1,2,3,4A B =，
(){}5U
A B ⋃=，A 错误；
(
)(
){}{}{}4,51,2,51,2,4,5U
U
A B ==，B 错误；
(
){}{}{}4,53,44U A B ⋂==，C 正确； (
){}
{}{}1,2,51,2,31,2U
A B ==，D 错误.
故选：C 5．D 【解析】 【分析】
求出集合M ，再由给定条件，对集合N 分类讨论，构造函数，利用导数探讨函数最小值求解作答. 【详解】
依题意，{}(1)0|{|01}x M x x x x =<<=<-，{}
2
lo |g 0a N x x x =-<，令
2(g )lo a f x x x -=，
当01a <<时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而2(1)10,()10f f a a =>=-<，则
0(,1)x a ∃∈，使得0()0f x =，
当00x x <<时，()0f x <，当0x x >时，()0f x >，此时{}0|0N x x x M =<<⊆，因此，
01a <<，
当1a >时，若01x <≤，log 0a x ≤，则()0f x >恒成立，N =∅，满足N M ⊆， 于是当1a >时，N M ⊆，当且仅当N =∅，即不等式()0f x ≥对(0,)∀∈+∞x 成立，
2n (l )1x f x x a '-=，由()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '<，当
x >
()0f x '>，
则函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，
min 1111ln(2ln )
log ()222ln 2n ln 2l ln a a a a a a
f x f =-=+=，于是得
1ln(2ln )220ln ln a a a +≥， 即1ln(2ln )0a +≥，变形得1
ln 2e
a ≥
，解得12e e a ≥，从而得当12e e a ≥时，()0f x ≥恒成立，N =∅，满足N M ⊆，
所以实数a 的取值范围是01a <<或1
2e e a ≥. 故选：D 【点睛】
思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题. 6．C 【解析】 【分析】
化简集合A 、B ，然后利用交集的定义运算即得. 【详解】
因为集合{}
2
|230{|31}A x x x x x =+-<=-<<，
集合{[,)|0B y y =+∞=， 所以[0,1)A B =． 故选：C ． 7．B 【解析】 【分析】
化简集合B ，然后利用交集的定义运算即得. 【详解】
∵集合()(){}
{}15015B x x x x x =+-≤=-≤≤，{}1A x x =>， ∴(]1,5A B ⋂=． 故选：B. 8．C 【解析】 【分析】
根据集合的并集可得答案. 【详解】
因为集合{M ⋃永安，漳平}{=德化，漳平，永安}， 所以集合M 可以为{德化}，{德化，漳平}，{德化，永安}， {德化，永安，漳平}，共4个，
故选：C. 9．C 【解析】 【分析】
首先求出集合B ，再根据交集的定义求出A B ，即可得解； 【详解】
解：因为{}7372322B x x x x ⎧
⎫
=-<<=-<<
⎨⎬⎩⎭
，{}24A x x =-<<，所以3|22A B x x ⎧
⎫
=-<<
⎨⎬⎩
⎭
，则()1A B -∈，()0A B ∈，()1A B ∈，所以()3Z A B =； 故选：C 10．B 【解析】 【分析】
先求得{|03}A x x =≤≤，再根据交集的运算可求解. 【详解】
由已知{|03}A x x =≤≤，所以{}1,2,3A B =. 故选:B ． 11．D 【解析】 【分析】
解一元一次不等式求集合M ，求一次函数值域求集合N ，再应用集合的交运算求M N ⋂. 【详解】
由题设，{|1}M x x =<，{|1}N y y =>-， 所以(1,1)M N =-.
故选：D 12．A 【解析】 【分析】
由对数函数性质，二次根式定义确定集合,M N ，然后确定Venn 图中阴影部分表示的集合并计算． 【详解】
由题意{|10}{|1}M x x x x =->=>，2{|4}{|2N x x x x =≥=≤-或2}x ≥，
{|22}U
N x x =-<<，
Venn 图中阴影部分为(){|12}U M N x x =<<．
故选：A ．
【解析】 【分析】
写出集合{1,2,3}U =的非空子集，求出总选法，再根据{1}A B ⋂=，列举出集合,A B 的所有情况，再根据古典概型公式即可得解. 【详解】
解：集合{1,2,3}U =的非空子集有{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3共7个，
从7个中选两个不同的集合A ，B ，共有2
742A =种选法，
因为{1}A B ⋂=，
当{}1A =时，则B 可为{}{}{}1,2,1,3,1,2,3共3种， 当{}1,2A =时，{}1,3B =共1种，
同理当{}1B =时，则A 可为{}{}{}1,2,1,3,1,2,3共3种， 当{}1,2B =时，{}1,3A =共1种， 则符合{1}A B ⋂=的共有31318+++=种， 所以{1}A B ⋂=的概率为844221
=. 故选：A. 14．B 【解析】 【分析】
根据集合间的关系写出所有满足条件的集合C 可得出答案. 【详解】
根据B C A ⊆，集合C 可写成如下形式：
{}{}{}{}{}{}{}12312412512341235124512345，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，，， 所以满足条件的集合C 的个数为7个，选项B 正确. 故选：B. 15．C 【解析】 【分析】
根据补集与交集的运算可直接求解. 【详解】 由题
{}1,2U
N =--，故(){}1,2U M N ⋂=--.
故选：C
二、填空题
16．{}0,1-
【解析】
分0a =和0a ≠两种情况保证方程2210ax x 只有一个解或重根，求出a 的值即可． 【详解】
当0a =时，2210ax x 只有一个解12
x =
， 则集合2{|210}A x ax x =+-=有且只有一个元素，符合题意； 当0a ≠时，若集合A 中只有一个元素， 则一元二次方程2210ax x 有二重根， 即440a ∆=+=，即 1.a =-
综上，0a =或1-，故实数a 的取值的集合为{}0,1.- 故答案为：{}0,1.-
17．
()A B
A
B ⋃
【解析】 【分析】
由集合的交并补运算求解即可. 【详解】
设全集为A B ，则阴影部分表示集合A 与B 交集的补集，即()A B
A
B ⋃
故答案为：
()A B
A
B ⋃
18．{}10x x -<<
【解析】 【分析】
由交集运算求解即可. 【详解】
A B ={}{}{}122010x x x x x x -<≤⋂-≤<=-<<
故答案为：{}10x x -<< 19．2 【解析】 【分析】
先求P Q 后再计算即可. 【详解】
{}1,2,P Q P Q ⋂=∴⋂的非空真子集的个数为2222-=.
故答案为：2 20．5,
6
6ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
分析可知元素0、1、2必属于集合A ，可得出1
sin 2
θ>，由[]0,2θπ∈可求得θ的取值范围. 【详解】
要使集合A 中至少有3个元素，则元素0、1、2必属于集合A ，所以只需4sin 2θ>，即1sin 2
θ>
， 又[]0,2θπ∈，解得5,
66ππ
θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. 故答案为：5,
66
ππ
⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 21．∅，{}HT ，{}TH ，{},HT TH 【解析】 【分析】
先写出与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间，再写出其全部子集即可. 【详解】
与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间为{},HT TH ，此空间的子集为∅，{}HT ，{}TH ，{},HT TH 故答案为：∅，{}HT ，{}TH ，{},HT TH
22．{}45，
## {}5,4 【解析】 【分析】
根据补集运算得到答案即可. 【详解】
因为全集{}1,2,345U =，
，，集合{}123A =，，，所以A = {}45， 故答案为：{}45，
23．16
【解析】 【分析】
根据“长度”定义确定集合,A B 的“长度”，由A B “长度”最小时，两集合位于集合[]0,1左右两端即可确定结果. 【详解】
由题可知，A 的长度为2
3
，B 的长度为1
2， ,A B 都是集合{|01}x x ≤≤的子集， 当A B 的长度的最小值时，m 与n 应分别在区间[]0,1的左右两端， 即0,1m n ==，则|0,213|12A x x B x x ⎧
⎫⎧⎫=≤≤
=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩
⎭⎩⎭
，
故此时122
3A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭的长度的最小值是：211326-=. 故答案为：16
24．∅
【解析】
【分析】
根据集合的新定义求解出集合M '和P '，再求解交集可得出答案.
【详解】
根据“孤星集”的定义，1,112,2A A ∈+=∈ 所以1不是集合M '的元素 同理2，3也都不是集合M '的元素
M ∴'=∅，同理可得 {}1P '=
所以M P '⋂'=∅.
故答案为：∅.
25．[]2,3
【解析】
【分析】
先根据不等式的解法化简两个集合A 、B ，再根据A B =∅确定a 的取值范围.
【详解】 因为{}1{|11}{|11}A x x a x x a x a x a =-≤=-≤-≤=-≤≤+，
{}
2540{|(4)(1)0}{|4B x x x x x x x x =-+>=-->=>或1}x <， 因为A B =∅，所以1114
a a -≥⎧⎨+≤⎩， 解得23a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]2,3.
故答案为：[]2,3.
三、解答题
26．(1)(2,)+∞
(2)[0,2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得A ⫋B ，所以0,42,a a
>⎧⎪⎨<⎪⎩从而可求出实数a 的取值范围， （2）由题意可得B ⫋A ，然后分a =0，a >0和a <0三种情况求解即可
(1)
设命题p ：A ={x |x -2>0}，即p ：A ={x |x >2}，命题q ：B ={x |ax -4>0}，
因为p 是q 的充分不必要条件，所以A ⫋B ，. 即0,42,a a
>⎧⎪⎨<⎪⎩解得a >2 所以实数a 的取值范围为(2,)+∞
(2)
由（1）得p ：A ={x |x >2}，q ：B ={x |ax -4>0}，
因为p 是q 的必要不充分条件，
所以B ⫋A ，
①当a =0时，B =∅，满足题意；
②当a >0时，由B ⫋A ，得4a .>2，即0<a <2；.
③当a <0时，显然不满足题意.
综合①②③得，实数a 的取值范围为[0,2)
27．(1){37}x x ≤<； (2){2x x ≤或10}x ≥.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件利用交集的定义直接计算即可作答.
(2)利用并集的定义求出A B ，再借助补集的定义直接求解作答.
(1)
因为{}|37A x x =≤<，{}{(2)(10)0}|210B x x x x x =--<=<<， 所以{|37}A B x x =≤<.
(2)
因为{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，
则{|210}A B x x ⋃=<<，而全集为R ，
所以(){|2A B x x ⋃=≤R 或10}x ≥.
28．(1)[2,3]-
(2)(,3)(4,)∞∞--⋃+
【解析】
【分析】
（1）首先解一元二次不等式，求出集合B ，由A B B ⋃=，得A B ⊆，即可得到不等式组，解得即可；
（2）由A B =∅，则4a >或12a +<-，解得即可；
(1)
解：由2280x x --≤，即()()420x x -+≤，解得24x -≤≤，所以
{}
{}228024B x x x x x =--≤=-≤≤，因为A B B ⋃=，得A B ⊆，则214a a ≥-⎧⎨+≤⎩，
即23a -≤≤，所以a 的取值范围是[2,3]-.
(2)
解：由A B =∅，则4a >或12a +<-，即4a >或3a <-，所以a 的取值范围是()(),34,-∞-⋃+∞.
29．13
,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】
【分析】
根据函数的不动点、稳定点的定义结合题意分别求出集合A 、B ， 再结合结合A B =≠∅即可求解.
【详解】
由题意可知，()21f x ax x =-=， {}210A x ax x -=-=，
由()()f f x x =，得()()
342222221110a x a x x a ax x a x ax a --+-=--+-+=， (){}2211B x a ax x =--={}3422210x a x a x x a =--+-=．
()(){}
222110x ax x a x ax a =--+-+=． 当0a =时，()1f x =-．则集合{}1A B ==-，满足题设要求．
当0a ≠时，当A B =≠∅时，方程210ax x --=有解，
对方程2210a x ax a +-+=根的情况进行分类讨论
若方程2210a x ax a +-+=有两个不相等的实数根，则
22 1+40-4(1-) >0 0 a a a a a ≥⎧⎪⎨⎪≠⎩，解得34a >， 此时两个方程没有公共解，集合B 中有四个元素，不合题意，舍去. 若方程2210a x ax a +-+=有两个相等的实数根，则
22 1+40-4(1-) =0 0 a a a a a ≥⎧⎪⎨⎪≠⎩，解得34a = 此时方程210ax x --=的两根分别为2,23
-， 方程2210a x ax a +-+=的根为1223
x x ==-. 验证得2,23A B ⎧⎫==-⎨⎬⎭
⎩ 若方程2210a x ax a +-+=无实数根，此时A B =，则
22 1+40-4(1-) <0 0 a a a a a ≥⎧⎪⎨⎪≠⎩，解得1344a -≤<且0a ≠
综上所述，实数a的取值范围为
13
,
44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
30．【解析】【详解】
略。